教学过程
一、新课导入
把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形
二、
三、复习预习
三、知识讲解
考点1线与线、线与面、面与面位置关系
1、线线平行的判断：
（1）平行于同一直线的两直线平行.
（2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （4）垂直于同一平面的两直线平行. 2、线线垂直的判断：
（1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. （2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. （3）若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线.
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条. 3、线面平行的判断：
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.
判定定理： a //b ⎫
a ⊄α⎪
⎬⇒a //α(线线平行⇒线面平行）
b ⊂α⎪⎭
a //α
⎫性质定理： a ⊂β⎪
⎬⇒a //b (线面平行⇒线线平行）
a β=b ⎪⎭
★判断或证明直线与平面平行的方法
（1）利用定义(反证法) ：l I α=∅，则l ∥α (用于判断). （2）利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明). （3）利用平面的平行：面面平行
线面平行 (用于证明).
（4）利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断).
4、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面. （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面.
a , b ⊂α⎫
a b =O ⎪⎪⎪
l ⊄α⎬⇒l ⊥α(线线垂直⇒线面垂直）判定定理：
⎪l ⊥a
⎪
l ⊥b ⎪⎭
性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线.
即：l ⊥α, a ⊂α⇒l ⊥a (线面垂直⇒线线垂直） （2）垂直于同一平面的两直线平行. 即：a ⊥α, b ⊥α⇒a //b . ★判断或证明线面垂直的方法
（1）利用定义，用反证法证明. （2） 利用判定定理证明.
（3）一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面. （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个.
（5）如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面. ★ 三垂线定理及其逆定理
（1） 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短. 如图：PB =PC ⇔OB =OC ；PA >PB ⇔OA >OB （2）三垂线定理及其逆定理
已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线.
① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。即垂直射影则垂直斜线. ② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA 。即垂直斜线则垂直射影. （3）三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直
.
② 作出和证明二面角的平面角. ③ 作点到线的垂线段.
5、面面平行的判断：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
6、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 判定定理：
a ⊂α⎫
a ⊥β⎬⎭
⇒α⊥β(线面垂直⇒面面垂直）
. 性质定理：
（1） 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；α⊥β⎫（2） a β=AB ⎪⎪a ⊂α⎬⇒α⊥β(面面垂直⇒线面垂直） ⎪
a ⊥AB
⎪⎭
α⊥β⎫（3）
A ∈α⎪⎪
A ∈a ⎬⇒a ⊂α ⎪a ⊥β⎪⎭
（4）
α⊥β⎫
a ⊥β⎬⇒a ⎭
⊂α或a //α
四、例题精析
考点1线与线、线与面、面与面位置关系
例1 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =90︒, PD ⊥平面ABCD
，AD =1, AB BC =4. ⑴求证：BD ⊥PC ；
⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角；
⑶设点E 在棱PC 上， PE =λ PC
，若DE ∥平面PAB ，求λ的值.
P
E B
C
【规范解答】
222C = 则B C =D B +∴D C ，，B D ⊥D C （1
）由题意知D
P D ⊥面A B C D ，∴B D ⊥P D ，而P D C D =D ，
∴B D ⊥面P D C . P C 在面P D C 内，∴B D ⊥P C . .
（2）解：∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面A B C D ， ∴平面PDC ⊥平面A B C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F 过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G , 则 ∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.
在Rt △DFC 中，∠D F C =90︒
，D C F =3，
∴t a n ∠F D ，∴∠F D G =60︒，
即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （3）解：连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .
B
又∵DE ∥平面PAB ，
∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .
D =1, B CB =4, F =1, 又∵A P E B F 1==, C B C 4 ∴P
1 PE =PC
4∴，
B
即λ=
1
. 4
【总结与反思】本题考查空间几何体的证明，根据题意引用辅助线即可解决问题.
例2 已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形, AB ∥DC , ∠DAB =90 , PA ⊥底面ABCD , 且 PA =AD =DC =是PB 的中点.
(1)求AC 与PB 所成的角的余弦值；
(2)在棱PC 上是否存在点N , 使DN ∥平面AMC , 若存在, 确定点N 位置；若不存在, 说明理由. 1
AB =1, M 2
【规范解答】（1）如图, 过B 作BE ∥PA , 且BE =PA , 连结CE 、AE , 则∠CAE 即为AC 与PB 所成 的角, 由已知可得AC =2, AE =5, CE =3.
