基本不等式在求最值中的应用与完善

辛基本不等式在求最值中的应用与完善

本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。 (一)

基本不等式的内容及使用要点 1、 二元基本不等式：

①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；

②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。

这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤ ab≤

。对不等式ab≤

，还有更一般的表达式：|ab|≤

。

，

由数列知识可知，

称为a，b的等差中项，

称为a，b的等比中项，故

算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。

2.三元基本不等式：

当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，„„乃至n元基

。

≥2，a+ ≥2等。

本不等式；当ai>0（i=1，2，„，n）时，a1+a2+„+an≥ 二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，

当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a

基本不等式中的字母a，b可代表多项式。

3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集

合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。

利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。

一般说来，“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值；

见积想和, 拆高次,凑和为定值,则积有最大值。”

二、基本不等式求最值的应用

例1、已知a>1，0

，logba

的结构特点联想到

用基本不等式去缩小，但 条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。 ∵ logab0

∴

∴ logab+

≥2 ≤-2

=2

即 logab+logba≤-2 当且仅当

，loga2b=1，logab=-1时，等号成立，此时ab=1。

例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。 解题思路分析：

这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组

即可。

(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。 将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式：

y(x+y+z)+xz=2

=2

=2

当且仅当

例3、（1）已知x>1，求3x+

时等号成立 +1的最小值；

=1，求

的最大值；

的最值；

（2）已知x，y为正实数，且

（3）已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W （4）已知x>0，求函数f(x)=4x+ （5）已知a>b>0，求函数y=a+ （6）求函数y=x(10-x)(14-3x)0



x

的最小值； 的最小值；

14

3

的最大值；

（7）求函数y=sin2θcosθ，θ∈0,







的最值。 2

解题思路分析：

这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。

（1） 在分式的位臵凑出分母x-1，在3x后面施加互逆运算：±3

原式

=(3x-3)+3+ +1=3(x-1)+ +4≥2 =4 +4

（2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 中y2前面的系数为

。同时还应化简

下将x，

分别看成两个因式

≤

∴

≤

≤

，本题很简单

（3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

≤

否则，这样思考：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W>0，W2

=3x+2y+2 ∴ W≤

≤

=10+(3x+2y)=20

（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位臵上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。

f(x)=2x+2x+ ≥

（5）本题思路同（1）： y=(a-b)+b+ ≥

（6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消 y= (4x)(10-x)(14-3x)≤

（7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到

方。 y>0，y2= ≤

y≤

的最小值。 =

=1为常数，应对解析式平

例4、已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y= 解题思路分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不

等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、 法一：

，

由a>0得，0

∵

≥ =8 ∴ ab≤18 ∴ y≥

当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。 法二：由已知得：30-ab=a+2b ∵

a+2b≥ ∴ 30-ab≥ 令

则

∴

≤

≤0，

≤u≤

≤，ab≤18，y≥

经验：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。这种类型的函数一般都可转化为

型，从而用基本不等式求解。其处理方法，请同学们仔细体

会。实际上，一般含二次式的分式函数

均可用此方法求解。

三、基本不等式在求最值中的完善

（a，b，c，m，n，p不全为零）

1.

