中考数学压轴题解题策略
直角三角形的存在性问题解题策略
专题攻略
解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根. 一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程. 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.
解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.
如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.
在平面直角坐标系中,两点间的距离公式常常用到.
怎样画直角三角形的示意图呢?如果已知直角边,那么过直角边的两个端点画垂线,第三个顶点在垂线上;如果已知斜边,那么以斜边为直径画圆,直角顶点在圆上(不含直径的两个端点).
例题解析
例❶ 如图1-1,在△ABC 中,AB =AC =10,cos ∠B =4.D 、E 为线段BC 上的两个5
动点,且DE =3(E 在D 右边),运动初始时D 和B 重合,当E 和C 重合时运动停止.过E 作EF //AC 交AB 于F ,连结DF .设BD =x ,如果△BDF 为直角三角形,求x 的值.
图1-1
【解析】△BDF 中,∠B 是确定的锐角,那么按照直角顶点分类,直角三角形BDF 存在两种情况.如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来,分两种情况列方程就可以了.
如图1-2,作AH ⊥BC ,垂足为H ,那么H 是BC 的中点.
4,所以BH =8.所以BC =16. 5
BF BE BF x +35由EF //AC ,得,即.所以BF =(x +3) .
==BA BC 10168在Rt △ABH 中,AB =10,cos ∠B =
图1-2 图1-3 图1-4
①如图1-3,当∠BDF =90°时,由cos ∠B =
解方程x =BD 44=,得BD =BF . BF 5545⨯(x +3) ,得x =3. 58
BF 44=,得BF =BD . BD 55②如图1-4,当∠BFD =90°时,由cos ∠B =
解方程x +5
875154. =x ,得x =785
=4我们看到,在画示意图时,无须受到△ABC 的“限制”,只需要取其确定的∠B . 例❷ 如图2-1,已知A 、B 是线段MN 上的两点,MN ,MA =1,MB >1.以A 为
中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成 △ABC ,设AB =x ,若△ABC 为直角三角形,求x 的值.
图2-1
【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来,AC =1,AB =x ,BC =3-x . 如果用斜边进行分类,每条边都可能成为斜边,分三种情况:
①若AC 为斜边,则1=x 2+(3-x ) 2,即x 2-3x +4=0,此方程无实根.
5(如图2-2). 3
4③若BC 为斜边,则(3-x ) 2=1+x 2,解得x =(如图2-3). 3
54因此当x =或x =时,△ABC 是直角三角形.
33②若AB 为斜边,则x 2=(3-x ) 2+1,解得x =
图2-2 图2-3
例❸ 如图3-1,已知在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-2, 0),点B 是点A 关于原点的对称点,P 是函数y =
标.
2(x >0) 图象上的一点,且△ABP 是直角三角形,求点P 的坐x
图3-1
【解析】A 、B 两点是确定的,以线段AB 为分类标准,分三种情况.
如果线段AB 为直角边,那么过点A 画AB 的垂线,与第一象限内的一支双曲线没有交点;过点B 画AB 的垂线,有1个交点.
以AB 为直径画圆,圆与双曲线有没有交点呢?先假如有交点,再列方程,方程有解那么就有交点.如果是一元二次方程,那么可能是一个交点,也可能是两个交点.
由题意,得点B 的坐标为(2,0),且∠BAP 不可能成为直角.
①如图3-2,当∠ABP =90°时,点P 的坐标为(2,1).
②方法一:如图3-3,当∠APB =90°时,OP 是Rt △APB 的斜边上的中线,OP =2.
2设P (x , ) ,由OP 2=4,得x +2
x 4=
4.解得x =P (2, 2) .
x 2
图3-2 图3-3 方法二:由勾股定理,得P A 2+PB 2=AB 2. 22222解方程(x +2) +() +(x +2) +() =
4,得x = 2
x 2x
方法三:如图3-4,由△AHP ∽△PHB ,得PH 2=AH ·BH . 2解方程() =(x +2)(2-
x ) ,得x =
2
x
图3-4 图3-5
这三种解法的方程貌似差异很大,转化为整式方程之后都是(x 2-2) 2=0.这个四次方程的解是x 1=x 2=2,x 3=x 4
=它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点(如图3-5).
