第一章 解三角形
一、选择题
1．已知A ，B 两地的距离为10 km，B ，C 两地的距离为20 km，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( ) ．
A ．10 km
B ．10km a cos
2
c cos
2
C ．105km D ．107km
2．在△ABC 中，若＝
b cos
2
＝，则△ABC 是( ) ．
A ．等腰三角形 C ．直角三角形
B ．等边三角形 D ．等腰直角三角形
3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c ) ＝3ab ，则c 边的对角等于( ) ．
A ．15°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶
∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( ) ． A ．∶2∶1
B ．2∶∶1
C ．1∶2∶
D ．1∶∶2
5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) ．
A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( ) ． A ．30°或150°
B ．60°
C ．60°或120°
D ．30°
7．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2) sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2) sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( ) ．
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在
8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) ．
3 D ．3 2
a 3＋b 3－c 33
9．在△ABC 中，＝c 2，sin A·sin B ＝，则△ABC 一定是( ) ．
a ＋b －c 4A ．
B ．
C ．
A ．等边三角形 C ．直角三角形
B ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
32
233
2
10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( ) ．
A ．①只有一解，②也只有一解． C ．①有两解，②只有一解． 二、填空题
11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．
12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2
B ．①有两解，②也有两解． D ．①只有一解，②有两解．
A
，则此三角形是__________三角形． 2
13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4， b ＝5，S ＝5，求c 的长度
14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．
15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为
3，则△ABC 的周长为________________． 4
16．在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．
三、解答题
17．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝此三角形．
18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角 ．
(第18题)
3
b ，解3
19．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c ) cos B ， (Ⅰ) 求∠B 的大小；
(Ⅱ) 若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
sin (A -B ) a 2-b 220．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：＝． 2
sin C c
参考答案
一、选择题 1．D
解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC
＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700．
AC ＝10． 2．B
及正弦定理，得sin A ＝sin B ＝sin C ，由2倍角cos cos cos cos cos cos 222222A B C
的正弦公式得sin ＝sin ＝sin ，∠A ＝∠B ＝∠C ．
222
解析：由
＝
＝
3．C
解析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c ) ＝3ab ， 得 a 2＋b 2－c 2＝ab ．
a
b
c
1a 2+b 2-c 2
∴ cos C ＝＝．
22ab 故C ＝60°． 4．D
解析：由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶∶2． 5．D
解析：△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． ππ⎧⎧
sin A ＝cos A ＝sin (－A ) A ＝－A 12112⎪⎪22⎪⎪ππ⎪⎪
若△A 2B 2C 2不是钝角三角形，由⎨sin B 2＝cos B 1＝sin (－B 1) ，得⎨B 2＝－B 1，
22⎪⎪π⎪sin C 2＝cos C 1＝sin ⎪C 2＝π－C 1(－C 1)
⎪⎪22⎩⎩
那么，A 2＋B 2＋C 2＝
π3π
－(A 1＋B 1＋C 1) ＝，与A 2＋B 2＋C 2＝π矛盾． 22
所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 6．C
解析：由
a b a sin B
＝，得sin A ＝＝
b sin A sin B
2⨯
2
＝3，
222
而b ＜a ，
∴ 有两解，即∠A ＝60°或∠A ＝120°． 7．A
解析：由方程可得(sin A －sin C ) x 2＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0． ∵ 方程有两个不等的实根， ∴ 4sin2 B －4(sin 2 A －sin 2 C ) ＞0． 由正弦定理
a b c
＝＝，代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2＞0， sin A sin B sin C
再由余弦定理，有2ac cos A ＝b 2＋c 2－a 2＞0． ∴ 0＜∠A ＜90°． 8．B
解析：由余弦定理得cos A ＝9．A
a 3＋b 3－c 3解析：由＝c 2⇒a 3＋b 3－c 3＝(a ＋b －c ) c 2⇒a 3＋b 3－c 2(a ＋b ) ＝0⇒
a ＋b －c
331
，从而sin A ＝，则AC 边上的高BD ＝．
222
(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －c 2) ＝0．
∵ a ＋b ＞0，
∴ a 2＋b 2－c 2－ab ＝0． (1) 由余弦定理(1) 式可化为
