《勾股定理》教学案例与反思
房县土城初中 陈微微 联系电话 [1**********]
【摘要】数学要使学生接受陌生的新知识，最有效的方法就是从学生的身边入手，创设一个学生感兴趣的情境，善于把数学内容放在真实有趣的情境里，让他们真正地投入到学习的全过程去。不仅可以让学生满怀亲切地学到知识，而且可以更好地激起学生的兴趣，从而培养学生的创新意识。初中数学中“勾股定理”是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切联系起来，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位．勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。是几何中重要定理，是学生后续学习的重要基础。因此，为了提高课堂教学的效益，本节课拟以《几何画板》软件为平台，利用几何画板的强大的演示实验功能，帮助学生对勾股定理进行自主、合作探索，便于知识的形成与发展。让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解勾股定理的意义。
【关键词】教学情境 自主探索 合作交流 数学经验
【案例背景】
《数学课程标准》指出:“应力求从学生熟悉的生活情景出发,选择学生身边的、感兴趣的数学问题,以激发学生学习的兴趣与动机,使学生初步感受数学与日常生活的密切联系。”在数学教学活动中, 教师应选择学生感兴趣的熟悉的教学情境，激发学生的学习积极性, 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。
【情境描述】
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化涵．《数学课程标准》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。
教学设计不仅仅是课堂教学设计，还应包括设计的依据、理念、思路剖析和相应的安排意图等。下面就以勾股定理一课的教学设计加以浅析：
一、教学设计依据
1.知识本身：任何教学设计如若离开相应的知识内容，那么无论设计如何精妙，那也只是一句空谈。是无本之木、无水之源。设计只会因知识的内涵而精彩。
2.学生：教学是师生双边及多边活动，离开了学生而凭空想像，只会喧宾夺主，给人以空城之感。只有结合学生实际，因材施教，针对不同层次，作到点面结合，教学设计才能达到一石多鸟的效果。
二、教学设计理念
一节课的好坏标准尽管不一，也没有成文的规定，但最基本的应有以下几点：
1、能激发学生的学习兴趣。兴趣是最好的老师。没有兴趣学生无疑是在听天书，而教师也只是对牛弹琴，收效甚微。
2、学生自觉主动参与其中，而且表现活跃，讨论热列，交流深入。让他们自己去探究知识的形成过程，以及知识的应用价值。因此，学生的参与度和表现欲，是衡量一节课的一项重要指标。
3、学生的学习效果：归根结底，精妙的教学手段，积极的学生参与，再加上良好的学习效果，那么这节课则是一节成功之作。否则这节课则是一败笔，至少说不算成功。
三、 教学目标设计
1.知识目标：
掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。
2.能力目标：
通过勾股定理的发现与证明，渗透数形结合的思想方法，增强逻辑思维能力，操作探究能力。
3.情感目标：
通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．通过定理的探索，培养学生的探索精神和和合作交流的能力。
四、教学内容设计
勾股定理内容及其简单应用及在实际生活中的应用。
将本节的教学模式分为五步：情境引入——定理探索——定理应用——定理证明——课堂拓展的模式展开。教师引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题并与学生共同探索、讨论。让学生经历知识的形成与应用的过程，为了提高课堂教学的效益，本节课拟以《几何画板》软件为平台，能更好地理解勾股定理的意义。
五、教学过程的设计
活动一为：情境引入——创设情境，激发冲突
1.一个美丽的故事：世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为 了取得与外星人的联系，想了很多方法。早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。
我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。
2.一个著名的问题：《九章算术》有一勾股定理名题:“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”
本题的意思是：有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。问水有多深，该植物有多长？
教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题，从而出示课题——勾股定理。
【设计意图】通过“一个美丽的故事”的阅读，创设一个遐想的情境，诱发学生发挥想像，初步感受勾股定理的神秘，从而调动学生的情绪，使学生以饱满的热情进入学习探究状态。通过“一个著名的问题”初步探究，了解勾股定理的古老与神奇。问题本身具有极大的挑战性，这样无形中激发了学生的强烈的求知欲，为学生主动探究课题做好了心理准备。
活动二为：定理探索——自主操作，引导探索
（一）定理探索1：等腰直角三角形的三边数量关系
出示如图1所示图形，说明图中每个小方格代表一个单位面积。引导学生根据三个问题进行个体主动探究与思考。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（二）定理探索2
：验证猜想
引导学生操作：在《几何画板》的格点中画出直角边为5cm、12cm的直角三角形，验证你刚才的猜想是否成立。（图中每个小方格的边长为1cm）
教师了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的研究结果进行全班交流。
（三）定理探索3：得出结论
引导学生思考问题：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？
学生利用《几何画板》的动态演示，在运动过程中注意观察各个正方形面积的变化及其关系，从而得出勾股定理：
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
+= 即：若△ABC中， ∠ACB＝90°，三边分别为a.b.c ，则abc222
教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。
【设计意图】八年级学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中逐渐完善自己的观点。故本段设计遵循“构建主义”的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。教师只是给学生提供一定的学习“情景”，在此“情景”中，学生通过“协作”、“会话”和“意义建构”进行有效学习。
定理的探索按照由“特殊”到“一般”的思想方法进行，在思想认识上循序渐进，学生容易接受。学生在走完一步时，自然想到下一步是否可行。在得到猜想后自然会设法验证自己的猜想的正确性。
活动三为：定理应用——实际应用、巩固新知
（一）定理应用1：一个著名问题的解决
解 由题意得：在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，BC=5，
CD=1，设植物长AB＝x，则水深AC＝x－1，
根据勾股定理得AC
+=所以x（x-1）52222+BC=AB22
，所以x＝13，
x－1＝12。
答：水深12尺，植物长13尺.
