毕业论文
题 目 上、下极限的性质与应用 学生姓名 王丹丹 学号 1109014029 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学数教1101班 指导教师 洪 洁 __ ____ _ 完成地点 陕西理工学院 _ __
2015年6月10日
上、下极限的性质与应用
王丹丹
（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000）
指导教师:洪洁
[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐
明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.
[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性
1 引言
极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]
是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.
2 上、下极限的概念
2.1 数列的上、下极限的概念
定义2.1.1[5] 若a(b)表示数列{xn}的最大（小）聚点,则limxn=axn=b).
n→∞
n→∞
定义2.1.2[6] 设{xn}是有界数列,若a(b)表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则limxn=axn=b).
n→∞
n→∞
注 数列{xn}的上极限limxn的特征是
n→∞
（1）∃子列{xnk}使得limxnk=limxn(k=1,2,3
n→∞
n→∞
n→∞
).
（2）对于{xn}的任一收敛子列{xnk}恒有limxnk≤limxn.
n→∞
同样,下极限limxn的特征是
n→∞
（1）∃子列{xnk}使得limxnk=xn(k=1,2,3
n→∞
n→∞
n→∞
).
（2）对于{xn}的任一收敛子列{xnk}恒有limxnk≥xn.
n→∞
（3）若{xnk}是{xn}的子列,则limxnk≤limxn , xnk≥xn.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.
定义2.1.3[7] limsup{xk}=a称为数列{xn}的上极限,liminf{xk}=b称为数列{xn}的下极限.
n→∞k≥n
n→∞k≥n注 由于定义2.1.2 设{xn}是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列{xn}无界的情况: （1）数列{xn}有下界而无上界
按定义2.1.1,扩充聚点也可为-∞,+∞,显然,数列{xn}的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数,可能为-∞.
按定义2.1.2, -∞,+∞可为极限点,显然,数列{xn}所有收敛子列的极限组成数集的上确界为
+∞,而其下确界可能为有限数,可能为-∞.
按定义2.1.3,显然limxn=+∞,而inf{xn}单调增加,但可能没有上界,故limxn可能为有限数,可
n→∞
n>k
n→∞
能为+∞.
（2）数列{xn}有上界而无下界,同上.
（3）数列{xn}既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有
limxn=+∞,xn=-∞.
n→∞
n→∞
据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价. 定义2.1.4[8] infsup{xk}(k=1,2,3
n≥1k≥n
xk}称为数列{xn}的下)称为数列{xn}的上极限,supinf{k≥n
n≥1
极限.
定义2.1.5[9] 设a是一个实数
（1）若对∀ε>0,有无穷多个n使得xn>a-ε,同时至多有有限个n使得xn>a+ε,数a称为数列{xn}的上极限,记作limxn=a.
n→∞
（2）若对∀ε>0,有无穷多个n使得xn
n→∞
注1 由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.
注2 由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.
推论 当limxn=a的充分必要条件是xn=limxn=a.
n→∞
n→∞
n→∞
注1 若{xn}是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当{xn}没有上界时,我们可以认为它的上极限为+∞,记为limxn=+∞;当{xn}没有下界时,它的极限为-∞,记为xn=-∞.但当数
n→∞
n→∞
列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论. 2.2 函数的上、下极限
定义2.2.1[10] 设f(x)在点x=a的某去心邻域内有定义,如果存在点列xn→a(xn≠a)使
limf(xn)=A(A∈),则称x→a时,f(x)存在子极限A.或者说A是当x→a时f(x)的一个子
n→∞
极限.
与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者M与最小者M*,分别称作上极限与下极限记为
*
limf(x)以及limf(x).同样有limf(x)存在且仅当limf(x)=limf(x).
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
2.3集合列的上、下极限
[11]
∞
n→∞
n→∞
∞
定义2.3.1
设{An}是一个集合列,记limAn=lim
k=n
Ak;An=lim
n→∞
n→∞
k=n
Ak.它们分别称为
集合列{An}的上极限与下极限.
