两个重要极限

1.极限与连续

111

例1 求极限 lim . n1223n(n1)

例2 求极限 lim147

n

n



n

1

nn



.

例3 求极限 lim

n

2n1. 222

nn1nn1

例4 求极限

limsin(.

n

例5 设x11，xn1

xn1

，n2,3,，求 limxn.

n1xn1

3x252

sin. 例6 求极限 lim

x6x1x

例7 求极限

lim

x0

. x

e1

例8 设lim(

x

x2ax

)8, 求常数a. xa

n

例9

例10 例11 例12

设a0,b0,

计算lim. n

21n

求极限 lim(sincos).

nnn

11

) 求极限 lim(22x0xtanx12

求极限 lim[xxln(1)].

xx

x21

axb)3, 求常数a,b. 例13 已知lim(

xx1

aexb,x0,

例14 试确定常数a,b的值, 使函数f(x)ln(xb)在x0处连续.

,x0

x

例15 设f(x)在(,)有定义, 且f(x)在x0处连续, 又对任何x、y, 有

f(xy)f(x)f(y), 证明f(x)在(,)上连续.

例16 设函数f(x)

1e

xx1

, 试确定函数的间断点及其类型. （x0,x1）

1

例17 某人早上8点从山脚下的某点出发上山，到达山顶的时间是下午6点．第二天，

该人早上8点又从山顶的同一点出发，沿着上山的路经原路返回，结果在下午6点回到山脚下的出发点．问该人是否在两天的同一时刻经过山上的某个点． 例18 设f(x)在闭区间[0,1]上连续, 且 0f(x)1, 证明: 对任何自然数n0，存

在(0,1), 使得f()n.

例19 设f(x)在[a,b]上连续, 对正实数,, 试证存在c[a,b], 使得

()f(c)f(a)f(b).

2. 导数与微分

例1 设f(x)x|x|, 讨论或求f(x)的一、二阶导数.

例2 设f(x)在x0处连续, F(x)f(x)sinx, 求F(0). 例3 设函数f(x)在x2处可导, 且lim

x1

f(x1)f(2)

1, 求f(2).

x1

2

dyx3t2t3,

例4 设yy(x)由y所确定, 求.

dxt0esinty10

x1t2,d2x

例5 设 求2.

dyycost,

例6

设y|x|1，计算y(n)(x). 例7 设yf(lnx)e

f(x)

, 其中f可微, 求dy.

12

xsin,x0,

例8 设f(x)x

x0,0,

确定f(x)的连续性和可导性；在x0处，若

f(x)可导，问f(x)的导数是否连续.

例9 设y(1x)

cosx

，求

dy

. dx

dyd2y

例10 设函数xf(y)的反函数是y(x)，且一、二阶导数不为零，求和.

dxdx2

例11 设f(x)具有二阶导数, 在x0的某去心邻域内f(x)0, 并且lim

x0

f(x)

0, x

f(x)1

)x. f(0)4, 求lim(1

x0x

例12 已知物体的运动规律为 sAsinwt （A、w为常数），求物体运动的加速度，

d2s2

并验证：2ws0.

dt

3. 中值定理与导数的应用

例1 若函数f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f(1)0. 证明: 存在一点

(0,1), 使f()f()0. (若补充f(0)0，可证af()f()0)

例2 若函数f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f(0)f(1)0, f()1.

证明: 至少存在一点(0,1), 使f()1.

例3 设函数f(x)在[0,3]上连续, 在(0,3)内可导, 且f(0)f(1)f(2)3,

1

2

f(3)1. 试证必存在一点(0,3), 使得f()0.

例4 设函数f(x)在[a,b]上可导, f(a)f(b)0, 并存在一点c(a,b), 使得

f(c)0. 证明：至少存在(a,b), 使得f()0. (也存在(a,b), 使得f()0；若补充f(x)在[a,b]上二阶可导，则存在(a,b)，使得f()0)

例5 设函数f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且f(x)0. 证明: (a,b)内存在

f()ebea

两点, , 使得e.

f()ba

例6 试证: 若x0, 则

有



11, 其中(x), 且

42x0

lim(x)

11

, lim(x). 4x2

例7 设函数f(x)在(a,b)内二阶可导, 且f(x)0. 证明: 对于(a,b)内任意两点x1,

x2, 及0t1, 有f((1t)x1tx2)(1t)f(x1)tf(x2).

例8 设f(x)在[0,1]上二阶可导, 并且f(0)f(1)0, 又minf(x)1. 证明:

x[0,1]

maxf(x)8.

x[0,1]

x例9 证明不等式 e1x, x0.

例10 设二阶可导函数f(x)满足 lim

x0

f(x)

1，且f(x)0，证明f(x)x. x

例11 设函数f(x)在[0,1]上可微, 且0f(x)1, f(x)1. 试证在(0,1)内有且

仅有一个x, 使f(x)x.

例12

确定函数yln(x的单调区间.(该函数是偶还是奇函数？导数呢？) 例13 设函数f(x)在[0,)上有连续导数, 且f(x)k0, f(0)0. 证明f(x)

在(0,)内有且仅有一个零点.

例14 试讨论方程lnxax(a0)的根的个数.（最值点0）

ex1x3

例15 求极限 lim. 6x0sinx

例16 设函数f(x)在(,)上二阶导数连续，且点(a,f(a))是曲线yf(x)的拐

点，求极限lim

h0

3

f(ah)2f(a)f(ah)

.

h2

n

例17 设f(x)nx(1x)，n为大于0的自然数，试求：（1）f(x)在[0,1]上的最大

值M(n)；（2）极限 limM(n) 的值.

n

例18 设函数f(x)在(,)具有一阶连续导数, 且0f(x)

1

. 又设2

1x

n

x0f(0)1, xnf(xn1), n1, 2, 3, . 试证: (1) 极限limxn存在.

(2) 极限limxn的值满足方程xf(x). (xn, xnx0

n

1

(x1x0), 所以n12

1xn2x1x02f(1)1. )

例19 已知某产品的总成本为C(Q)4QQ36（万元）, 其中Q是产量（单位为吨）,求使平均成本最低的产量及相应的总成本. 例20 写出函数 lnx 的其中一个原函数. 例21 求ye

x2

2

x2x1

的渐近线. arctan

(x1)(x2)

例22 求y(x1)e



arctanx2

的单调区间和极值, 并求该函数图形的渐近线.

例23 设f(x)在x0的某邻域内有三阶导数, 且f(x0)0, f(x0)0. 证明: 点

(x0,f(x0))是曲线yf(x)的拐点.

x2

例24 已知函数y, 求: (1) 函数的单调区间及极值；(2) 函数图形的凹凸区间

x1

及拐点；(3) 函数图形的渐近线.