中学数学研 究
年第
期
有心 圆 曲锥 线的
浙 江省象 山 中学
“垂 径定理
张 凯小
”
(35710 0
)
圆的 垂 径定 理是 个 一 所众周 知 的结 论笔
证, 略
.
者 明 尝试 着把 定理 境 情 了 些作 许广拓发 现了一 个 关于 有 心 圆锥曲 线 内料 乘率积 为 定值 的结 论
本 文 将给出 此结论 的 证及 明 在 解题其 的
.
中,
推论
2
1a
.
斜
率 为不
b >
>
0直 的
线
,A
l
与
双线
,曲
护一 护= 1 必 (一
)
交 0于
.
B两点
M 为
线
’应
供 各位用 参
定考 理
`,
.
段 月刀: 的 点中则 是k如 为 定值 e
,
1
Z
一
1
斜 率不” 0 的 直线
`
与,椭 圆,
纂
+
若椭 将 退圆化 圆成所 定述理 即 圆 的 径垂
理
.
,
买定b
`
一
一1
(
、。
>。> 0 ) 于 交
,
·A
B 两
点
M
线为
段综
上 上述定 理 及 其推论 可统 一 叙 为 述以
.
,
A
B
` 一的 中 则 k 点淤k为 定 值 护
1下
的 理
.定
明证
如
图1所示 设直 “
,
定理线
交于 A
斜·率 不 0 的为直 线
,
l
与
有 心 圆锥 曲,
线z 方程y为
七
Z
+,
(h并,
+
Z一
B
点两。
,
“ l 为 M线 段八刀的 中 则点
k.
)0
,
椭与 方 圆程联 立 得 护()
xZ
+
k
淤 为 值定(
一
一
1
) 土
a’Z Z
kZk
x
ma
:
x +
aZ
(m
,
一 U下
注
: 有心 圆 锥曲线 焦 点
_
在
x,
上轴时 定
。值“
,
护
) 二0
,有
+
x
Z 一
二 一-一 一又一 二 -~_ `L `」L `
门「
_
` 了代日产汤
~L
2
.J
.
, 勺 产 `
十.
,勺 2
二
为二( 。
21
一
)
1
; )焦点在
y
轴
上时 值定为 (
一`
“
此
1
.
石
’.
群~
2
P故
M,
.
石(毅 子允兴 )
’.备·
一
下
面 给 出 述上 定理 的 个几应用
: 一、姜
推、论1
1.
l
k
一 产
。纂
一
·
1一
1例
( 0
02
5年 高
考 湖北 卷
,
2
1 题)设 A
,
,
B
,率不 为
的
直
线
`
与
椭
是椭圆 圆3 护 少十 二 上 的 又两 点 点N ( 1 ) 是3
段线 A 刀的中点 线 段刀 月的 垂 平直 分线 与 椭圆
,
手
气+
b“
=
1
(
a
> b >O ) 交 A于 B两 点
,,
,
M
为 线段
相交 于C D 两
点,
.
(1
)确定
程 方;( 2) 略 ,
.
又
、的 值取 围范 并 求 直线A B 的
,
刀八
的 中点 则
k:
.无
彬 为 定 值eZ 一1
,
1:
.
’
由上 想联 双 曲线 类似可得
定 理2
一
斜
率 不为 的直。线
`
双 与线曲,
孚
,., 3分 析 由圆 x “子囚 椭~ “ ~
~
,
一
,.
,
、
:
2
十 ,
一
,2
J
,
.
` ,
二H又
”
·
一
。 可 知”
“
二z”
拓 = 设 3 ~
,
’岁
。
,
线直
一
、一
犬
台
~
一(。1> 。> 。
)交,于A
,
两点
。 B
M2 线 段
A为 B一 -
的
斜率 为
*一、
·, ·
由一
/,
`
,
一A B
k 鲡 ~~
’一
一
止
’
一
尹得 了1一
+
’
万
、
无
朋
一二
1
,
故
直 线八刀 方的程 为 y
.
=
一
x
.
4
久
A
B
的中点
则k:
·k
。
为定值
一
1.
的取
值 范围 解求 略
年 第
例
圆期
20刃06
8
2
。。
中学 数学研
究,
年 考上高 海 卷一
,
题
已 知椭
r ,龙~
r
`
(
(2 一
0=
丁
龙
,
1
.
:
k
二护Zb
l
+
1
7 1
.
