(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}
B ．A ∩B ＝{2} D ．A ∩(∁U B ) ＝{1}
解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D. 2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为( ) A ．∅ C ．[0，＋∞)
B ．{1} D ．{(0,1)}
解析：选B 由1－x 2≥0得，－1≤x ≤1， ∵x ∈Z ，∴A ＝{－1,0,1}．
当x ∈A 时，y ＝x 2＋1∈{2,1}，即B ＝{1,2}， ∴A ∩B ＝{1}．
x 1⎧⎪2e ，x ＜2，
3．设f (x ) ＝⎨则f (f (2))＝( ) x
⎪log 3(2－1)，x ≥2，⎩
－
A ．0 C ．2
解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1) ＝1. ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 11＝2.
－
B ．1 D ．3
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞) 上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x 2
－
B ．y ＝x 1
－
C ．y ＝x 2－2 解析：选A ∵y ＝x
－1
D ．y ＝log 1x
2
是奇函数，y ＝log 1x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝
2
x 2－2在区间(0，＋∞) 上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．
5．函数y ＝log 2|1－x |的图像是(
)
解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到： y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.
2⎫⎛1
6．已知幂函数y ＝f (x ) 的图象过点，
⎝22⎭，则log 2f (2)的值为( ) 1A. 2C ．2
α
1B
2D ．－2
1
21α1112
解析：选A 设f (x ) ＝x ，则＝⎛，∴α＝f (2)＝2log f (2)＝log 2＝22
2⎝22221
7．函数f (x ) ＝lg x －x ( ) A ．(0,1) C ．(10,100)
B ．(1,10) D ．(100，＋∞)
191
解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－＞0，f (100)＝2－0，
1010100
1
∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x ) ＝lg x －x 的零点所在的区间为(1,10)．
8．已知a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则a ，b ，c 之间的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜a
解析：选D ∵a ＝0.32∈(0,1)， b ＝log 20.3＜0，c ＝20.3＞1. ∴c ＞a ＞b .
9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定) ，注满烧杯后，继
续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )
B ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c
解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.
1＋x 210．已知函数f (x ) ＝，则有( )
1－x 1A ．f (x ) 是奇函数，且f ⎛⎝x ＝－f (x ) 1B ．f (x ) 是奇函数，且f x ＝f (x ) 1C ．f (x ) 是偶函数，且f ⎛⎝x ＝－f (x )
1D ．f (x ) 是偶函数，且f ⎛⎝x ＝f (x ) 解析：选C ∵f (－x ) ＝f (x ) ， ∴f (x ) 是偶函数，排除A 、B. 1又f x ＝
1＋x 2
＝＝－f (x ) ，故选C. 1⎫2x －11－x ⎭1⎫21＋⎛⎝x ⎭
11．已知函数f (x ) ＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x ) ≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] C ．[2，＋∞)
B ．(－∞，2) D ．(2，＋∞)
解析：选A 因为f (x ) ＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x ) ≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.
|lg x |，0
12．已知函数f (x ) ＝⎨1若a ，b ，c 互不相等，且f (a ) ＝f (b ) ＝f (c ) ，则
－x ＋6，x >10，⎪⎩2abc 的取值范围是( )
A ．(1,10) C ．(10,12)
解析：选C 作出f (x ) 的大致图象．
B ．(5,6) D ．(20,24)
1
由图象知，要使f (a ) ＝f (b ) ＝f (c ) ，不妨设a
2于是lg a ＋lg b ＝0. 故ab ＝1. 因而abc ＝c .
由图知10
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A ) ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵A ＝{x |x ＞1}， ∴∁U A ＝{x |x ≤1}．
由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A ) ∪B ＝R 可知a ≤1. 答案：(－∞，1]
414．－lg 83＋lg 75＝________.
7
2
12111
解析：原式＝lg 4＋－lg 7－lg 8＋lg 7lg 5＝2lg 2＋＋lg 5)－2lg 2＝.
232221
答案：
2
x ⎧⎪2＋1，x ＜1，
15．已知函数f (x ) ＝⎨2若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________．
⎪x ＋ax ，x ≥1，⎩
解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ， ∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ， ∴a ＝2. 答案：2
16．已知函数f (x ) ＝lg(2x －b )(b 为常数) ，若x ∈[1，＋∞) 时，f (x ) ≥0恒成立，则b 的取值范围是________．
解析：∵要使f (x ) ＝lg(2x －b ) 在x ∈[1，＋∞) 上，恒有f (x ) ≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞) 上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x ) ＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.
答案：(－∞，1]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)当a ＝2时，求A ∩B ；
(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)． (2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞) ． 故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，
故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞) ．
18．(本小题满分12分) 已知f (x ) ＝log a x (a ＞0且a ≠1) 的图象过点(4,2)． (1)求a 的值；
(2)若g (x ) ＝f (1－x ) ＋f (1＋x ) ，求g (x ) 的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x ) 的单调减区间．
解：(1)由已知f (x ) ＝log a x (a ＞0且a ≠1) 的图象过点(4,2)， 则2＝log a 4，即a 2＝4， 又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2. (2)g (x ) ＝f (1－x ) ＋f (1＋x ) ＝log 2(1－x ) ＋log 2(1＋x ) ．
⎧⎪1－x ＞0，由⎨得－1＜x ＜1，定义域为(－1,1) ． ⎪1＋x ＞0，⎩
(3)g (x ) ＝log 2(1－x ) ＋log 2(1＋x ) ＝log 2(1－x 2) ，其单调减区间为[0,1)．
19．(本小题满分12分) 已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x ) ＝ax 2＋bx ，f (2)＝0，方程f (x ) ＝x 有两个相等实根．
(1)求函数f (x ) 的解析式； (2)若x ∈[1,2]时，求f (x ) 的值域；
(3)若F (x ) ＝f (x ) －f (－x ) ，试判断F (x ) 的奇偶性，并证明你的结论． 解：(1)由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，即 2a ＋b ＝0. ①
方程f (x ) ＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，
即ax 2＋(b －1) x ＝0(a ≠0) 有两个相等实根， ∴(b －1) 2＝0，
1∴b ＝1，代入①得a ＝－21
∴f (x ) ＝－x 2＋x .
