22.2.2 配方法
第2课时
教学内容
给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键
1．重点：讲清配方法的解题步骤．
2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入
（学生活动）解下列方程： （1）x 2-8x+7=0 （2）x 2+4x+1=0
老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：（1）x 2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x 1=7，x 2=1 （2）x 2+4x=-1 x 2+4x+22=-1+22 （x+2）2=3即x+2=
x 1
，x 2
二、探索新知
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1．解下列方程
（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．
解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（ 由此可得x+
3232
）2=-1+（
2
32
）2（x+
2
3
=，即x 1-
232
）2=
5
2
，x 2-
32
（3）去括号，整理得：x 2
+4x-1=0 移项，得x
2+4x=1 配方，得（x+2）2=5
x+2=x 1，x 2 三、巩固练习
教材P 39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、应用拓展
例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数
y ，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=
12
（6x+7）+
12
，x+1=
16
（6x+7）-
16
，因此，方程就
转化为y •的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 解：设6x+7=y 则3x+4=
11，x+1=
12
y+
2
6
y-
16
依题意，得：y 2（
1y+
1）（11）=6
2
2
6
y-
6
去分母，得：y 2（y+1）（y-1）=72 y 2（y 2-1）=72， y 4-y 2=72 （y 2-1）22
=
2894
y 2-12=±172
y 2=9或y 2=-8（舍） ∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-23
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5
3 所以，原方程的根为x 21=-，x 3
2=-
53
五、归纳小结 本节课应掌握：
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 六、布置作业
1. 教材P 45 复习巩固3． 2. 作业设计 一、选择题
1．配方法解方程2x 2-43
x-2=0应把它先变形为（ A ．（x-1）223
=
89
B ．（x-
）23
=0
）．
C ．（x-
13
）2=
89
D ．（x-
13
）2=
109
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）． A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0 C ．（2x+1）2+3=0 D ．（
12
x-a ）2=a
3．已知x 2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 二、填空题
1．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题 1．用配方法解方程．
（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2
2．已知：x 2+4x+y2-6y+13=0，求
x -2y x +y
2
2
的值．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案． 答案:
一、1．D 2．B 3．B
二、1．1，-5 2．正 3．x-y=三、1．（1）y 2-2y-y-1=4
54
4
=0，y 2-2y=y 1
3
，（y-1）2=
13
，
3
+1，y 23
（2）x 2 （）2=•0，x 1=x22．（x+2）2+（y-3）2=0，x 1=-2，y 2=3，
∴原式=
-2-613
=-
813
3．（1）设每件衬衫应降价x 元，则（40-x ）（20+2x）=1200，
x 2-30x+200=0，x 1=10，x 2=20
（2）设每件衬衫降价x 元时，商场平均每天赢利最多为y ，
则y=-2x2+60x+800=-2（x 2-30x ）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250
∵-2（x-15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，y=1250元． 答：略
22.2.3 公式法
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元
二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x 2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x 2- 配方，得：x 2-76
76
x=-16
16
712
x+（
7
712
）2=-25
+（
）2
（x-x-
127
）2=
5
144
5
12
=±+
x 2=- （2）略
512
12712
x 1==
12127-51
+
7
=
7+512
=1
12
=
6
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元
二次方程无解． 二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax +bx+c=0（a ≠0）且b -4ac ≥0，试推导它的两个根x 1
=x 2
=
-b -
2a
22
-b +2a
，
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ 配方，得：x 2+ 即（x+
b 2a
b
b a
x=-
c
）2=
a 2a 2
b -4a c
x+（
b
）2=-
a c
+（
b 2a
a
）2
4a
2
∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴
b -4a c 4a
2
2
≥0
b a
直接开平方，得：x+
即
x=
∴x 1=
-b ±
=±
2a
-b +2a
，x 2=
-b -
2a
由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c
而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=
-b ±
2a
就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
-(-4) ±
2
=
2
=2
∴x 1，x 2
（2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0 2⨯3
1
3
=
5±76
x 1=2，x 2=-
（3）将方程化为一般形式
3x
2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0 ∴
6
=6
∴x 1x 2 （3）a=4，b=-3，c=1
b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5） 四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）x
m +2
2
+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
⎧m +1=1⎧m +1=0⎧m +1=0
①⎨或②⎨或③⎨
m -2≠0⎩⎩(m +1) +(m -2) ≠0⎩m -2≠0
2
2
解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1
b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
2⨯2
1
2
=
1±34
x 1=，x 2=-
12
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
．
所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=- 五、归纳小结 本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业
1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．
13
．
2
B ．
2
11
C ．
2
D ．
2
2
2
=0的根是（ ）．
A ．x 1
x 2
B ．x 1=6，x 2
C ．x 1
x 2
D ．x 1=x2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）． A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2 二、填空题
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x2=-（2）•求代数式a （x 13+x23）+b（x 12+x22）+c（x 1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时
A 100
b a
，x 1·x 2=
c a
；
元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
12
根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？ 答案:
一、1．D 2．D 3．C 二、1．
x=三、1．x=
-b ±2a ±
2
，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3
=a±│b │
2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，
∴x 1=
-b +
∴x 1+x2=
x 1·x 2=
2-b +
b -
2a
，
x 2=
-b -
2a
b a
-b +
2a -b -
c a
，
=
（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx1+c=0，ax 22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x 1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax 12+bx1+c）+x2（ax 22+bx2+c） =0
3．（1）超过部分电费=（90-A ）· （2）依题意，得：（80-A ）·
A 100
A 100
=-
1100
A 2+
910
A
=15，A 1=30（舍去），A 2=50
13