)由 圆心
,
C
到直
线+
的焦
点分 别 为
,
) 涯和 0
.凡(2涯
,
cl
F
) 0
A
,
长
轴长 为 设6 直
线 两B点
,
y , = x+ 2
交 椭圆
C于
的距 为离1 有
}
(
一2k
Z
+ +
吞
}1
=
丫k
Z 1 … bk =Zb
1
,
求 段
线
月BC
中的点 坐
_标2 二泣 一
_ 一`
丈 |
|!.
_
_
析 分:设 椭 圆
a 二
的方程 意
b为 =1
,
.二
十
目
VU
L `
2
乍 =
一 3一 力1龙 3 !一O 拒 一
一侧
,
l,
1
,
由 题
k 由 又矿= Zb
+
1
,
知
k
二 一 b
.
或口
3
,
`
=
2
径于是
_,
得易椭 圆C 的
方
程 。为令,
+
少=x
,
1
,
e
,
=
径 一2
石一
J
几二
,
。二 山
一
,
卜
汤
二_
一
.
1(
双
又七月月 划·
丫 瓜
坐标 为 M
(
k
y
) 由则 乏
,`
撇k
二
。2
1
得
,
,。
`
~ 得 M
坐标为 (
,’
又 一鲁9
`
.
、
产`
M
点在 直线
n
、、
一
,一 x
一
+ 2
~
上’
故
可
{
口
,遭
3
’ ,
显
见 当直线 l 与x 垂 直 时轴即
,
,
=下
J
招
~
户~一.
~
’
一
当直 ~线 Z 的方程 为
x
.
=
一
2
时 也满足 题意,
,
.
一
~
一
’
N
’
“
、/
)粤 鲁 5
’5
,
/
’
。击·
,
。
例
3,
2
0 (
年 高2 江 考卷
苏
一2
题0 设 )A
,,
,
双且,
L二小 。、 划 刀 崔 X刀= 二
· ·
净,
一乙
夕 联= 下一
J
~乃
XB
双 曲是 二线 2 一~ ~~2 ~线段八 B 的 点
` 中
零
一.
1
上 `
的两
点 N点(
1’ ,`
2
~
)是
产
一
,
刃
,、
’
`
,,
、`
’
、
`
’
督
l
F
或
,一
督
督
~:
例
。.
已 知椭圆 c
纂必
,
+A
9
一1,
焦 的点是 C
,
(l )
直求线 八 B方 的 程;( 2 ) 略 分 析: 由 双线
曲“
.
,凡 椭上 圆不有同 的三 点 ,
B
且 F
B
.Z
二2
一~
”,
“州
`
~
~零2
一
一1
可知,
。
`
一
招
’
,设
了
一“
’
~
O土
x
}凡A } }凡 B} }凡
A AC
C,
,
C
}等成差 数 列
;
线直八刀 的 斜 率 k为秃
朋=
1
,由 k
劝.
无
朋
=
产
.一
1
,
得
(
1 ) 求弦 ( 2 )弦设,
的中点 M 的 横 坐
标
.
故直线 八刀 方 的程 y
为4
=x +
Z十
x
+1
的 垂直 平 分线的 方 为 程y
=
例
已
直知 线 l与圆 C
T
.
:
1少
,
Zx
= 0
x
k
m
+求 m
取 的 范值围
相
切 点
两点 A于B
,
,
且
与 双 线
曲
x ZT
一少
=
交 于 异
相l
析分 : 1 )(略 ; ( 2 ) 由 ( ) 1得 A弦 C 中点的 的横M坐 标
m
,
x
若
是
线段 八
的B中
点 求 直 线
=
4
,
代
y 入
=
赶,
+
,m
y
4得k m
,十
二
.4k
+
的方程
.所以 设 可点M 的坐 为标 (
4.
)
由
一 分析: 设直 线
l
,
的方
程 为 y`
心
=
’
xk
/一 ,
+
b
,
则一. k
…k
`
k 十一,
学
一 玩( 言k护 0 )
,m
,
,
,
1
。
、
,
玩
·`
’
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一*
,
L
,三
一
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线 直 T鲁 o k~ ~一’
方 程的为 ,/
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,
…。户 M 4 =一 ”M
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丁程 五万
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1
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x
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,
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一
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…
点M 的坐 标 为( 4
+
二黯·
「
、
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25 4 6
,
一
)
因
圆 c为的 圆心坐 标为 (b
1
0
)
故
,’
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1
,
M
椭 在
解圆
16
一
得
书
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一
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一
忆
kc
r k一1
一一万二 十
二
Z
b
k直线
又
1
l与
圆
C相切于 点
T,
,
,
匕
L
一万
J
,
曾 ) 警
·
6
1
5
(k
=
0 时也适合
.)
…
m
一 尧`1
。4 2