高一数学必修《圆与方程》同步练习
一、选择题.
1. 若圆的一条直径的两个端点分别是(2，0) 和(2，- 2) ，则此圆的方程是( )
A. x 2 + y 2 - 4x + 2y + 4＝0 B. x 2 + y 2 - 4x - 2y - 4 = 0
C. x 2 + y 2 - 4x + 2y - 4＝0 D. x 2 + y 2 + 4x + 2y + 4 = 0
2. 若点P (m 2，5) 与圆x 2 + y 2 = 24的位置关系是( )
A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 不确定
3. 已知点A (1，- 2，11) ，B (4，2，3) ，C (6，- 1，4) ，则 △ABC 的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4. 点B 是点A (1，2，3) 在坐标平面yOz 内的射影，则|OB |等于( ) A. B. C. 2 D.
5. 当a 取不同的实数时，由方程x 2 + y 2 + 2ax + 2ay - 1 = 0可以得到不同的圆，则下列结论正确的是( )
A. 这些圆的圆心都在直线y = x 上
B. 这些圆的圆心都在直线y = -x 上
C. 这些圆的圆心都在直线y = x ，或在直线y = - x 上
D. 这些圆的圆心不在直线上
6. 直线l :2(x + y ) + 1 + a = 0与圆C : x 2 + y 2＝a (a ＞0) 的位置关系是( )
A. 恒相切 B. 恒相交 C. 恒相离 D. 相切或相离
7. 如果直线y = -
m 的范围是( ) x + m 与圆x 2 + y 2 = 1在第一象限内有两个不同的交点，那么实数3
⎛⎫⎛2⎫⎪ A. (-，2) B. (-3，3) C. ， 1⎪ D. 1 3⎪ 3⎪⎝⎭⎝⎭
8. 圆x 2 + 2x + y 2 + 4y - 3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离为2的点共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 过原点的直线与圆x 2 + y 2 + 4x + 3 = 0相切，若切点在第三象限，则这条直线的方程是( )
A. y =3x B. y = -3x C. y =x D. y = -x 33
10. 如果圆心坐标为(2，- 1) 的圆在直线x - y - 1 = 0上截得弦长为22，那么这个圆的方程为( )
A. (x – 2) 2 +(y + 1) 2 = 4 B. (x - 2) 2 +(y + 1) 2 = 2
C. (x - 2) 2 +(y + 1) 2 = 8 D. (x - 2) 2 +(y + 1) 2 = 16
二、填空题.
1. 在空间直角坐标系中，如果点P 的坐标是（x ，y ，z ），那么与点 P
①关于原点对称的点P 1是 ______________；
②关于x 轴对称的点P 2是 ______________；
③关于y 轴对称的点P 3是 ______________；
④关于z 轴对称的点P 4是 ______________；
⑤关于xOy 坐标平面对称的点P 5是 ______________；
⑥关于yOz 坐标平面对称的点P 6是 ______________；
⑦关于zOx 坐标平面对称的点P 7是 ______________；
2. 圆心在直线5x - 3y = 8上，又与两坐标轴相切的圆的方程是 _____________.
3. 经过两点A (-1，4) ，B (3，2) ，且圆心在 y 轴上的圆的方程是 __________________.
4. 过圆x 2 + y 2 - 6x + 4y - 3 = 0的圆心，且平行于x + 2y + 11 = 0的直线方程是 _______ ____.
5. 若点P 在圆C 1：x 2 + y 2 - 8x - 4y + 11 = 0上，点Q 在圆C 2：x 2 + y 2 + 4x + 2y + 1 = 0上，则|PQ |的最小值是__________________.
6. 在z 轴上求一点M ，使点M 到点A (1，0，2) 与点B (1，-3，1) 的距离相等，则点M 的坐标是 ________________.
三、解答题.
1. 已知三条直线l 1 : x - 2y = 0，l 2 : y + 1 = 0，l 3：2x + y - 1 = 0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.
2. 已知点A (0，2) 和圆C :(x - 6)2 +(y – 4) 2 = 36，一条光线从A 点发出射到x 轴上后5
沿圆的切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过的路程.