形如的最值,要视具体情况而定。

如能满足利用基本不等式的三个条件，则利用基本不等式；不能满足，则利用函数的单调性来求。

例5、已知函数

（1） 当c≤1时，m=2； （2） 当c>1时，m= 解题思路分析：

。

（c为常数）最小值为m，求证：

分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。 令

∵

，则t≥

，

≥2，当且仅当t=1时等号成立

≤1，t=1在函数定义域（

，+∞）内，ymin=2

∴ 当c≤1时，

当c>1时，

易证函数

t=

>1，1 在[

,+∞)，等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。 ，∞）上递增

，x=0时，ymin=

结论：求函数

（a>0，b>0，x∈[c，+∞），c>0）的最小值时，有下列结论

（1） 若c≤ ，当且仅当x= 时，

；

（2）若c> ，当且仅当x=c时，

。

例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计宽，使总造价最低，并求出最低造价。

这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数

污水池的长和解题思路分析： 省”、“造价最的最大值或最

小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。 若设污水池长为x米，则宽为

（米）

水池外圈周壁长：

中间隔墙长：

（米）

（米）

池底面积：200（米2） 目标函数：

≥

例7：求下列函数的最值（1）,求的最小值，若呢？

解：

，

，当且仅当

即时, 。

若

，

，当且仅当

即时, 。

（2）当，求的最小值。

分析：，

，

，

当，则，等号取不到。∴使用基本不等式来求最值，

是有条件的，回忆一下，基本不等式有哪些？须满足什么条件？

答：

，，当且仅当时等号成立。

，，当且仅当时等号成立。

我们应用基本不等式求最值，通常用（）或它的变

形，利用基本不等式求最值须满足三个条件：①非负数；②和（或积）为

定值；③等号要成立。

例8. 形如的最值问题

分析：可令，则，。

可从图象上观察，我们来看它的大致图形：

渐近线为直线和

和轴，当时,有最低点（2，4）。对

的单调性,我们可加以证明。

解：设，则

∵

，

，∴，∴，∴

，∴

，∴

在（0，2]上单调递减。∵（0，1]是

（0，2] 的子区间，∴

。

在（0，1]上单调递减。

∴当，即，

时，

总结：当利用基本不等式求解困难时，可利用函数的单调性来求最值。

例9.求： 解：

的最小值，，。

∴当

时，

在

上单调递减，而当

时，

在

上单调递增。∴当时，，∴当时，。

例10.求的最小值，

，。

解：∵，∴分类讨论为

①当时，在上单调递减，∴时，；

②当

时，利用基本不等式，∴时，；

③当

时，

在上单调递增，∴

时，。

例11. 求的最小值，

，。

解：，分类讨论为：

①当时，

②当

。

时，则时，，则当

时，即

例12.求的最小值，

，，。

∵，分类讨论为：

①时, 在单调递减，则当

即；

②当时, 则当，即；

③，

在单调递增。

总结：对的最值，的讨论，要视具体情况而定。

如能满足利用基本不等式的三个条件(或通过变形创造条件)，则利用基本不等式；不能满足，则可考虑利用函数的单调性来求。

在复习中准确把握两个不等式

不等式a2b22ab(a,bR)是一个最基本也很重要的不等式，它本身的应用较广泛。虽然在新课标的高考中对不等式证明的要求已大大降低，但这并不说明可以放弃。它的一些变形式散见于课本和一些参考资料中，利用这些变形式能较容易地解决一些问题。另外，在广东高考数学理科卷的填空题中有“三选二”的形式，其中有涉及《不等式选讲》（选修4—5）的内容，主要的就是柯西不等式的应用。在重要不等式和柯西不等式的应用中，一定要抓准高考中会出现的题型(大都是以客观题形式出现)，特别是求最值问题。在利用不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，否则就会出错。本文挖掘重要不等式和柯西不等式以及它们的一些变形在解题中的应用。这样不仅可以针对高考题型做好准备，而且不会做无用功。

一、重要不等式：a2b22ab(a,bR)。

变形之一：a

b2

ab(a,bR)（当且仅当ab



时取“=”号。）这个不等式也称



为基本不等式。这个变形式就是前一个不等式的推论。其中，限制条件a,bR可以放宽

为a,b是非负实数。

变形之二：(变形之三：a

ab2

2

)

2

2

ab(a,bR)

（当且仅当ab时取“=”号）

时取“=”号）

b

(ab)

2

2

(a,bR)（当且仅当ab

ad

二、柯西不等式：若a,b,c,d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当bc时，等号成立（这是二维形式的柯西不等式）。设a1,a2,a3,...,an,b1,b2,b3,...,bn是实数，

(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn)

2

2

2

2

2

2

2

则

，当且仅当

bi0(i1,2,...,n)

或存在一个数k，使得ai

kbi(i1,2,...,n)