【设计意图】本段内容主要通过教师启发引导，学生共同探究完成，一方面让学生感受解决问题的愉悦与强烈的成就感，加强对勾股定理的理解。另一方面教师作为教学的组织者，很有必要通过适当的讲解让学生知道：（1）勾股定理应用的前提条件（在直角三角形中）；（2）勾股定理应用的方式（构造方程）。如例具有较大的难度，用传统的方法很难把题意弄清，更不用说是让学生听明白。
但利用《几何画板》的动态演示，学生很快明白题意，顺利将此问题转化成纯数
学问题，再通过添加适当的辅助线将此问题转化成直角三角形的问题，从而正确进行数学建模。
（二）定理应用2：这节课的内容掌握得怎么样？同学们很想检验一下本节课的学习效果吧。
请同学们根据需要选择下面不同难度的题目，
（1）轻松过关；（2）略加思考；（3）勇于挑战。
【设计意图】本段遵循“因材施教”，“人人学有价值的数学”，“让不同的人得到不同的发展”的教学理念。尝试进行分层练习，以适合不同层次的学生的需要，让所有学生都能体验成功，
有利于调动学生的学习积极性，对优秀学生则通过较难的具有挑战性的练习体现他们的“价值”。
练习提供查看答案，及时反馈学生的学习效果。对练习全部正确的同学，给出“祝贺”，否则，给出鼓励，强化学生的情感体验。
活动四为：定理证明——分组学习，集体交流
定理证明：勾股定理的证明方法有数百种之多，现列举典型证法。请根据老
师分组研究，并将结果与其他小组进行交流。
【证法】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90º.
124abbac2
∴ .2 ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于ba. 2
∴ .a2b2c2
【设计意图】本段采用小组合作学习方式进行，学生按教师事先分好的小组以小组为单位进行合作学习，每个小组进行研究。小组成员之间相互依赖、相互沟通、相互合作，共同负责，从而达到共同的目标。在集体学习的基础上，每组推选一
位同学代表本组进行学习交流，主要时将本组证法的思路讲清，同时同组同学可以补充或纠错。
活动五为：课堂小结
这节课你有哪些收获？你能谈谈你对这节课的感受吗？
【设计意图】一个好的小结，不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想、方法的总结，学生通过自己的总结，不仅促进了对知识的理解，培养了数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思，能有效地把握知识的脉搏，找到知识之间的内在联系，这对于学生主动构建良好的认知结构大有裨益，也让学生从中学会感悟数学。
六、教学反思
在讲解勾股定理的结论时，为了让学生更好地理解和掌握勾股定理的探索过程，先让学生自己进行探索，然后同学进行讨论，最后上台演示。这样可以加深学生的参与，也让师生间、生生间有了互动。然后老师再利用几何画板演示直角三角形中勾股定理的探索过程。反复演示几遍，让学生自己感觉并最后体会到勾股定理的结论。通过动画演示体会到解决问题的方法是多种多样，使得这课的重难点轻易地突破，大大提高了教学效率，培养了学生的解决问题的能力和创新能力。学生在这一过程中各显神通，都得到了解决问题的满足感和自豪感。
在教学应用勾股定理时，老是运用公式计算，学生感觉比较厌倦，为了吸引学生注意力，活跃课堂气氛，拓宽学生思路，运用多媒体出示了一些思考题，让学生互相讨论，就这样让学生在开放自由的情况下解决了该题，同时培养了学生的想像力。
数学有与其他学科不同的特点，自然科学常发生新理论代替旧理论的情形，但数学不会如此。数学学习是数学发展史的缩影，是一个累进过程。勾股定理是人类几千年的文化遗产，是经典的定理，拥有科学简洁的数学语言。而数学教学的核心不是知识本身，而是数学的思维方式。认识是个人独特的构造结果，人的思维活动有强烈的个性特征。每个学生都有自己的生活背景、家庭环境，这种特定的文化氛围，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。学生已有丰富的数学活动经验，特别是运用数学解决问题的策略。学生只有用自己创造与体验的方法来学习数学，才能真正地掌握数学。因而数学教学要展现数学的思维
过程，要学生领会和实现数学化，自己去“发现”结果。这一课的学习就主要通过让学生自主地探索知识，从而将其转化为自己的，真正做到了先激发兴趣，再合作交流，最后展示成果的自主学习。这堂课将信息技术融入利于创设教学环境，教学模式将从以教师讲授为主转为以学生动脑动手自主研究、小组学习讨论交流为主，把数学课堂转为“数学实验室”，学生通过自己的活动得出结论、使创新精神与实践能力得到了发展。
参考文献：
《走进新课程》
《初中数学课程标准》
《初二数学教师用书》