a 2＋b 2－(a 2＋b 2－2ab cos C ) －ab ＝0，
1
，∠C ＝60°． 2
b a sin 60︒b sin 60︒a
由正弦定理＝＝c ，得sin A ＝，sin B ＝，
sin A sin B c c sin 60︒得cos C ＝
ab (sin 60︒) 23
∴ sin A ·sin B ＝＝，
4c 2
ab
∴ 2＝1，ab ＝c 2．将ab ＝c 2代入(1) 式得，a 2＋b 2－2ab ＝0，即(a －b ) 2＝0，a ＝b ．
c
△ABC 是等边三角形．
10．D
解析：由正弦定理得sin A ＝
a sin B 5，①中sin A ＝1，②中sin A ＝．分析后可知①b 9
有一解，∠A ＝90°；②有两解，∠A 可为锐角或钝角．
二、填空题 11．60°或120°． 解析：由正弦定理12．等腰．
解析：由已知得2sin B sin C ＝1＋cos A ＝1－cos (B ＋C ) ， 即2sin B sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C ) ， ∴ cos(B －C ) ＝1，得∠B ＝∠C ， ∴ 此三角形是等腰三角形． 13．21或61． 解：∵ S ＝
1
ab sin C ，∴ sin C ＝，于是∠C ＝60°或∠C ＝120°．
22
a b ＝计算可得sin A ＝，∠A ＝60°或120°． sin A sin B 2
又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ，c ＝21； 当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ，c ＝61． ∴ c 的长度为21或61． 14．10＋53．
解析：由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，然后运用函数思想加以处理． ∵ 2x 2－3x －2＝0， ∴ x 1＝2，x 2＝－
1． 2
又cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根， ∴ cos C ＝－
1． 2
1
) ＝(a ＋b ) 2－ab ， 2
由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·(－
则c 2＝100－a (10－a ) ＝(a －5) 2＋75， 当a ＝5时，c 最小，且c ＝75＝53， 此时a ＋b ＋c ＝5＋5＋5＝10＋5， ∴ △ABC 周长的最小值为10＋53． 15．13．
解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6，可得a ∶b ∶c ＝2∶5∶6，于是可设a ＝2k ，b ＝5k ，c ＝6k (k ＞0) ，由余弦定理可得
a 2＋b 2－c 24k 2＋36k 2－25k 25
cos B ＝＝＝，
2ab 82(2k )(6k )
∴ sin B ＝－cos 2B ＝由面积公式S △ABC ＝
． 8
1
ac sin B ，得 2
3391
·(2k ) ·(6k ) ·＝，
842
∴ k ＝1，△ABC 的周长为2k ＋5k ＋6k ＝13k ＝13．
339
本题也可由三角形面积(海伦公式) 得13k (13k 2k 13k 5k )(13k 6k ) ＝，
42222
即
33923k ＝，∴ k ＝1． 44
∴ a ＋b ＋c ＝13k ＝13． 16．6∶5∶4．
解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得
a sin A sin 2C a
＝＝＝2cos C ，即cos C ＝， c sin C 2c sin C
a 2＋b 2－c 2(a ＋c )(a －c ) ＋b 2
由余弦定理cos C ＝＝．
2ab 2ab
∵ a ＋c ＝2b ，
2b (a －c ) ＋b
a ＋c a ＋c
2(a －c ) ＋＝，
2a
∴ cos C ＝
2ab
∴
a ＝2c
2(a －c ) ＋
2a
a ＋c
．
整理得2a 2－5ac ＋3c 2＝0． 解得a ＝c 或a ＝
3c ． 2
3c 2
∵∠A ＝2∠C ，∴ a ＝c 不成立，a ＝
3
c +c
a +c 5∴ b ＝＝＝c ， 242
∴ a ∶b ∶c ＝
53
c ∶c ∶c ＝6∶5∶4． 24
故此三角形三边之比为6∶5∶4． 三、解答题
17．b ＝4，c ＝8，∠C ＝90°，∠B ＝60°或b ＝43，c ＝4，∠C ＝30°，∠B ＝120°． 解：由正弦定理知
43b 4a
＝＝，b ＝43． ⇒⇒sin B ＝
sin B 2sin A sin 30︒sin B
∠B ＝60°或∠B ＝120°或∠C ＝30°⇒∠C ＝90°⇒c ＝8或c ＝4．
18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD ＝θ，这样可在△ABC 中利用正弦定理求出BC ；再在△BCD 中，利用正弦定理得到关于θ 的三角函数等式，进而解出θ 角．
解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，AB ＝100米， ∠ACB ＝45°－15°＝30°． 根据正弦定理有∴ BC ＝
100BC
＝， sin 30︒sin 15︒
(第18题)
100sin 15︒
．
sin 30︒
又在△BCD 中，∵ CD ＝50，BC ＝
100sin 15︒
，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ ，
sin 30︒
100sin 15︒
50
根据正弦定理有＝．
(90︒＋θ) sin 45︒sin
解得cos θ ＝－1，∴ θ ≈42.94°． ∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．
19．解：(Ⅰ) 由已知及正弦定理可得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ， ∴ 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin (B ＋C ) ． 又在三角形ABC 中，sin (B ＋C ) ＝sin A ≠0，
∴ 2sin A cos B ＝sin A ，即cos B ＝
1π，B ＝． 23
1
ac sin B ， 2
(Ⅱ) ∵ b 2＝7＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ 7＝a 2＋c 2－ac ， 又 (a ＋c ) 2＝16＝a 2＋c 2＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝
即S △ABC ＝
1333·3·＝． 224
20．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理． 解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴ 2(a 2－b 2) ＝－2bc cos A ＋2ac cos B ， a 2－b 2－b cos A ＋a cos B ＝． c 2c
由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， a 2－b 2－b cos A ＋a cos B ∴＝ 2
c c sin A cos B －sin B cos A ＝
sin C
＝
sin (A －B )
．
sin C
故命题成立．