时，等号成立（这是一般形式

的柯西不等式）。在使用柯西不等式时，一定要根据它的结构特点，直接使用或灵活地配凑出其固有的形式，其规律性是较明显的。

下面略举几例来说明它们的应用。同学们可以自己判断使用了什么形式的不等式。

例1. （2004年高考湖北文史卷）已知xA．最大值解：

x

54

52

，则

f(x)

x4x52x4

2

有（ ）

B. 最小值

。

54

． C．最大值1 D．最小值1

x4x52(x2)

2

52

,x20f(x)

(x2)12(x2)

2

=

x22



12(x2)

1

当且仅当

x22



12(x2)

，即x3时，上式等号成立。

因为x3在定义域内，所以最小值为1。 例2．（2006年高考重庆卷）若a,b,c

0，且a(abc)bc4最小值为（ ）

A

1 B

．1 C

．2 D

．解：

由已知条件有(ac)(ab)且仅当ac

ab

2abc的

2

)

2

2

4a,b,c。

0,(ac)(ab)(

2abc

（当

即b

c

时，取“=”号）。

。故选D。

，则xy的最小值是

5x

3y

所以2abc

21)2

例3、（2004年高考重庆文史卷）已知____________。

解析：解法一：（不等式法）

2=解法二：（三角代换法）令

xy

15sin2

2

2(x0,y0)

5x



3y

2

xy15

2

。当且仅当

x

52cos

2

5x



3y

等号成立 。

3

5x

2cos,

3y

2sin

。

,y

2sin

2

15

（同学们自己验证等号成立的条件）。

例4．（某地2007模拟试题）某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年平均增长率x满足（ ）

A．x

ab2

B．x



ab2

C．x



ab2

D．x

2

2



ab2

解析：设原产量为A，则有A(1a)(1b)

利用变形二有

(1x)(1a)(1b)(

2

A(1x),(1x)(1a)(1b)2ab

2

),x

2

ab2

。故选B。

1

)的最小值是（ ）

2

例5．（2005年高考重庆卷）若x,y是正数，则(x

A.3 B.

72

12y

)(y

2

2x

C.4 D.

12x

92

解析：由变形三可以把x和

(x

放在一起，这样就可以解下去。

(x

12y

y

12x

)-----------------（*）

2

12y

)(y

2

12x

)

2

12

而由变形一有：x

12x22

2,y

12y

2（当且仅当xy

22

时，两个式子中

的等号都成立）。此时，（*）式中的等号也同时成立

故当且仅当xy

(x时，

12y

)(y

2

12x

)的最小值是

2

12

(22)=4。选（C）。

2

x

2

例6、(惠州市2008届高三第二次调研考试)已知实数a,b,x,y满足a2b21，

2

y3,则axby的最大值为__________________。

解析：由已知条件，很容易想到公式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，显然有

(ab)(xy)(axby)

2

2

2

2

2

，即有(axby)2

3（当且仅当x

,y

时，等号

成立。）则ax

by

值得说明的是，在没有学习柯西不等式之前用重要不等式也是可以解决此题的，但不少同学可能是这样做的：

因为2axa2x2,2byb2y2，所以2ax2bya2x2b2y24，即有axby2。所求的最大值是2。这个结果肯定是不对的，请同学们思考错误的原因。

例7、（2007年广州市一模）设a,b为正数，且ab_______________.

解析：这种类型的解题规律较明显，只要把ab和即可。下面给出两种解法：

A

、(ab)(

b

12a

1b1，则

12a



1b

的最小值是

结合在一起，即把两式相乘

12a



1b

)

12



ab

1

b2a

11b

2

32



ab

b2a



3232



2



32

时，等号成立）

。即有

12a

1b

32

2a

2

。故填

2

2

B

、(ab)(

12a

1b

)]]，即有

32

(

2

1)

2

32



（当且仅当b

时，等号成立）

。故填

练习：（2007年山东高考题）函数y点A在直线mxny10上，其中mn

loga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点

1m2n

A，若

0，则的最小值为_______.