.
∴cos ∠CAE =
5
D
B E
（2）存在, PC 中点N 即为所求.
连DB 交AC 于点F , DC =1AB , ∴DF =1FB ,
2
2
取PM 中点G , 连DG 、FM , 则DG ∥FM , 又DG ⊄平面AMC , FM ⊂平面AMC ,
∴DG ∥平面AMC ,
连DN , 则GN ∥MC , 同理可证GN ∥平面AMC , 又GN DG =D , ∴平面DGN ∥平面AMC ,
∴DN ∥平面AMC .
【总结与反思】根据已知几何体的三视图确定几何体；根据题意引用辅助线即可解决问题.
例3 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1中点. （1）求证：AE ⊥BF ； （2）求证：BF ⊥平面AB 1E ；
（3）棱CC 1上是否存在点P 使AP ⊥BF ，若存在，确定点P 位置，
若不存在，说明理由.
【规范解答】
（1）取AD 中点G ，连结FG 、BG , 则FG ⊥AE , 又 ∆BAG ≌∆ADE ，∠ABG =∠DAE ，
∴AE ⊥BG , 又FG BG =G . ∴AE ⊥平面BFG ，
∴AE ⊥BF .
（2）连A 1B ，则AB 1⊥A 1B ， 又AB 1⊥A 1F , ∴AB 1⊥A 1BF ,
∴AB 1⊥BF , 又AE AB 1=A ， ∴BF ⊥平面AB 1E .
（3）存在. 取CC 1中点P ，即为所求. 连结EP 、C 1D ，
EP //C 1D , C 1D //AB 1，
由（2）知BF ⊥平面AB 1E , ∴AP ⊥BF .
【总结与反思】本题考查空间几何体的证明，根据题意引用辅助线即可解决问题.
例4 如图，四棱锥S -ABCD 中， AB //CD , BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB =BC =2, CD =SD =1. （1）证明：SD ⊥平面SAB ；
（2）求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.
【规范解答】
（1）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE =CB =2. 连结SE ，则SE ⊥
AB ，SE =又SD =1, 故ED 2=SE 2+SD 2, 所以∠DSE 为直角. 由AB ⊥DE , AB ⊥SE , DE SE =E , 得AB ⊥平面SDE , 所以AB ⊥SD . 即SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直，
所以SD ⊥平面SAB . （2）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .
作SF ⊥DE , 垂足为F , 则SF ⊥平面
ABCD, SF =SD ⨯SE DE
=
作FG ⊥BC , 垂足为G , 则FG =DC =1.
连结SG ，则SG ⊥BC ，又BC ⊥FG , SG I FG =G , 故BC ⊥平面SFG , 平面SBC ⊥平面 SFG . 作FH ⊥SG , H 为垂足, 则FH ⊥平面SBC
.
FH =
SF ⨯FG SG =
, 即F 到平面SBC
.
由于ED //BC , 所以ED //平面SBC , E 到平面SBC 的距离d
，
设AB 与平面SBC 所成的角为α,
则sin α=d .
EB
【总结与反思】本题考查空间几何体的证明，根据题意引用辅助线即可解决问题.
例5已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥CB ，D 为AB 中点，A 1A =AC =，CB =1.
⑴求证：BC 1∥平面A 1CD ；
⑵求三棱锥C 1-A 1DC 的体积.
AB 的中点， 【规范解答】⑴连结AC 1交AC 1于O 点，连结DO ，则O 和D 分别为AC 1和
∴DO ∥BC 1，而DO ⊂平面A 1DC ，BC 1⊄平面A 1DC ，
∴BC 1∥平面A 1DC .
⑵因为BC 1∥平面A 1DC ，所以点C 1和B 到平面A 1DC 的距离相等，从而有
111V 三棱锥C 1-A 1DC =V 三棱锥
A 1-BDC =S ∆BDC ⋅AA 1=⨯S Rt ∆ABC ⋅AA 1 332
11111=⨯AC ⋅BC ⋅AA 1=⨯1=. 62624
【总结与反思】本题考查空间几何体的证明及体积问题，可以转换底面及高，从而找到相关关系求解.
课程小结
1．注意判断线与线、线与面、面与面位置关系。
2．引用辅助线将立体图形分解为平面几何进行证明或求解.
3．注意解过程的规范性.