2
11
(2)由(1)知f (x ) ＝－x －1) 2＋.
22显然函数f (x ) 在[1,2]上是减函数，
1
∴x ＝1时，f (x ) max ＝x ＝2时，f (x ) min ＝0.
210. ∴x ∈[1,2]时，函数f (x ) 的值域是⎡⎣2(3)F (x ) 是奇函数．
证明如下：F (x ) ＝f (x ) －f (－x ) －2＋x ⎫－⎡－－x )2＋(－x )⎤ ＝⎛⎝2⎭⎣2⎦＝2x ，
∵F (－x ) ＝2(－x ) ＝－2x ＝－F (x ) ， ∴F (x ) 是奇函数．
20．(本小题满分12分) 某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y (件) 与销售单价x (元) 的关系如图所示．
(1)试求y 关于x 的函数解析式；
(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？
解：(1)设日均销售y 与销售单价x (元) 的函数关系为：y ＝kx ＋b (k ≠0) ，把(3,600)，(5,500)
⎧⎪3k ＋b ＝600，代入上式，得⎨
⎪5k ＋b ＝500，⎩
解得k ＝－50，b ＝750，
∴日均销售量y 与销售单价x (元) 的函数关系为y ＝－50x ＋750,3≤x ≤12. (2)设销售单价为x 元，日均获利W 元，根据题意得， W ＝(x －3)(－50x ＋750) －300＝－50(x －9) 2＋1 500， ∵a ＝－50＜0，且3＜9＜12，
∴当x ＝9时，W 有最大值，最大值为1 500元．
21．(本小题满分12分) 已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) ＝2x －1. (1)求f (3)＋f (－1) ； (2)求f (x ) 的解析式；
(3)若x ∈A ，f (x ) ∈[－7,3]，求区间A . 解：(1)∵f (x ) 是奇函数，
∴f (3)＋f (－1) ＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6. (2)设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x ) ＝2x －1，
－
∵f (x ) 为奇函数，
∴f (x ) ＝－f (－x ) ＝－2x ＋1，
－
x ⎧⎪2－1，x ≥0，
∴f (x ) ＝⎨－x
⎪－2＋1，x ＜0. ⎩
(3)作出函数f (x ) 的图象，如图所示． 根据函数图象可得f (x ) 在R 上单调递增， 当x ＜0时，－7≤－2x ＋1＜0，
－
解得－3≤x ＜0；
当x ≥0时，0≤2x －1≤3， 解得0≤x ≤2； ∴区间A 为[－3,2]．
22．(本小题满分12分) 对于函数f (x ) ＝a －(1)探索函数y ＝f (x ) 的单调性；
(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x ) 为奇函数；
(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x ) ＝m (x ∈[0,1]) 有解的实数m 的取值范围． 22
解：(1)函数f (x ) 的定义域为R ，设x 1＜x 2，则f (x 1) －f (x 2) ＝⎛a －bx ＋1－⎛a －bx ＋1＝
⎝⎭⎝⎭12
2(bx 1－bx 2)
(bx 1＋1)(bx 2＋1)
当b ＞1时，由x 1＜x 2， 得bx 1＜bx 2，从而bx 1－bx 2＜0， 于是f (x 1) －f (x 2) ＜0， 所以f (x 1) ＜f (x 2) ，
此时函数f (x ) 在R 上是单调增函数； 当0＜b ＜1时，由x 1＜x 2， 得bx 1＞bx 2，从而bx 1－bx 2＞0， 于是f (x 1) －f (x 2) ＞0，所以f (x 1) ＞f (x 2) ， 此时函数f (x ) 在R 上是单调减函数． (2)函数f (x ) 的定义域为R ，由f (0)＝0得a ＝1. 当a ＝1时，
b x －12
f (x ) ＝1－＝
b ＋1b ＋1
b x －11－b x 2
f (－x ) ＝1－＝－b ＋1b ＋11＋b －
a ∈R ，b ＞0，且b ≠1) ． b ＋1
满足条件f (－x ) ＝－f (x ) ， 故a ＝1时，函数f (x ) 为奇函数． 2
(3)f (x ) ＝1－，
2＋1∵x ∈[0,1]，
∴2x ∈[1,2]，2x ＋1∈[2,3]， 2
，1⎤， ∈⎡⎦2＋1⎣3
10，， ∴f (x ) ∈⎡⎣3要使f (x ) ＝m (x ∈[0,1]) 有解，
11
0，⎤. 则0≤m ≤，即实数m 的取值范围为⎡⎣3⎦3