第三章 三角恒等变换
一、课标要求：
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上. 通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 二、编写意图与特色
1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约2课时
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点
1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础； 2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式. 通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道
cos 45=
，cos30=，由此我们能否得到
cos15 =cos (45 -30 )=? 大家可以猜想，是不是等于cos 45 -cos30 呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos (α-β)=?
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为P 1，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角α-β？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来. ）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos (α-β)与cos α、
cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β，认识
两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：cos (α+β)=? ，cos (α+β)=cos ⎡⎣α-(-β)⎤⎦，再利用两角差的余弦公式得出
cos (α+β)=cos ⎡⎣α-(-β)⎤⎦=cos αcos (-β)+sin αsin (-β)=cos αcos β-sin αsin β
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.
cos75 =cos (
45 +30 )=cos 45 cos30 -sin 45 sin30 =
c (
o s -45
1=21
⨯2
c o s 1 5=
)3=0
c o s 45 +c o s 30
s i 2
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：
cos15 =cos (60 -45 )，要学会灵活运用.
例2、已知sin α=
45⎛π⎫
，α∈ , π⎪,cos β=-, β是第三象限角，求cos (α-β)的值. 513⎝2⎭
34⎛π⎫解：因为α∈ , π⎪，sin α=
由此得cos α===-
55⎝2⎭125又因为cos β=-
, β是第三象限角，所以sin β===-
1313所以cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β= -⎪⨯ -
33⎛3⎫⎛5⎫4⎛12⎫
+⨯-=-⎪ ⎪
51351365⎝⎭⎝⎭⎝⎭
点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式. 在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （五）作业：P 150. T 1-T 2
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒
等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β；cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
⎡⎛π⎤⎡π⎤⎫⎛π⎫⎛π⎫
sin (α+β)=cos ⎢-(α+β)⎥=cos ⎢ -α⎪+β⎥=cos -α⎪cos β+sin -α⎪sin β
⎣2⎦⎭⎝2⎭⎝2⎭⎣⎝2⎦
=sin αcos β+cos αsin β．
sin (α-β)=sin ⎡⎣α+(-β)⎤⎦=sin αcos (-β)+cos αsin (-β)=sin αcos β-cos αsin β
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式. （学生动手）
tan (α+β)=
sin (α+β)sin αcos β+cos αsin β
． =
cos α+βcos αcos β-sin αsin β
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos αcos β，得到tan (α+β)=
tan α+tan β
．
1-tan αtan β
注意：α+β≠
π
2
+k π, α≠
π
2
+k π, β≠
π
2
+k π(k ∈z )
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
tan α+tan (-β)tan α-tan β
tan (α-β)=tan ⎡α+-β==⎤()⎣⎦1-tan αtan -β1+tan αtan β
注意：α+β≠
π
2
+k π, α≠
π
2
+k π, β≠
π
2
+k π(k ∈z ) ．
（二）例题讲解
例1、已知sin α=-, α是第四象限角，求sin
3
5
π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛
-α⎪,cos +α⎪, tan α-⎪的值.
4⎭⎝4⎭⎝4⎭⎝
43解：因为sin α=-
, α是第四象限角，得cos α==，
553
sin α3
tan α===- ，
4cos α45
-
于是有
sin
ππ4⎛3⎫⎛π⎫
-α⎪=sin cos α-cos sin α=- -⎪=
44252⎝5⎭
10⎝4⎭
ππ4⎛3⎫⎛π⎫
cos +α⎪=cos cos α-sin sin α=- -⎪=
44252⎝5⎭10⎝4⎭
两结果一样，我们能否用第一章知识证明？
3
--1
π⎫⎛=tan α-⎪==-7
4⎭1+tan αtan ⎛3⎫⎝1+ -⎪4⎝4⎭
tan α-tan
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
π
n i 72c o s 42c o s 72s n i 42-（1）、s
o s 20c o s 70s n i 20s n i 70-；（2）、c
；（3）、
1+tan15
．
1-tan15
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
i s 72o c s 42o c s 72n i s 42n7i s 2-42（1）、n
o s 20c o s 70n i s 20n i s 70（2）、c
c o s 20-70
n i 3s 0
==
(
(
- +
=)=)
=
1
； 2
；
c o s 900
=
1+n a 1t 5n a t 45 n a 1t 5
=（3）、
1-n a 1t 51n a t 45n a 1t 5-
+
=n a t 45(
15 +n a t 60
=)3
