基本初等函数
指数函数
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0且不等于
1。对于a 不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a 等于0函数无意义一般也不考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凸的。
（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a 从0趋向于无穷大的过指数函数程中（不等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴, 并且永不相交。
（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
（8） 指数函数无界。
（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a 互为倒数时，两个函数关于y 轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。 函数图像
（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a) 可知：在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y 轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。（如右图）》。
(4)y=a的x 次方与y=a分之1的x 次方的图像关于y 轴对称。 幂的比较
比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x 的值越大，对应的y 值越大），因为5大于4，所以y2大于y1。
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，
1）然后随着x 的增大，y1图像下降，而y2上升，在x 等于4时，y2大于y1.
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：
对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1.
〈3〉例：下列函数在R 上是增函数还是减函数？说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1，所以y=4^x在R 上是增函数；
⑵y=(1/4)^x
因为0
定义域
x∈R
指代一切实数（-∞，+∞），就是R 。
值域
对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a 满足a>0且a≠1，即说明y>0。所以值域为（0,+∞)。a=1时也可以，此时值域恒为1。
指数与指数幂的运算
1. 根式的概念：一般地，如果存在实数x ，使得x^n=a(a∈R，n 〉1，N+）则x 叫做a 的n 次方根(nthroot)。
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 此时，的次方根用符号表示. 式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数
(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数. 此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示. 正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时，
2. 分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 对数函数
一般地，如果a （a 大于0，且a 不等于1）的b 次幂等于N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log aN=b,读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。一般地，函数y=log(a)X，（其中a 是常数，a>0且a 不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a 的规定，同样适用于对数函数。
定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，
底数则要大于0且不为1 。对数函数的底数为什么要大于0且不为1？ 【在一个普通对数式里 a
通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm), 并把log10N 记为lgN 。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm) ，并且把loge N 记为In N 。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a 〉0，a≠ 1时，a^X=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 在实数范围内，负数和零没有对数
loga a=1 log以a 为底a 的对数为1(a为常数) 恒过点（1，0） 对数函数
对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2） 对数函数的值域为全部实数集合。
（3） 函数图像总是通过（1,0）点。
（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a 大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。
（5） 显然对数函数无界。
（1）log(a)(b)=log(a)(b) (a为底数） （2）lg(b)=log(10)(b) （10为底数） （3）ln(b)=log(e)(b) （e 为底数） 对数函数的运算性质： 如果a 〉0，且a 不等于1，M>0，N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n 属于R ） （4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n 属于R ） （5） a^log(a)(N)=N 对数与指数之间的关系 当a 大于0，a 不等于1时，a 的X 次方=N等价于log(a)N=x log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n 属于R ） 换底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e 为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828) lg 常用对数 以10为底
表达方式
（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b)
（2）自然对数:ln(b)=log(e)(b)
通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a 的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形： 关于X 轴对称、
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
性质
定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需满足{x>0且x≠1} 。 {2x-1>0 ，x>1/2且x≠1}，即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域：实数集R
定点：函数图像恒过定点（1，0）。
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸
对数的图像0
奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。
周期性：不是周期函数
注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正, 底真异对数负。解释如下： 也就是说：若y=log（a ）b （其中a>0,a≠1，b>0） 当00; 当a>1, b>1时，y=log（a ）b>0; 当01时，y=log（a ）b1, 0
定义
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x= g(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x= g(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
用法
例：三角函数中 正弦函数和它的反函数：f(x)=sinx->f(x)=arcsinx 余弦函数和它的反函数：f(x)=cosx->f(x)=arccosx 正切函数和它的反函数：f(x)=tanx ->f(x)=arctanx 余切函数和它的反函数：f(x)=cotx->f(x)=arccotx 指数函数和它的反函数：f(x)=x^a->f(x)=logax
性质
反函数其实就是y=f（x ）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f （x ）与他的反函数f-1（x ）图象关于直线y=x对称；
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C 是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题：求函数y=3x-2的反函数
解：y=3x-2的定义域为R ，值域为R 。
由y=3x-2，解得:
x=(y+2)/3
将x ，y 互换，则所求y=3x-2的反函数是
y=(x+2)/3（x 属于R ）
（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I 上单调，可导，且f’（y ）≠0，那么它的反函数y=f’（X ）在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且
[f'（x)]'=1\[f'（x ）]'。
（12）y=x的反函数是它本身。
（13）互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称
幂函数
形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a 取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a 取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图像都过点（1,1）。 （1）当a>0时，幂函数y=x^a有下列性质： a 、图像都通过点（1,1）(0,0) ； b 、在第一象限内，函数值随x 的增大而增大； c 、在第一象限内，a>1时，图像开口向上；0
a 、图像都通过点（1,1）；
b 、在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像开口向上；
c 、在第一象限内，当x 从右趋于原点时，图象在y 轴上方趋向于原点时，图像在y 轴右方无限逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴[1]。
（3）当a=0时，幂函数y=x^a有下列性质：
a 、y=x^0是直线y=1去掉一点（0,1） 它的图像不是直线
特性
对于a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p 、q 互质），q 和p 都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x 的p 次方），如果q 是奇数，函数的定义域是R ，如果q 是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数a 是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
a 小于0时，x 不等于0；
a 的分母为偶数时，x 不小于0；
a 的分母为奇数时，x 取R 。
定义域
当a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1. 如果a 为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定，即如果同时q 为偶数， 则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2. 如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1. 在x 大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
2. 在x 小于0时，则只有同时a 为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a 为正数，0才进入函数的值域。
由于x 大于0是对a 的任意取值都有意义的，
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。
特殊性
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点. (a≠0) a>0时 图象过点（0，0）和（1，1）
（2）当a 大于0时，幂函数为单调递增为增函数, 但y=x^2,在（-∞，0）上单调递减。
而a 小于0时，幂函数为单调递减为减函数。
（3）当a 大于1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当a 小于1大于0时，幂函数图形上凸（横抛）。当a 小于0时，图像为双曲线。
（4）当a 小于0时，a 越小，图形倾斜程度越大。
（5）显然幂函数无界限。
（6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。
图象
幂函数幂函数的图象：
①当a≤-1且a 为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数，图像关于原点对称
②当a≤-1且a 为偶数时，函数在第二象限为增函数，在第一象限为减函数，图像关于y 轴对称
③当a=0且x 不为0时，函数图象平行于x 轴且y=1、但不过(0,1) ④当0
⑤当a≥1且a 为奇数时，函数是奇函数
⑥当a≥1且a 为偶数时，函数是偶函数
值域
当a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a 为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a 为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q 的奇偶性来确定，即如果同时q 为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x 大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x 小于0时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a 为正数，0才进入函数的值域[2]
性质
对于a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q 和p 都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方) ，如果q 是奇数，函数的定义域是R ，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n 是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a 可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q 不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x 为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a 为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a 为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定，即如果同时q 为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x 大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x 小于0时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a 为正数，0才进入函数的值域。
由于x 大于0是对a 的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1) 这点。
(2)当a 大于0时，幂函数为单调递增的，而a 小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a 大于1时，幂函数图形下凹；当a 小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a 小于0时，a 越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0) ；a 小于0，函数不过(0，0) 点。
(6)显然幂函数无界。