3 上、下极限的性质
性质3.1[12]（保序性） limxn≤limxn.
n→∞
n→∞
性质3.2[13]（控制性质） 若{xnk}为{xn}的子列,则有xn≤xnk≤limxnk≤limxn.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
性质3.3[5](保不等式性) 设数列{xn}和{yn}是两个有界数列且有N>0,使当n>N时,有
xn≤yn则limxn≤limyn,xn≤yn.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
注1 若∀n≥n0有xn≤α(常数),则有limxn≤α;若∀n≥n0有xn≥β,则有xn≥β.
n→∞
n→∞
注2 若α,β为常数,又存在N>0,时有α≤xn≤β则α≤xn≤limxn≤β.
n→∞
n→∞
性质3.4[14]（符号性质） limxn=-lim(-xn),limxn=--xn).
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
性质3.5[15]（符号性质）
（1）若c
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
（2）若c>0,则cxn)=cxn,lim(cxn)=climxn.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
性质3.6 若{xn}为有界递增数列,则limxn=limxn.
n→∞
n→∞
相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极
限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论. 性质3.7 (加减运算性质)若{xn},{yn}为有界数列,则
lim(xn+yn)≤limxn+limyn,
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
(3.1)
(3.2)
xn+yn)≥xn+yn.
n→∞
.
注1 不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取an=(-1)n,bn=(-1)n-1,n∈N+,则有limxn=limyn=-1,limxn=limyn=1,xn+yn)=lim(xn+yn)=0.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
推论 若{xn}和{yn}中有一个收敛,则有:
lim(xn+yn)≤limxn+limyn,
n→∞
n→∞
n→∞
xn+yn)≥xn+limyn.
n→∞
n→∞
n→∞
性质3.8(加减运算性质) 若{xn},{yn}为有界数列,则
xn+yn)≤xn+limyn≤lim(xn+yn).
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
性质3.9(乘法运算性质) 若xn≥0,yn≥0(n=1,2
n→∞
n→∞
),则
lim(xnyn)≤limxnlimyn,
n→∞
lim(xnyn)≤limxnlimyn.
x→∞
x→∞
x→∞
特别地,若{xn}与{yn}之一收敛时取等号.
性质3.10（倒数运算性质） 若xn>0(n=1,2
)xn>0,则lim
n→∞
11
=.
n→∞xxnn
n→∞
推论 若xn>0,n=1,2,3,且limxnlim
n→∞
1
=1则数列{xn}收敛.
n→∞xn
4 上、下极限的应用
4.1上、下极限在数列敛散性中的作用
上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解
决数列的敛散性.
例4.1.1若xn>0(n=
1,2,
)≤lim
n→∞
xn+1
. xn
分析 有界数列{xn}的极限不存在,即有界数列{xn}发散时,但有界数列{xn}的上极限和下极限一定是存在的;又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.
证 设x=lim
n→∞
xn+1
,当x=+∞时,结论必然成立. xn
xn+1
当0≤x0,∃N>0当k>N时,有
任取n>N,令k=N,N+1,,n-1,将所得n-N个不等式相乘,由k>N可得:
xN+1xN+2
⋅xNxN+1
即
xn-1xn
⋅
xn
)n-N, xN
则
xn
其中
M=x
N(x+ε)-N,
于是有
由此得
≤x+ε)=x+ε.
由ε的任意性可知,所证结论成立.
