直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线相交的弦长公式

①AB =

②AB =+k 2⋅x 2-x 1=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]

③AB =y 2-y 1一、已知双曲线方程和直线方程求弦长

y 2π

=1的左焦点F 1，作倾斜角为的弦AB ，求AB ；⑵∆F 2AB 的面积（F 2为例1、 过双曲线x -

63

2

双曲线的右焦点）。

y 2

=1截得的弦长； 1、求直线y =x +1被双曲线x -4

2

2、过双曲线16x -9y =144的右焦点作倾斜角为

2

2

π

的弦AB ，求弦长AB ； 3

x 2y 2

-=1截得的弦长为2，求直线L 的方程； 3、已知斜率为2的直线L 被双曲线54

4、过双曲线x 2-y 2=1的左焦点F 2，作倾斜角为（1）弦长AB

（2）△∆F 1AB 的周长（F 2为双曲线的右焦点）

二、已知弦长求双曲线方程

5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y =x -2被双曲线截得的弦长为2，求此双曲线的标准方程．

6、已知倾斜角为

π

的直线与双曲线相交于A , B 两点，求： 3

π22

的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82，求直线l 的方程． 4

例2、 已知双曲线方程为3x -y =3，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3x -y =3.

问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

2

2

22

7、已知中心在原点，顶点A 1, A 2在x

轴上，离心率为（Ⅰ）求双曲线的方程；

的双曲线经过点P (6,6) 3

（Ⅱ）动直线l 经过∆A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M , N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。

题型三：

x 22

9、设双曲线C :2-y =1(a >0)与直线l :x +y =1相交于不同的点A 、B.

a

⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围； ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且=

x 22

解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线y ＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ① 由题设条件知，

a

2

⎧⎪1－a ≠0⎨4

22

⎪4a ＋8a －a ⎩

5

，求a 的值。 12

1＋a ，解得0

6

且e≠2. 2

1， a ∵2且a≠1，∴

→→

555

(2)设A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ，P(0,1)． ∵PA ， ∴(x1，y 1－1) ＝2，y 2－1) ．∴x 1＝x 2，

121212172a 2522a 2

∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a ≠0， ∴x 2x ＝－

121－a 1221－a 2

2a 228917

消去x 2得，－ ∵a>0，∴a ＝. ＝60131－a

10. 已知双曲线的焦点为F 1(-c , 0)，F 2(c , 0)，过F 2且斜率为，PQ =4，求双曲线方程。 OP ⊥OQ (其中O 为原点）

11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分

3

的直线交双曲线于P 、Q 两点，若5

AB OB 成等差数列，且BF 与FA 同向． 别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知OA （Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

解：（Ⅰ）设OA =m -d ，AB =m ，OB =m +d 由勾股定理可得：(m -d ) +m =(m +d )

2

2

2

1b AB 4

m ，tan ∠AOF =，tan ∠AOB =tan 2∠AOF == 4a OA 3

b 2

=4，解得b =1,

则离心率e = 由倍角公式∴2

a 23⎛b ⎫

1- ⎪⎝a ⎭

x 2y 2a

（Ⅱ）过F 直线方程为y =-(x -c ) , 与双曲线方程2-2=1联立，将a =

2b ，c =代入，

b a b

得：d =

152化简有2x -

x +21=0

4=1-x 2=4b b x 2y 2解得b =3 故所求的双曲线方程为-=1。 将数值代入，有4=369x 2y 2

12、已知双曲线1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3) 在双曲线上．

a b 11

(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且⋅=0. 求 |OP ||OQ |

2

2

2

2

x 2y 2

解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c －a ＝3a －1，即3x 2－y 2＝3a 2.

a 3a

∵点M (，在双曲线上，∴15－3＝3a 2. ∴a 2＝4. x 2y 2

∴所求双曲线的方程为＝1.

412

x 2y 2

(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0) ，联立＝1，得

412

12⎧2

x =⎪12(k 2＋1)1⎪3-k 2222

∴|OP |＝x ＋y ＝ 则OQ 的方程为y ＝－， ⎨2k 3－k

⎪y 2=12k ⎪3-k 2⎩

1⎫⎛

12 1+2⎪2

3－k 2＋(3k 2－1)2＋2k 2111k ⎭12(k ＋1)⎝2

同理有|OQ |＝＝， ＋＝|OP ||OQ |3k －112(k ＋1)12(k ＋1)63-2

k

13．(2012上海) 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.

(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；

(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1. 若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．

⎛x 2⎫

-y 2=1，左顶点

A -解：(1)双曲线C 1：

2⎪⎪，渐近线方程为：y ＝2x . ⎝⎭

2

过点A 与渐近线y ＝2x

平行的直线方程为y =

x +，即y ＝2x ＋1.

2⎭⎧y =⎪⎧12⎪⎪y =. ∴解方程组⎨，得⎨所求三角形的面积为S ＝|OA ||y |＝.

281y =+1⎪⎪⎩

y =

⎪⎩2

|b |

(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ ＝1，即b 2＝2.

由⎨

⎧y =x +b ⎩2x -y =1

2

2

得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1) 、Q (x 2，y 2) ，则⎨

⎧x 1+x 2=2b ⎩x 1x 2=-1-b

2

又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b ) ，

∴OP ⋅OQ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2) ＋b 2＝2(－1－b 2) ＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ . (3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |23

，则O 到直线MN 的距离为23

当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx (

显然k >

) ， 2

1⎧2

x =⎪⎧y =kx 1⎪4+k 2

则直线OM 的方程为y ＝－. 由⎨2得⎨ 22k

⎩4x +y =1⎪y 2=k

⎪4+k 2⎩

1＋k 21＋k 22

∴|ON |＝. 同理|OM |＝. 设O 到直线MN 的距离为d .

4＋k 2k －1

2

3k 2＋31113

∵(|OM |＋|ON |) d ＝|OM ||ON |， ＝3，即d ＝. ＝d |OM ||ON |3k ＋1

2

2

2

2

2

综上，O 到直线MN 的距离是定值．

五、能力提升

1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线x -y =1总有公共点，则b 的取值范围是（ ） (A) -3, 3 (B)[-3, 3] (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]

2

2

()

y 2

=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、2．过双曲线x -B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） 2

2

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

x 2y 2b ⎫⎛

3．过点P -1, -⎪的直线l 与双曲线2-2=1(a >0, b >0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰

a b a ⎭⎝

是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）

(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4

x 2y 2

4. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45 的直线与双曲线的右支

a b

有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)

6．直线l :y =kx +2与双曲线C :x -y =6的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 7. 已知倾斜角为

2

2

π22

的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82，求直线l 的方程．

4

x 2y 2

8. 设直线l :y =3x -1与双曲线于2-2=1(a >0, b >0)相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标

a b

为

1

． 2

a 2

(1)求2的值；(2)求双曲线离心率．

b

x 2y 2

9. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，

a b

l d 与PF 2的等比中项？ 能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得PF 1是P 到的距离