函数(一)
学习重点：理解函数的概念； 教学难点：一、复习引入：
1. 初中（传统）函数的定义：
设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就称y 是x 的函数， x是自变量。
2. 初中已经学过的函数：
问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？
x 2
问题2：y =x 与y =是同一函数吗？
x
二、新课讲解
观察对应：
求平方
B
1. 函数的定义：
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作
y =f (x ) ， x∈A
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =f (x ) 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) |x ∈A }（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号y =f (x ) 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f (x ) . 2. 已学函数的定义域和值域
（1）一次函数f (x ) =ax +b (a ≠0) :定义域R, 值域R;
（2）反比例函f (x ) =
k
(k ≠0) :定义域{x |x ≠0}, 值域{x |x ≠0}; x
（3）二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) :定义域R 值域：当a >0时，
⎧⎧4ac -b 2⎫4ac -b 2⎫⎨y |y ≥⎬；当a
4a 4a ⎩⎭⎩⎭
3. 函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{f (x ) |x ∈A } 4. 函数的值：关于函数值 f (a )
例：f (x ) =x 2+3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11
注意：1︒在y =f (x ) 中f 2︒f (x ) 不一定是解析式，有时可能是“列表” 3︒f (x ) 与f (a ) 5. 区间的概念和记号
设a,b ∈R ,且a
①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a
这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在
区间内的端点：
这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞), “∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 还可把满足x ≥a ，x>a，x ≤b ，x
∞,b ],(- ∞,b).
6. 求函数定义域的基本方法
如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x 的集合 7. 分段函数：
有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数. 分段函数是一个函数，而不是几个函数. 8. 复合函数：
设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或
g [f (x )] =(2x -3) 2+2=4x 2-12x +11）为复合函数 三、例题讲解
例1. 求下列函数的定义域：
① f (x ) =
11
；② f (x ) =3x +2；③ f (x ) =x +1+. x -22-x
例2 已知函数f (x ) =3x 2-5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
例3下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？
⑴y =
x )；⑵y =
2
x 3；⑶y =x 2
例4 .下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①y 1=
(x +3)(x -5)
x +3
y 2=x -5
②y 1=x +1x -1 y 2=(x +1)(x -1) ③f 1(x ) =(2x -5) 2 f 2(x ) =2x -5
(x
⎪
例5. 已知f (x ) =⎨π (x =0) ，求f(-1),f(0),f(1),f{f[f(-1)]}
⎪x +1(x >0) ⎩
2
例6. 已知f (x )=x -1 g (x )=x +1求f [g (x )]
例7. 求下列函数的定义域：
①f (x ) =
4-x -1 ②f (x ) =
2
x 2-3x -4
x +1-2(x +1) 0x -x
③f (x ) =
1+
111+1x
④f (x ) =
⑤y =
x -2+3+1x +7
注：求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
例8. 若函数y =ax 2-ax +
例9. 若函数y =f (x ) 的定义域为[-1，1]，求函数
11
y =f (x +) ⋅f (x -) 44
1
的定义域是R ，求实数a 的取值范 a
例10. 已知f(x)满足2f (x ) +f (1) =3x ，求f (x ) ；
x
例11. 设二次函数f (x ) 满足f (x +2) =f (2-x ) 且f (x ) =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x ) 的解析式.
四、课后练习
1. 求下列函数的定义域： （1）f (x ) =1
x +1 （2）f (x ) =-x -x -1 （3）f (x ) =x 2+3x -4
x +1-2
2. 已知f (x ) =1
x +1
, 则函数f [f (x )]的定义域是？
3. 设f (x ) 的定义域是[-3，2]，求函数f (x -2)
4. 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x-1, 求f(x)
）=x +2x , 求5. 若f (x +1
6. 已知：f (x ) =x2-x+3 求： f(x+1), f(
7已知函数f (x ) =4x+3，g(x)=x2, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
1x
8. 若f () = 求f(x)
x 1-x
1) x