1。可仿照例

提示：先求出定点A的坐标（-2，-1），又点A在直线上，则2mn来做。

2

2

7

例8．（某地2008年高考模拟题）设a,bR，a4b8，则a2b的最小值是（ ）

A．23 B.4 C.22 D.2

分析：此题可能首先想到令a2bt，把at2b代入a4b8，用判别式法来解，但要注意b是有限制条件的。在t能否取到最小值时，要验证b存在的条件才行。这个解法还是较麻烦的。也能想到把a4b8化为

2

2

2

2

2

a

2

8



2

b

2

2

2

1，用椭圆的参数方程

2

进行三角代换来解。但经过观察，我们发现有关系a4ba(2b)，因而想到要用好这个关系则简洁很多。

解：利用变形三有：a4b

2

22

12

[a(2b)] 即有(a2b)16

22

4a2b44a2b4，a2b的最小值是-4。当且仅当a2b，即

b1,b1，

a=2时，a2b取得最小值为-4。故选（B）。

另解：由公式有(a2b)2(1a12b)2(1212)(a24b2)16（当且仅当a2b时等号成立）即有4a2b4。当b1,a2时，a2b取得最小值为-4。故选（B）。 练习、已知a,b,c为正数，且满足a22b23c26，则a2b3c的最大值是_____________.

提示：已知条件可变化为a2)2)26，那么a2b3c中的系数如何配凑一下呢？

不等式的证明规律及重要公式总结

证明方法

不等式a2b22ab(a,bR)是一个最基本也很重要的不等式，它本身的应用较广泛。虽然在新课标的高考中对不等式证明的要求已大大降低，但这并不说明可以放弃。它的一些变形式散见于课本和一些参考资料中，利用这些变形式能较容易地解决一些问题。另外，在广东高考数学理科卷的填空题中有“三选二”的形式，其中有涉及《不等式选讲》（选修4—5）的内容，主要的就是柯西不等式的应用。在重要不等式和柯西不等式的应用中，一定要抓准高考中会出现的题型(大都是以客观题形式出现)，特别是求最值问题。在利用不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，否则就会出错。本文挖掘重要不等式和柯西不等式以及它们的一些变形在解题中的应用。这样不仅可以针对高考题型做好准备，而且不会做无用功。

一、重要不等式：a2b22ab(a,bR)。

变形之一：a

b2

ab(a,bR)（当且仅当ab



时取“=”号。）这个不等式也称



为基本不等式。这个变形式就是前一个不等式的推论。其中，限制条件a,bR可以放宽

为a,b是非负实数。

变形之二：(

ab2

)

2

ab(a,bR)

（当且仅当ab时取“=”号）

变形之三：a

2

b

2

(ab)

2

2

(a,bR)（当且仅当ab时取“=”号）

ad

二、柯西不等式：若a,b,c,d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当bc时，等号成立（这是二维形式的柯西不等式）。设a1,a2,a3,...,an,b1,b2,b3,...,bn是实数，

(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn)

2

2

2

2

2

2

2

则

，当且仅当

bi0(i1,2,...,n)

或存在一个数k，使得ai

kbi(i1,2,...,n)

时，等号成立（这是一般形式

的柯西不等式）。在使用柯西不等式时，一定要根据它的结构特点，直接使用或灵活地配凑出其固有的形式，其规律性是较明显的。

下面略举几例来说明它们的应用。同学们可以自己判断使用了什么形式的不等式。

例2. （2004年高考湖北文史卷）已知xA．最大值解：

x

54

52

，则

f(x)

x4x52x4

2

有（ ）

B. 最小值

。

54

． C．最大值1 D．最小值1

x4x52(x2)

2

52

,x20f(x)

(x2)12(x2)

2

=

x22



12(x2)

1

当且仅当

x22



12(x2)

，即x3时，上式等号成立。

因为x3在定义域内，所以最小值为1。 例2．（2006年高考重庆卷）若a,b,c

0，且a(abc)bc4最小值为（ ）

A

1 B

．1 C

．2 D

．解：

由已知条件有(ac)(ab)且仅当ac

ab

2abc的

2

)

2

2

4a,b,c。

0,(ac)(ab)(

2abc

（当

即b

c

时，取“=”号）。

。故选D。

，则xy的最小值是

5x

3y

所以2abc

21)2

例3、（2004年高考重庆文史卷）已知____________。

解析：解法一：（不等式法）

2=解法二：（三角代换法）令

xy

15sin2

2

2(x0,y0)