例4.1.2设{xn} 为有界数列,xnk (k=1,2,
{}
)是它的一个子列,a
limxk+axnk=A ,则{xn} 收敛并求其极限.
k→∞
()
证 由上,下极限的性质3.7有
A=limxk+axnk=xk+ank
k→∞
k→∞
()()
≤xk+alimxnk
k→∞
k→∞
≤xn+alimxn,
n→∞
n→∞
A=limxk+axnk=limxk+ank
k→∞
k→∞
()()
≤limxk+axnk
k→∞
k→∞
n→∞
≤limxn+axn,
n→∞
于是
xn+alimxn≥limxn+axn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
由a
n→∞
n→∞
n→∞
则A=limxn+axnk=limxk+alimxnk=(1+a)c ,
n→∞
n→∞
n→∞
()
xn=由于a≠-1 ,因此 lim
n→∞
A
. 1+a
利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.
例4.1.3 设非负数列{xn} 满足条件0≤xm+n
),(n=1,2,) ,证明数列
lim
xnx
=n,n=1,2,} .
n→∞nn
证 对任意的n=1,2,
有0≤xn≤xn-1+x1≤xn-2+2x1≤
≤nx1,
于是,0≤
xnx
≤x1,因此数列{n 是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令 nn
x
β=inf{n,n=1,2,},
n
xn
≥β.
n→∞n
则有
取定正整数m,对于任意的正整数n,必有n=pm+q(p,q∈,q
an≤pam+aq,
因此
xqxnpxm
≤+. npm+qn
对于固定的m,n→∞⇔p→∞,取上极限便得
lim
对于每一个m都成立,因而
xxnpxmx
≤lim+limq=m.
n→∞nn→∞pm+qn→∞nm
lim
从而有
xnxx
≤inf{m,m=1,2,}=inf{n,n=1,2,}=β,
n→∞nmn
lim
xnx
≤n.
n→∞nn→∞n
又根据lim
xnx
≥limn所以
n→∞nn→∞n
lim
xnx
=inf{n,n=1,2,}.
n→∞nn
上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收
敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明（:1）证明{xn}有界（;2）证明{xn}有收敛子列{xnk}收敛到某个常数a（;3）证明{xn}也收敛到a.而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.
定理4.1.4 设{xn}是有界数列.
（1）xn=a的充分必要条件是对任何ε>0都存在N ,使当n≥N 时,就有xn>a-ε 且
n→∞
在{xn} 的一个子列{xnk} ,使得xnk-a
x→∞
;
(2)limxn=a 的充分必要条件是对任何ε>0都存在N ,使当n≥N 时,就有xn>a+ε 且存在{xn}的一个子列{xnk},使得xnk-a
n→∞
.
定理4.1.5 若{xn} 是有界数列且有xn=a 和limxn=b,则有
x→∞
（1） 存在{xn} 的一个子序列收敛于
a;
（2） 存在{xn} 的一个子序列收敛于 b; （3）存在{xn} 的任一收敛子列,若其极限为
c ,则有a≤c≤b .
定理4.1.6（柯西收敛原则） 数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.
证 必要性 设limxn=a .于是对于任给的ε>0 ,都有N ,使当n>N 时,就有
x→∞
xn-a
于是当m>N,n>N 时,就有
ε
2
.
xm-xn≤xm-a+xn-a
即{xn} 为柯西数列.
充分性 设{xn} 是柯西数列.于是有N ,使当m>N,n>N 时,就有
xm-xn
特别地,当m=N+1 时,有
xN+1-1N),
可见,{xn} 有界.
对于任给的ε>0 ,存在N' ,使当n>N' 时,就有
xn-xN'+1
xN'+1-εN' .
在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到
xN'+1-ε≤xn≤limxn≤xN'+1+ε .
n→∞
x→∞
因此有
0≤limxn-xn≤2ε .
n→∞
n→∞
由ε>0 的任意性即得limxn≤limxn .再由定理4.1.5即知{xn} 收敛.
n→∞
n→∞
注1 柯西数列[10]:设{xn}是一个数列,如果对于∀ε>0,都存在自然数N,使当m>N,n>N时,就有xm-xn
注2 柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可. 4.2上、下极限在极限运算中的作用
例4.2.1已知limxn=x,求证lim
n→∞
x0+x1++xn
=x.
