数学考点专题辅导1 ------有理数, 实数
有理数
一．知识框架
二．知识概念 1. 有理数：
q
(1)凡能写成(p , q 为整数且p ≠0) 形式的数，都是有理数. 正整数、0、负整数统称整数；正分数、负
p 分数统称分数；整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；
⎧⎧⎧正整数⎧正整数正有理数⎨⎪整数⎪零⎪正分数⎨⎩⎪⎪
⎪(2)有理数的分类: ① 有理数⎨零 ② 有理数⎨⎩负整数 ⎪⎪⎧负整数⎧正分数
负有理数⎪分数⎨⎪⎨负分数
⎩⎩负分数⎩⎩
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b 互为相反数. 4. 绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
⎧a (a >0)
(a ≥0) ⎪⎧a
(2) 绝对值可表示为：a =⎨0(a =0) 或a =⎨ ；绝对值的问题经常分类讨论；
-a (a
5. 有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）
正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6. 互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a、b 互为负倒数. 7有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 8．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 9 有理数乘法法则：
1；若ab=1⇔ a
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 10 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a（bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c）=ab+ac .
11．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义. 12．有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-an 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n =(b-a)n . 13．乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
14．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.
15. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
16. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. (从该数字左边第一个非0的数字到该数字末尾的数字个数)
举几个例子：3一共有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字，1.9*102有两个有效数字（不要被102迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，102看作是一个单位）。 17. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.
a 0
实数
1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a，那么正数x 叫做a 记作a 。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。
2. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a，那么数x 就叫做a
3. 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4. 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 ⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧
⎪整数⎨ ⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪ ⎪12⎧有理数⎨⎪正分数(, ) (整数、有限小数、无限循环小数) ⎪⎪23⎪分数(小数) ⎨⎪
实数⎨ 12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪ 23⎩⎩⎪ ⎪
⎧正有理数 ⎪
无理数(无限不循环小数) ⎪⎨⎩ ⎩负有理数
5. 数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
a ⨯b =ab (a ≥0, b ≥0)
a a =(a ≥0, b >0)
b
实数部分主要要求了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数
的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。
最近5年真题
(2016武汉中考) 实数2的值在( )
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
(2016武汉中考) 若代数式在
1
实数范围内有意义, 则实数x 的取值范围是( ) x -3
A. x ＜3 B ．x ＞3 C ．x ≠3 D ． x =3
(2015武汉中考) 在实数−3，0，5，3 中，最小的实数是（ ）
A. -3 B. 0 C. 5 D. 3
(2015武汉中考) 中国的陵水面积约为370 000km，将数370 000用科学记数法表示为__________ (2014武汉中考) 计算：－2＋(－3) ＝_______
(2014武汉中考) 光速约为300 000千米/秒，将数字300 000用科学记数法表示为（ ）
A ．3×10
4
2
B ．3×10
5
C ．3×10
6
D ．30×10
4
(2013武汉中考) 下列各数中，最大的是（ ）
A ．－3 B．0 C．1 D．2
(2013武汉中考) 式子x -1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x
(2013武汉中考) 太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为 ． (2012武汉中考) 在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（ ） A． 2.5 B ． ﹣2.5 C ． 0 (2012武汉中考) 若 A． x＜3
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
B ． x≤3
C ． x＞3
D ． x≥3 D ． 3
从最近5年中考真题来看, 本章节一般以选择题和填空题的方式出现, 分值9-12分, 考点主要涵盖实数大小比较, 有效数字, 实数计算, 无理数估值, 求x 取值范围等, 题目难度总体偏低. 有理数基础例题讲解
例题1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A、0既不是正数，也不是负数 B、1是绝对值最小的数 C、0的相反数是0 D、0的绝对值是0
例题2 已知a,b,c 在数轴上的位置如图所示，用“＜”或“＞”连接则：
(a－b) ____ 0 ,
a
____
c
， (a+b) ___ 0
例题3 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣|b﹣a|的结果是__________
例题4 若|a |=3，|b |=5，且a >b ，则a +b 的值可能是___________
21
a , , -a , a a 例题5已知-1＜a ＜0, 则 大小是( ).
A . a
例题6 地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米，用科学记数法表示为__________平方千米，若只保留两位有效数字，用科学计数法表示为__________平方千米
例题7 请判断下列题的对错, 并解释. 1. 近似数25.0的精确度与近似数25一样.
2. 近似数4千万与近似数4000万的精确度一样. 3. 近似数660万, 它精确到万位. 有三个有效数字. 4. 用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.