=
．
例3
x x
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
1⎫
x x =cos x -x =sin 30cos x -cos30sin x =30-x
)(⎪2⎪⎭
思考：
，我们是构造一个叫使它的正、余弦分
别等于
1. 2小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中
要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：
1、 已知tan (α+β)=
32π⎫1π⎫⎛⎛
（） , tan β-⎪=, 求tan α+⎪的值．2254⎭44⎭⎝⎝
2、 已知0
值．
π
4
3π⎛π⎫3⎛3π⎫5
求s ,cos -α⎪=,sin +β⎪=，n i
4⎝4⎭5⎝4⎭13
(α+β)的
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导
过程，掌握其应用. 二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β；
cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β；
tan (α+β)=
tan α+tan β
．
1-tan αtan β
我们由此能否得到sin 2α,cos 2α, tan 2α的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导：
sin 2α=sin (α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α；
cos2α=cos (α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos 2α-sin 2α；
思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？
cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-sin 2α-sin 2α=1-2sin 2α；
cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α) =2cos 2α-1．
tan 2α=tan (α+α)=
tan α+tan α2tan α
=．
1-tan αtan α1-tan 2α
注意：2α≠
π
2
+k π, α≠
π
2
+k π (k ∈z )
（三）例题讲解 例1、已知sin 2α=解：由
5ππ
,
π
4
π
2
, 得
π
2
125, cos 2α===-． 又因为sin 2α
=1313于是sin 4α=2sin 2αcos 2α=2⨯
5⎛12⎫120
； ⨯ -⎪=-
13⎝13⎭169
2
120
sin 4α120⎛5⎫119
；tan 4α=． ==-cos 4α=1-2sin 22α=1-2⨯ ⎪=
119cos 4α119⎝13⎭169
169
-
例２、已知tan 2α=解：tan 2α=
1
, 求tan α的值． 3
2tan α12
=，由此得tan α+6tan α-1=0
2
1-tan α3
解得tan α=-2
tan α=-2
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. （五）作业：
P 150. T 3-T 4
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）
一、课标要求：
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．
二、编写意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示sin
2
α
2
,cos 2
α
2
, tan 2
2
α
2
．
解：我们可以通过二倍角cos α=2cos 因为cos α=1-2sin 因为cos α=2cos
2
2
α
2
2
-1和cos α=1-2sin 2=
1-cos α
； 21+cos α
． 2
α
2
来做此题．
α
2
，可以得到sin
α
2
α
2
-1，可以得到cos 2
α
2
=
又因为tan 2α
2==1-cos α． 1+cos αcos 2
2sin 2α
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例２、求证：
（１）、sin αcos β=1sin (α+β)+sin (α-β)⎤⎡； ⎣⎦2
（２）、sin θ+sin ϕ=2sin θ+ϕ
2cos θ-ϕ
2．
证明：（１）因为sin (α+β)和sin (α-β)是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β． 两式相加得2sin αcos β=sin (α+β)+sin (α-β)； 即sin αcos β=1sin (α+β)+sin (α-β)⎤⎡； ⎣⎦2
（２）由（１）得sin (α+β)+sin (α-β)=2sin αcos β①；设α+β=θ, α-β=ϕ， 那么α=θ+ϕ
2, β=θ-ϕ
2．
把α, β的值代入①式中得sin θ+sin ϕ=2sin
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ θ+ϕ2cos θ-ϕ2．
例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
例３
、求函数y =sin x x 的周期，最大值和最小值．
解：y =sin x
x 这种形式我们在前面见过，
⎛1⎫π⎫⎛y =sin x +x =2 sin x +x =2sin x +⎪ ⎪， 2⎪3⎭⎝⎝⎭
所以，所求的周期T =2π
ω=2π，最大值为２，最小值为-2．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
作业：
P 157-P 158 T 1-T 4
《三角恒等变换》复习课（2个课时）
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？ 2
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cosβcos （α-β）- sinβsin （α-β），1= sin2α+cos2α，
1+tan 300tan 450+tan 300==tan（450+300）等。 0001-tan 301-tan 45tan 30
例题
例1 已知sin （α+β）=
21tan α，sin （α-β）=，求的值。 35tan β
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
1222231；（2）sin αsin β+cosαcos β-cos2αcos2β。 -2sin 200sin 700例3 化简（1）
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=π。 2
例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m ，渠深8米。则水渠壁的倾角α应为多少时，方能使修建的成本最低？
分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为α和横断面的周长L 之间建立函数关系，求函数 B C 的最小值