九下《直角三角形的边角关系》
1．定义：如下图Rt △ABC 中，∠C ＝90°； 正弦：sin A =
∠A 的对边a
；sin A =
c ； 斜边
余弦：cos A =
b a ∠A 的邻边∠A 的对边
；cos A =正切：tan A =；tan A =
斜边∠A 的邻边c ； b ；
练一练：根据定义，写出∠B 的三个三角函数值
sin B =___________；cos B =____________；tan B =_______________；
B
c
a
A
sin A
； sin 2A +cos 2A =1 cos A
2．三角函数之间关系
（1）同角三角函数关系：tan A =
模仿写出：tan B =____________； sin 2B +cos 2B =1 （2）互余角三角函数关系（A ＋B ＝90°）
sin A =cos B ； cos A =sin B
一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦 3．特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°
4．根据三角函数关系计算15°、75°角的三角函数（已知△ABC 是等腰Rt △）
C
A
D
5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而_______； cos α随α的增大而_______；tan α随α的增大而_______
6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。（根据三角函数关系） 例题：sinA ＝
7．解直角三角形的定义及应用
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
2
，求cosA 、tanA 5
h
。坡度一般l h
写成1:m 的形式，如i =1:5等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角) ，那么i ==tan α。
l
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比) 。用字母i 表示，即i =
（3）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），
南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。 （4）三角形的三角函数计算面积：S ∆ABC =
111
ab sin C =bc sin A =ac sin B 222
在下面图形中证明上面面积公式中的一个即可
C
A
B
（5）解直角三角形应用常见基本图形：
A
A 1
C
B
D
3
2
1
B 1D
C 1
B
1
D
A
A
22
例题1：计算 （1）
（3）sin60°＋
2：已知sin α+cosα=
1
60°C
1
D
2
C
1
D
12
sin45°＋sin60°－2cos45°； （2）(1＋2) 0-｜1-sin30°｜1＋() -1；
22
11
； （4）2-3－(2003＋π) 0－cos60°－.
1-tan 60︒1-2
5
，求sin α·cos α的值； 4
3：α为锐角，若sin α＜
, 求α的范围； 2
4：已知45°＜α＜90°, 化简-2sin α⋅cos α
5：如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线 段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（结果保留根号）
6：如图，AB ，DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从点B 测得点D 的仰角α为60°，从点A 测得点D 的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB ＝36m 。
（1）求乙建筑物的高DC ；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC （结果保留根号）。
7：如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE, 点F 落在AD 上.
1（1）求证：△ABE ∽△DFE ；（2）若sin ∠DFE ＝，求tan ∠EBC 的值.
3
F
D B
8：已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1. 求：AC 的长.
D
C
B
9：已知：如图，要测量山AB 的高，在和B 同一直线上的C ，D 处, 分别测得对A 的仰角的度数为n 和m ，CD ＝a. 试写出用a 、n 、m 表示AB 的表达式。
10：已知：△ABC 中，∠A ＝45 ，AB ＝，BC ＝2，求AC 及∠ACB.
11：已知：二次方程mx 2－(m－2)x ＋
1
(m－1) ＝0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形4
两个锐角的正弦值. 求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.
练习试题
1．如图，△ABC 中，cosB ＝
A ．
32
，sinC ＝，则△ABC 的面积是【 】
52
21
B．12 C．14 D．
21
2
2．如上图2所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1
BC=5m，则坡面AB 的 长度是【 】A ．10m B．
．15m D．
3．如果△ABC 中，sinA ＝cosB
】 A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形 4．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是【 】 A ．
5732121
B． C ． D． 145714
5．如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC =n ，∠CMN =α. 那么P 点与B 点的距离为 .
6．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如上图2) ，那么，由此可知，B 、C 两地相距 m.
7．如上图3，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于_________．
8．如图, 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB, 垂足为D. 若
则sin ∠ACD 的值
为【 】
A.
2
3
9．如上图2，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长． （参考数据：3=1.73）
10．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°,
∠E ＝45°, ∠A ＝60°，AC ＝10，试求CD 的长．
15
11、如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点， 若tan ∠
DBA =，求AD 的长。
A E B
12. 如图湖泊的中央有一个建筑物AB ，某人在地面C 处测得其顶部A 的仰角为60°，然后，自C 处沿BC 方向行100m 到D 点，又测得其顶部A 的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）
13. 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问B 处是否会受到影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。
西
14、如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53︒，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：sin 53︒≈0.8, cos 53︒≈0.6)
0.5m
（第14题图）
15、如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端 在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点。已知∠BAC=60°，∠DAE=45°， 点D 到地面的垂直距离DE=3
16、某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB 的影长AC 为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角． （1）求出树高AB ；
（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：
2≈1.414， 3≈1.732）
60︒C
A
45︒
E
B
D
2
m 。求点B 到地面的垂直距离BC 。
17、如图, 为了测量一条河的宽度, 一测量员在河岸边的C 处测得对岸一棵树A 在正南方向, 测量员向正东方向走180米到点B 处, 测得这棵树在南偏西60°的方向, 求河的宽度（结果保留根号）.
（第7题）
北
东
例8、如图，一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C(灯塔B 距离A 处较近) ，两个灯塔恰好在北偏东60°的方向上，渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是BC=12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C 周围18海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险
?
例6【解】（1）在Rt △A BC中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30° ∵tanC ＝
AB ∴AB ＝AC ·tanC ＝9
×≈5.2（米） AC 3
（2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切点，DE ⊥AD 交AC 于E 点，（如图）
在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°，∴AE ＝2AD ＝2×5.2＝10.4（米） 答：树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米