5x



3y

2

xy15

2

。当且仅当

x

52cos

2

5x



3y

等号成立 。

3

5x

2cos,

3y

2sin

。

,y

2sin

2

15

（同学们自己验证等号成立的条件）。

例4．（某地2007模拟试题）某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年平均增长率x满足（ ）

A．x

ab2

B．x



ab2

C．x



ab2

D．x

2

2



ab2

解析：设原产量为A，则有A(1a)(1b)

利用变形二有

(1x)(1a)(1b)(

2

A(1x),(1x)(1a)(1b)2ab

2

),x

2

ab2

。故选B。

例5．（2005年高考重庆卷）若x,y是正数，则(x

A.3 B.

72

12y

)(y

2

12x

)的最小值是（ ）

2

C.4 D.

1

92

解析：由变形三可以把x和

2x

12121112

(x)(y)(xy)-----------------（*）

22y2x2y2x

放在一起，这样就可以解下去。

而由变形一有：x

12x22

2,y

12y

2（当且仅当xy

22

时，两个式子中

的等号都成立）。此时，（*）式中的等号也同时成立

故当且仅当xy

(x时，

12y

)(y

2

12x

)的最小值是

2

12

(22)=4。选（C）。

2

x

2

例6、(惠州市2008届高三第二次调研考试)已知实数a,b,x,y满足a2b21，

2

y3,则axby的最大值为__________________。

解析：由已知条件，很容易想到公式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，显然有

(ab)(xy)(axby)

2

2

2

2

2

，即有(axby)2

3（当且仅当x

,y

时，等号

成立。）则ax

by

值得说明的是，在没有学习柯西不等式之前用重要不等式也是可以解决此题的，但不少同学可能是这样做的：

因为2axa2x2,2byb2y2，所以2ax2bya2x2b2y24，即有axby2。所求的最大值是2。这个结果肯定是不对的，请同学们思考错误的原因。

例7、（2007年广州市一模）设a,b为正数，且ab_______________.

解析：这种类型的解题规律较明显，只要把ab和即可。下面给出两种解法：

A

、(ab)(

b

12a

1b1，则

12a



1b

的最小值是

结合在一起，即把两式相乘

12a



1b

)

12



ab

1

b2a

11b

2

32



ab

b2a



3232



2



32

时，等号成立）

。即有

12a

1b

32

2a

2

。故填

2

2

B

、(ab)(

12a

1b

)]]，即有

32

2

1)

2

32



（当且仅当b

时，等号成立）

。故填

练习：（2007年山东高考题）函数y点A在直线mxny10上，其中mn

loga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点

1m2n

A，若

0，则的最小值为_______.

1。可仿照例

提示：先求出定点A的坐标（-2，-1），又点A在直线上，则2mn来做。

2

2

7

例8．（某地2008年高考模拟题）设a,bR，a4b8，则a2b的最小值是

（ ）

A．23 B.4 C.22 D.2

分析：此题可能首先想到令a2bt，把at2b代入a4b8，用判别式法来解，但要注意b是有限制条件的。在t能否取到最小值时，要验证b存在的条件才行。这个解法还是较麻烦的。也能想到把a4b8化为

2

2

2

2

2

a

2

8



2

b

2

2

2

1，用椭圆的参数方程

2

进行三角代换来解。但经过观察，我们发现有关系a4ba(2b)，因而想到要用好这个关系则简洁很多。

解：利用变形三有：a4b

2

2

2

12

[a(2b)] 即有(a2b)16

22

4a2b44a2b4，a2b的最小值是-4。当且仅当a2b，即

b1,b1，

a=2时，a2b取得最小值为-4。故选（B）。

另解：由公式有(a2b)2(1a12b)2(1212)(a24b2)16（当且仅当a2b时等号成立）

即有4a2b4。当b1,a2时，a2b取得最小值为-4。故选（B）。 练习、已知a,b,c为正数，且满足a2

_____________.

2

2

2b3c6，则a2b3c的最大值是

2

2

提示：已知条件可变化为a))6，那么a2b3c中的系数如何配凑一下呢？

2