n→∞n+1
分析 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:
由于对任意ε>0,存在N(N=1,2,
),当k>N时,有x-ε
令n→∞,得到
x0+x1++xNn-Nx+x++xnx+x++xNn-N
+(x+ε)(4.1) +(x-ε)
n+1n+1n+1n+1n+1
(x-ε)≤lim
x0+x1++xn
≤(x+ε).
n→∞n+1
再由ε的任意性得到
x0+x1++xn
≤x.
n→∞n+1
x+x1++xn
错误是预先认定了极限lim0的存在.
n→∞n+1
lim
如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.
证 由（1）,令n→∞,得到
(x-ε)≤再由ε的任意性得到
x0+x1++xnx+x++xn
≤lim01≤(x+ε), n→∞n→∞n+1n+1
于是推得
x0+x1++xnx+x++xn=lim01=x. n→∞n→∞n+1n+1
lim
x0+x1++xn
=x.
n→∞n+1
类似上述过程,不少书中直接写为:“令n→∞,（4.1）式的左右两边分别趋于x-ε和x+ε.”由于
ε的任意性可得
lim
x0+x
1++xn
=x.
n→∞n+1
不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收
敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.
例4.2.2 设a>1,x>
定义
xn+1=
试证 limxn=n→∞
a+xn
,n=1,2,31+xn
,
(4.2)
证 易得到0
n→∞
n→∞
由此可得到β>0,令f(x)=
α+x
x+1
则
f'(x)=
1+x-x-a
(1+x)
2
=
1-a
(1+x)
2
故f(x)单调递减.在(1)中取上限可得
α≥
a+β
⇒α+αβ≥a+β, 1+β
n→∞
所以有a+α≥a+β⇒α≥β≥α,故α=β,因而limxn存在,在(1)中取极限,可得出
limxn=n→∞
注 如果β≤0,则有α=β,因而{xn}的极限存在且等于零,在(4.2)中令n→∞,便得到矛盾. 求解函数的上、下极限,有利于认清函数本身的结构. 例4.2.3 设f(x)=sin
1
,求limf(x),f(x).
x→0x→0x
解 据函数的有界性可知,任何子极限都介于-1和1之间. 选取数列xn=
12n+
2
→0则f(xn)→1(n→∞).
若选取yn=
13
2n+
2
→0则f(yn)→-1(n→∞).
因此可知limf(x)=1,f(x)=-1.
x→0
x→0
可以证明,任何介于[-1,1]之间的实数都是x→0时f(x)=sin4.3 上、下极限在级数论中的作用
1
的子极限. x
上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.例如,利用上、下极限改进了达朗贝尔判别法[10]
（比值判别法）,柯西判别法[10]（根值判别法）,使得它们的结论更加完整.而利用改进型的判别法,可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.
定理4.3.1 对于正项级数
∑u
n=1n
∞
n
,令ρ=那么
（1）当ρ
∑u
n=1
∞
收敛;
（2）当ρ>1或无穷大时,级数
∑u
n=1
∞
n
发散;
（3）当ρ=1时,级数
∑u
n=1
∞
n
可能收敛也可能发散.
注 改进型的判别法就是针对达朗贝尔判别法（比值判别法）,柯西判别法（根值判别法）这两
个判别法中的极限lim
un+1
=
ρ与=ρ不存在的情形给出的.
nn→∞un
幂级数收敛半径的结论如下 对于幂级数
∑ax
nn=0
∞
n
,如果
lim
则幂级数的收敛半径
n→∞
an+1
=
ρ或=ρ, （4.3）
nan
⎧,ρ≠0;
⎪⎪
R⎨+∞,ρ=0; ⎪0,ρ=+∞.⎪⎩
如果（4.3）的极限不存在,利用上、下极限就可以得到完整的结论.
