一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线l :ax +by +c =0，（a 、b 至少有一个不为0），点A (x 0, y 0) 关于直线l 的
22
⎧(b -a ) x 0-2aby 0-2ac ⎪x 1=22⎪a +b 对称点的坐标是B (x 1, y 1) ，则⎨； 22
⎪y =(a -b ) y 0-2abx 0-2bc 122⎪a +b ⎩
这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。
因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。
但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。
本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便于记忆和运用。
将以上的x 1=
2
(b -a ) x 0-2aby
a
2
22
22
-2ac
+b
2
变为：
O x 1=
(b +a ) x 0-2a x 0-2aby
a
2
-2ac
+b
2
=x 0-
2a (ax 0+by 0+c )
a +b
a a
2
22
=x 0-
+b a
2
⋅
2(ax 0+by 0+c )
a
2
+b
2
=x 0-
a
2
+b
2
⋅2d '，
（其中d '=
ax 0+by 0+c
a
2
+b
2
的绝对值是点(x 0, y 0) 到直线l 的距离）
同理：y 1=y 0-
a
B (x 0-
a a
2
b
2
+b
2
⋅2d '，于是点A (x 0, y 0) 关于直线l 的对称点是
+b
2
⋅2d '，y 0-
a
,
2
b
2
+b
2
⋅2d ') ，
其中的向量e =(
a
a
2
+b
) 是直线l 的法向量(a
, b ) A 22
a +b 图一
b
到直线l 的距离是d ，则B (x 0-
a
a
2
+b b
2
⋅2d '，y 0-
a
b
2
+b
2
⋅2d ') 意思是将点
A (x 0, y 0) 按单位法向量(
a
a
2
+b
2
, a
2
+b
2
) 的方向向直线l 的“对面”移动2d 个单位
便得到A 关于直线l 的对称点B ，从图中看得更明显。
因而，对称点B (x 0-
a a
2
+b
2
⋅2d '，y 0-
a
b
2
+b
2
⋅2d ') 既是求对称点的公式，
也是沿法向量平移2d 个单位而得到对称点的方法。
例1 求点B (1, 3) 关于直线：2x -3y +2=0的对称点A 的坐标；
解法一：公式法，设B (1, 3) 关于直线：2x -3y +2=0的对称点坐标为A (x 1, y 1） 依照上述公式得： x 1=1-
2⋅
2(2-9+2)
33, 9) 。
=
3313
，y 1=3-
-3⋅
2(2-9+2)
=
913
，
所以对称点是A (
1313
解法二 如图一，点B 到直线l 的距离是d =
5，点B 在直线l 的上方，直线l 的单
位法向量是e =(
33
9
2, -
3) ，沿此方向将点B (1, 3) 平移2d =
10个单位便得到对称点
A (
1313
, ) ；
例2 已知点A (x 0, y 0) ，（1）求A 关于直线x +y +c =0的对称点坐标；（2）求A 关于直线x -y +c =0的对称点坐标；
解（1）设对称点B (x 1, y 1) ，则由求对称点公式得：
12
2(x 0+y 0+c )
2
=-y 0-c ，y 1=y 0-
12
2(x 0+y 0+c )
2
=-x 0-c ，
x 1=x 0-
⋅⋅
所以对称点是(-y 0-c , -x 0-c ) ；
12
2(x 0-y 0+c )
2
-12(x 0-y 0+c )
⋅=x 0+c 22
（2）x 1=x 0-
⋅
=y 0-c ，y 1=y 0-
即对称点是：(y 0-c , x 0+c ) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
例1：已知椭圆C ：3x 2＋4y 2=12,试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y=4x＋m ，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点A （x 1,y 1）、B(x2,y 2) 关于l 对称，中点为C （x 0,y 0），
1
则AB 所在直线为y=－ x ＋b.
4
13
与椭圆联立得： x 2－2bx ＋4b 2－12=0，
4∴ x 0=
x 1＋x 24b
= , 213
11
－x 1＋b －x 2＋b
y 1＋y 24412b y 0= = = .
2213
∵ C 在y=4x＋m 上,
∴
12b 4b 13m
= ×4＋m, b=－ . 13134
13
(4b2－12)=4b2－52b 2＋13×12>0, 4
又∵ △=4b2－4×
2
13169m 213故 b , 即
4164
22解得：－
1313
由此解题过程不难归纳出步骤如下：
1．假设这样的对称点A 、B 存在，利用对称中的垂直关系设出两点A 、B 所在的直线方程. 2．联立AB 所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C 的坐标. 3．把C 的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式. 4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围. 利用此通法、步骤可解决以下类似问题：
y 2
1．已知双曲线x － =1,双曲线存在关于直线l ：y=k x＋4的对称点，求k 的取值范围.
3
2
1
注：对于此类求斜率k 范围要考虑k=0和k ≠0，因为要用到－ .
k
2．k 为何值时，抛物线y 2=x上总存在两点关于直线l ：y=k（x －1）＋1对称.
在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题：
1o 弦中点位置问题
椭圆 双曲线 抛物线
弦中点在内部 弦中点在Ⅰ（交点在同一支上） 弦中点在抛物线“内部”
或Ⅱ（交点不在同一支上）
2范围问题
x 2y 2
椭圆 ＋ =1 双曲线 抛物线
a b
M （x 0，y 0）为中点，则 M （x 0，y 0）为中点，则 M （x 0，y 0）为中点，则
x y x y x y 2
＋ 1或 －0) a b a b a b (焦点在x 轴上) y ＋2px0) y x y x
－>1或 － 0)
a b a b （焦点在y 轴上） x ＋2py0) 在此基础上用第二种通法来解例1：
已知椭圆C ：3x ＋4y =12,试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y=4x＋m ，椭圆C
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点A （x 1,y 1）、B(x2,y 2) 关于l 对称，中点为C （x,y ），则
3x 12＋4y 12=12,
3x 22＋4y 22=12, 得 ∴ y=3x.
联立y=4x＋m, 解的x=－m,y=－3m, ∵M 在椭圆内部，
(－m) 2(－3m) 2213 213 ∴＋
431313这种通法的步骤是：
1o 设出两点和中点坐标（x ，y ）； 2o 用“点差法”根据垂直关系求出x ，y 满足的关系式； 3o 联立直线方程，求出交点，即中点；
4o 由中点位置及对应范围求出参数取值范围.
另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法： 例2：在抛物线y= ax2－1上存在两点关于直线x ＋y=0对称，求a 的范围. 解：显然a ≠0.
设存在两点为A （x 1,y 1）、B(x2,y 2) ，
y 1－y 2ax 12－ax 221
= = a（x 1＋x 2）=1，即x 1＋x 2= ， x 1－x 2x 1－x 2a y 1＋y 2x 1＋x 21－a
=0，即x 1x 2= ， 22a 因为存在这样的两点，
1－a 1
故方程x 2－ x ＋=0的△>0，
a a 即
1－a 13
－4 >0，a> . a a 4
y 1－y 23(x1＋x 2) 3x 1
=－ =－ =－ , x 1－x 24(y1＋y 2) 4y 4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
o
这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之
和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围
. 当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.