3. 已知圆x 2 + y 2 = r 2，点P (x 0，y 0) 是圆外一点，自点P 向圆作两条切线，A ，B 是切点，求弦AB 所在直线的方程.
4. 自圆C ：x 2 + y 2 - 4x - 6y + 12 = 0外一点P (a ，b ) 向圆作切线PT ， 点 T 为切点，且 |PT |＝|PO |(点O 为原点) ，求|PT |的最小值以及此刻点P 的坐标.
5. 圆 A 的方程为 x 2 + y 2 - 2x - 7 = 0，圆 B 的方程为 x 2 + y 2 + 2x + 2y – 2 = 0，判断圆A 和圆B 是否相交，若相交，求过交点的直线的方程；若不相交，说明理由.
参考答案
一、选择题.
1. A
【解析】半径为
圆心为(2，-1) .
∴ (x - 2) 2 +(y + 1) 2 = 1.
∴ x 2–4x + y 2 + 2y + 4 = 0.
2. A
【解析】由于 m 4 + 25＞24，
∴ 点P 在圆外.
3. C
【解析】可求得 |AB| =32+42+(-8) 2=；
|BC| =22+(-3) 2+12=；
|AC| =52+12+(-7) 2=75.
∴ |AB|2 = |BC|2 + |AC|2.
∴ △ABC 为直角三角形.
4. B
【解析】射影坐标为(2，3) ，
∴ |OB |=.
5. A
【解析】x 2 + y 2 + 2ax + 2ay - 1 = 0，
∴ (x + a ) 2 +(y + a ) 2 = 1 + 2a 2.
圆心为(-a ，-a ) .
∴圆心在直线 y = x 上.
6. D
【解析】圆心 O 到直线 l 的距离d =
即比较 0-(-2) = 1， 2a + 1. 2a +1 与 2a 的大小，
a 2+2a +1即 与 a 比大小， 4
(a -1) 2
即 与 0 比大小， 4
∴ a +1≥a . 2
∴ 直线与圆相切或相离.
7. D
【解析】如图所示，
交点若在第一象限，
则m ＞1.
8. C (第 7 题)
【解析】(x + 1) 2 +(y + 2) 2 = 8，
圆心为(-1，-2) .
∴ 圆心到x + y + 1＝0的距离为|-1-2+1| = 2x 2.
∴ 有三个点，如图，即 A ，B ，C 三个点.
9. A
【解析】(x + 2) 2 + y 2 = 1， (第 8 题)
∵ 圆心(-2，0) 到 y =
∴ y =
10. A
【解析】圆心到直线的距离为
∴ R = (2) 2+(2) 2= 2， x 的距离为 1， 3x 符合题意. 32+1-12=2，
∴ 圆的方程为(x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 4.
二、填空题.
1. ①(-x ，-y ，-z ) ； ②(x ，-y ，-z ) ； ③(-x ，y ，-z ) ； ④(-x ，-y ，z ) ； ⑤(x ，y ，-z ) ； ⑥(-x ，y ，z ) ； ⑦(x ，-y ，z ) .
2. (x －4) 2+(y - 4) 2 = 16，或(x - 1)2+(y + 1) 2 = 1.
【解析】∵ 圆与两坐标轴相切，
∴ 圆心在 y = x ，或 y = -x 上.
又圆心在5x - 3y = 8上，
∴ 圆心为(4，4) ，或(1，-1).
∴ 圆的方程为 (x - 4) 2 +(y - 4) 2 = 16，或 (x - 1) 2 +(y + 1) 2 = 1.
3. x 2 +(y - 1)2 = 10.
【解析】设圆的方程为x 2 +(y + b ) 2 = R 2，
将 A (-1，4) ，B (3，2) 代入，
解得 b = -1，R =.
∴ x 2 +(y - 1) 2 = 10.
4. x + 2y + 1 = 0.
【解析】∵ (x - 3) 2 +(y - 2) 2 = 16，
∴ 圆心为(3，-2) .