5. 近似数3.7x102的二次与近似数370的精确度一样. 1、错。前者精确到十分位（小数点后面一位），后者精确到个位数。 2、错。4千万精确到千万位，4000万精确到万位。 3、对。
4、错。值虽然相等，但是取之范围和精确度不同 5、错。3.7x102精确到十位,370精确到个位
1a
2
1a
2
1a
22
1a
2a +2b
+e 2016
例题8已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，e 是绝对值最小的有理数，求cd 的
值.
实数数例题讲解
）
A ．9 B ．±9 C．3 D ．±3 2. 在下列说法中，错误的是（ ）
A ．无限小数都是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应 C ．无理数都是无限小数 D．带有根号的数不都是无理数 3. 下列说法正确的有（ ）
⑴一个数立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根 ⑵64的平方根是±8，立方根是±4
a a 的立方根 ⑷不一定是负数
Ａ．⑴⑶
Ｂ．⑵⑷ Ｃ．⑴⑷ Ｄ．⑴⑶⑷
4、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。
A 、－1 B、1 C、0 D、±1 5下列命题中，正确的是（ ）。
A 、两个无理数的和是无理数 B、两个无理数的积是实数
C 、无理数是开方开不尽的数 D、两个有理数的商有可能是无理数 6下列计算中，正确的是（ ）多选 A ．2
11(a 3b ) 2=a 6b 2
=0 B．24C ．
(a =±3
D ．
32
) =a 6
7. 如果x -1+9-x 有意义，那么代数式|x －1|+(x -9) 2的值为（ ）
A. ±8 B.8 C. 2x-10 D. 8-2x 8、当x =-6时，x 2的值是（ ） A 、6 B、-6 C 、±6 D、±4
9、若1-x =1-x ，则x 的取值范围是（ ） A 、x ≤1 B、x ≥1 C 、0≤x ≤1 D 、一切有理数 10、下列计算正确的是（ ）
=B =2 C2==11、若0
2
A 、48 B 、-48 C 、
D 、-
13. 在Rt △ABC 中，∠C =90°, c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简(a -b +c ) 2－2|c －a －b |的结果为（ ） A.3a +b －c B. －a －3b +3c C. a +3b －3c D. 2a
14a ，小数部分为b ，求-16ab-8b 2的立方根。
15. 已知5+的小数部分为a ，5－的小数部分为b ， 求：（1）a +b 的值；（2）a －b 的值.
16.
10.1，则= ． 17．已知=2. 4495，=7. 7460。直接写出下列各式的值： (1) 0. 6= (2) = (3) 0. 06= (4) 6000=
18．已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值 19.
x , y , m =
试求m -4的算术平方根。
20. 已知
x , y , z 试求x,y,z 的值。
21. 对于每个非零有理数a , b , c 式子
22. 实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ
｜
试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜
a b c abc +++的所有可能的值有? a b c
作业
1. 已知实数a 满足-a +a -1993=a ，那么a -19922的值是（ ）
A. 1991 B. 1992
C. 1993 D. 1994
2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°, c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简(a -b +c ) 2－2|c －a －
b |的结果为（ ）
A. 3a +b －c B. －a －3b +3c C. a +3b －3c 3．若-3a +8b -3=0，则ab
4．若3x -2y -1+x +=0, 则x 2+5y = 5．若|x +3|+2-y =0，则x y D. 2a
6．若(a -2) 2=2-a ，则a 的取值范围是
⎛2017
7
．若x -+ y +=0，则（xy ）=
⎝
2
1⎫a ⎛
8．已知2a +1+ b +⎪=0, 则= .
4⎭b ⎝9. 当a
10. 在数轴上点A
B
2，则A 、B 两点之间的距离等于（ ）
A
．22 B
．2-2 C ．-2 D ．2 11. 如图1：数轴上点A 表示的数为x ，则x 2－13的立方根是（ ）
A. －13 B.－5－1 3
12. 如图所示, 数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点
C.2 D.－
2
B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）
A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 13. y =3x -2+2-3x +1，求3x ＋y 的值。
14. 已知x , y 满足x +y -3+x -2y -4=0, 求x 2-y -5的值.
15. 已知z =4, 且(y -2x +1)+x -3=0, 求x 3+y 3+z 的值。
2
16 计算 （1）
；
33
（3） (-3)2
-⎛ 1⎫2
2⎝12⎪⎭⨯9-6÷-3 ；
2）﹣14
﹣（1﹣）÷3×|3﹣（﹣3）2
|；
4） (-1. 2) 2÷0. 32+(-2) 2⨯(-3) 3÷(-1) 2016
3（ （