常数存在性韦达定理
20.
图1－7
22x y ⎛3H5，H8[2013·江西卷] 如图1－7所示，椭圆C ：＝1. 经过点P 1，，离心率e 43⎝2⎭
1＝l 的方程为x ＝4.AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P) ，设直线AB 与直线l 2
相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3. 问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
解：方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则
直线AB 的方程为y ＝k(x－1) ，③
222222代入椭圆方程3x ＋4y ＝12并整理，得(4k＋3)x －8k x ＋4(k－3) ＝0.
设A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ，则有
8k 4（k －3）x 1＋x 22，x 1x 2＝，④ 24k ＋34k ＋3
在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4，3k) ．
333y 1－y 2－3k －2221从而k 1＝，k 2k 3＝k － x 1－1x 2－14－12
33y 1y 2－22y 1y 2注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有＝k ，所以k 1＋k 2＝x 1－1x 2－1x 1－1x 2－1
＝1y 1y 23⎛1＋ x 1－1x 2－12⎝x 1－1x 2－1⎭
3x 1＋x 2－2＝2k －，⑤ 2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1
8k －224k ＋33④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －2k －1. 24（k －3）8k 2＋124k ＋34k ＋3
1又k 3＝k －，所以k 1＋k 2＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意． 2
y 0方法二：设B(x0，y 0)(x0≠1) ，则直线FB 的方程为：y －1) ． x 0－1
3y 0⎛令x ＝4，求得M 4，. ⎝x 0－1⎭
2y 0－x 0＋1从而直线PM 的斜率为k 3 2（x 0－1）222
y y ⎧⎪x －1x －1），⎛5x －83y ，联立⎨得A ， ⎝2x －52x －5⎭x y ⎪⎩431，00002200
2y 0－2x 0＋52y 0－3则直线PA 的斜率为k 1＝，直线PB 的斜率为k 2 2（x 0－1）2（x 0－1）2y 0－2x 0＋52y 0－32y 0－x 0＋1所以k 1＋k 2＝＋＝2k 3， 2（x 0－1）2（x 0－1）x 0－1
故存在常数λ＝2符合题意．