又所求直线斜率为 -1， 2
∴ 直线方程为 x + 2y + 1 = 0. 5. 35- 5.
【解析】把圆C 1，C 2的方程都化成标准形式，得
(x - 4) 2 +(y - 2) 2 = 9，(x + 2) 2 +(y + 1) 2 = 4.
圆C 1的圆心坐标是(4，2) ，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(-2，-1) ，半径长是2. 连心线长等于4+2) 2+(2+1) 2=.
所以，|PQ |的最小值是35- 5.
6. (0，0，-3) .
【解析】设点 M 的坐标为(0，0，a ) ，
∴ 2+02+(2 - a ) 2=2+(-3) 2+(1-a ) 2，
∴ a = -3，
∴ M (0，0，-3).
三、解答题.
1. 【解】l 2平行于x 轴，l 1与l 2互相垂直，三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆
.
⎧x =-2，⎧x -2y =0，⎪解方程组⎨ 得 ⎨ y +1=0，⎩⎪y =-1. ⎩
所以点A 的坐标是(-2，-1) .
⎧2x +y -1=0，解方程组⎨ 得 y +1=0，⎩⎧⎪x =1， ⎨⎪⎩y =-1.
所以点B 的坐标是(1，-1) .
⎛1⎫所以线段AB 的中点坐标是 -，-1⎪，又|AB |=⎝2⎭-2-12+-1+12= 3，
1⎫9⎛所求圆的标准方程是 x +⎪+(y + 1) 2 = . 2⎭4⎝2
2. 【解】设反射光线与圆相切于点D . 点A 关于x 轴的对称点的坐标为A 1(0，-2) ，则光从点A 到切点所走的路程为|A 1D |.
在Rt △Ａ1ＣD 中，
|A 1D |2 = |A 1C |2 - |CD |2 =(-6) 2 +(-2-4) 2 -
∴ |Ａ1Ｄ|＝18. 5
185. 5936 = 36×. 55即光线从点A 到切点所经过的路程是
3. 【解法一】设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，
过点A 的圆的切线方程为x 1x + y 1y = r 2，
过点B 的圆的切线方程为x 2x + y 2y = r 2.
由于点P 在这两条切线上，得
x 1x 0 + y 1y 0 = r 2， ①
x 2x 0 + y 2y 0 = r 2. ②
由①②看出，A ，B 两点都在直线x 0x + y 0y = r 2上，而过两点仅有一条直线， ∴ 方程x 0x + y 0y = r 2就是所求的切点弦AB 所在直线的方程.
【解法二】已知圆x 2 + y 2 = r 2， ① A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上，
x ⎫⎛y ⎫x +y ⎛它的方程是 x - ⎪+ y - ⎪=. ② 2⎭⎝2⎭4⎝2222
①-②得x 0x + y 0y = r 2.
这就是两圆相交弦所在直线的方程，也是切点弦AB 所在的直线的方程.
4. 【解】圆C :(x - 2) 2+(y - 3) 2 = 1，
圆心为(2，3) ，由|PT |=|PO |，
∴ (a -2) 2+(b -3) 2-1= a 2+b 2，
∴ a 2 - 4a + 4 + b 2 - 6b + 9 - 1 = a 2 + b 2，
∴ 4a + 6b = 12，
即 2a + 3b = 6.
13224⎛6 - 2a ⎫a - a +4， ∴ |PT | =a +b =a + ⎪=99⎝3⎭2222
1218，b = 时, ｜PT ｜最小， 1313
6⎛1218⎫ ⎪. |PT | =，此时P 13⎝1313⎭∴ a =
5. 【解析】圆 A 的方程可写为(x - 1)2+(y - 1) 2 = 9
圆 B 的方程可写为(x + 1) 2 +(y + 1) 2 = 4
∴ 两圆心之间的距离满足 3 - 2＜|AB |=1+1) 2+(1+1) 2=2＜3 + 2. 即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.
∴ 两圆相交.
圆 A 的方程与圆 B 的方程左、右两边分别相减得 -4x - 4y - 5 = 0. ∴ 4x + 4y + 5 = 0 为过两圆交点的直线方程.