定理4.3.2 对于幂级数
∞
∑ax
nn=0
n
,
=ρ,则幂级数的收敛半径
⎧,ρ≠0;⎪⎪
R⎨+∞,ρ=0; ⎪0,ρ=+∞.⎪⎩
注 定理4.3.2是对幂级数收敛半径的结论的进一步补充,得到幂级数收敛半径完整性的结果. 4.4 上、下极限在后续教程中的应用
引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所
知,关于Lebesgue积分有三大收敛定理,其中Faton引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.
定理4.4.1（Fatou引理） 若{fn(x)}是可测集E上非负可测函数列,则
⎰
En→∞n
f(x)dm≤⎰fn(x)dx.
n→∞E
证 非负函数gn(x)=inf{fj(x)j≥n}显然有
gn(x)≤gn+1(x),k=1,2
而且
由Levi定理得
,
limgn(x)=fn(x),x∈E.
n→∞
n→∞
⎰
En→∞n
f(x)dx=⎰limgn(x)dx
En→∞
=lim⎰gn(x)dx≤⎰fn(x)dx.
n→∞E
n→∞E
注1 Levi定理[11]:设{fk(x)}是可测集E上的非负可测函数列,满足
f1(x)≤f2(x)≤
且有limfk(x)=f(x),x∈E,则lim
k→∞
≤fk(x)≤
E
,
k→∞E
⎰fk(x)dx=⎰f(x)dx.
注2 由Faton引理推导Lebesgue控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式
lim⎰fn(x)dx≤⎰f(x)dm≤⎰fn(x)dm.
n→∞E
n→∞E
推出 lim
n→∞E
⎰fn(x)dm=⎰fn(x)dm．
E
∞
上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用. 定理4.4.2 设集列{Ei}是单调增加的可测集列,E=
i=1
[2]
Ei=limEk,则
k→∞
limmEk=m(limEk)=mE.
k→∞
k→∞
定理4.4.3 设集列{Ei}是单调减少的可测集列,E=
i=1
[2]
∞
Ei=limEk,且mE1
k→∞
limmEk=m(limEk)=mE.
k→∞
k→∞
例4.4.4 设{En}是R中一列可测集,证明: （1）m(limEn)≤limmEn;
n→∞
n→∞
p
∞
（2）若存在n0,使m(
n=n0
∞
En)
n→∞
n→∞
∞
∞
证 （1）因为En=
n→∞
n=1k=n
Ek.记An=
k=n
Ek,则A1⊂A2⊂
∞
∞
∞
An⊂
.由定理4.4.3得
mEn)=m(
n→∞
n=1k=n
∞
Ek)=limm(
n→∞
k=n
Ek).
由于对任何N(N=1,2,
),m(
k=n
Ek)≤mEn成立,所以 mEn)≤mEn.
n→∞
n→∞
∞
∞
∞
（2）因为limEn=
n→∞
n=1k=n
Ek,记Bn=
k=n
Ek,则B1⊃B2⊃
∞
Bn⊃.又已知存在n0,使
m(Bn0)=m(
由定理4.4.2得
∞
Ek)
k=n0
∞∞
m(limEn)=m(
n→∞
n=1k=n
Ek)=limm(
n→∞
k=n
Ek).
∞
由于对任何N(1,2,
),有m(
k=n
Ek)≥mEn,所以
m(limEn)≥limmEn.
n→∞
n→∞
参考文献
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The Nature Of the Superior and Inferior Limits and the
Application
WangDanDan
（Grade110, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept, Shaanxi University
of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi）
Tutor: Hong Jie
Abstract :This article introduced the concept of the superior and inferior limits and superior and inferior limits of
isotony, protecting the inequality and some properties in the arithmetic, an example is given to illustrate the role of the superior and inferior limits in the sequence convergence and divergence, equivalent and theory of series and discussed the superior and inferior limits in real functions of real variable and the application of the theory of seies.
Key words:SuperiorLimit; Inferior Limit; Sequence; Convergence