例❹ 如图4-1,已知直线y =kx -6经过点A (1,-4) ,与x 轴相交于点B .若点Q 是y 轴上一点,且△ABQ 为直角三角形,求点Q 的坐标.
图4-1
【解析】和例题3一样,过A 、B 两点分别画AB 的垂线,各有1个点Q .
和例题3不同,以AB 为直径画圆,圆与y 轴有没有交点,一目了然.而圆与双曲线有没有交点,是徒手画双曲线无法肯定的.
将A (1,-4) 代入y =kx -6,可得k =2.所以y =2x -6,B (3,0).
设OQ 的长为m .分三种情况讨论直角三角形ABQ :
①如图4-2,当∠AQB =90°时,△BOQ ∽△QHA ,
解得m =1或m =3.所以Q (0,-1) 或(0,-3) .
②如图4-3,当∠BAQ =90°时,△QHA ∽△AGB ,
解得m =34-m BO QH .所以=. =m 1OQ HA QH AG 4-m 2.所以==. HA GB 1477.此时Q (0,-) . 22
2m AG BM .所以=. =43GB MQ ③如图4-4,当∠ABQ =90°时,△AGB ∽△BMQ ,
解得m =33.此时Q (0,) .
22
图4-2 图4-3 图4-4
三种情况的直角三角形ABQ ,直角边都不与坐标轴平行,我们以直角顶点为公共顶点,构造两个相似的直角三角形,这样列比例方程比较简便.
已知A (1,-4) 、B (3,0),设Q (0, n ) ,那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2,AQ 2和BQ 2,再按照斜边为分类标准列方程,就不用画图进行“盲解”了.
33例❺ 如图5-1,抛物线y =-x 2-x +3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧).若84
直线l 过点E (4, 0) ,M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只...有三个时,求直线l 的解析式.
.
图5-1
【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢?
过A 、B 两点分别画AB 的垂线,与直线l 各有一个交点,那么第三个直角顶点M 在哪里?以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊!
333由y =-x 2-x +3=-(x +4)(x -2) ,得A (-4, 0)、B (2, 0),直径AB =6. 848
如图5-2,连结GM ,那么GM ⊥l .
3. 4
3设直线l 与y 轴交于点C ,那么OC =3.所以直线l (直线EC )为y =-x +3. 4
3根据对称性,直线l 还可以是y =x -3.
4在Rt △EGM 中,GM =3,GE =5,所以EM =4.因此tan ∠GEM =
图5-2
例❻ 如图6-1,在△ABC 中,CA =CB ,AB =8,cos ∠A =
动点,点E 与点A 关于直线CD 对称,连结CE 、DE .
(1)求底边AB 上的高;
(2)设CE 与AB 交于点F ,当△ACF 为直角三角形时,求AD 的长;
(3)连结AE ,当△ADE 是直角三角形时,求AD 的长.
4.点D 是AB 边上的一个5
图6-1
【解析】这道题目画示意图有技巧的,如果将点D 看作主动点,那么CE 就是从动线段.反过来画图,点E 在以CA 为半径的⊙C 上,如果把点E 看作主动点,再画∠ACE 的平分线就产生点D 了.
(1)如图6-2,设AB 边上的高为CH ,那么A H =BH =4.
在Rt △ACH 中,AH =4,cos ∠A =4,所以AC =5,CH =3. 5
455,所以DE =.此时AD =DE =. 522(2)①如图6-3,当∠AFC =90°时,F 是AB 的中点,AF =4,CF =3. 在Rt △DEF 中,EF =CE -CF =2,cos ∠E =②如图6-4,当∠ACF =90°时,∠ACD =45°,那么△ACD 的条件符合“角边角”. 作DG ⊥AC ,垂足为G .设DG =CG =3m ,那么AD =5m ,AG =4m .
由CA =5,得7m =5.解得m =525.此时AD =5m =.
77
图6-2 图6-3 图6-4
(3)因为DA =DE ,所以只存在∠ADE =90°的情况.
①如图6-5,当E 在AB 下方时,根据对称性,知∠CDA =∠CDE =135°,此时△CDH 是等腰直角三角形,DH =CH =3.所以AD =AH -DH =1.
②如图6-6,当E 在AB 上方时,根据对称性,知∠CDA =∠CDE =45°,此时△CDH 是等腰直角三角形,DH =CH =3.所以AD =AH +DH =7.
图6-5 图6-6