标量三重积： 矢量三重积
第一章
A ⋅(B ⨯C ) =B ⋅(C ⨯A ) =C ⋅(A ⨯B ) A ⨯(B ⨯C ) =(A ⋅C ) B -(A ⋅B ) C
∂u ∆u ∂u ∂u ∂u
=lim =cos α+cos β+cos γ方向导： |M 0∂l ∂x ∂y ∂z ∆l →0∆l
梯度： grad ∂u u =e
n
∂n
计算公式：
∇=e x
∂∂∂
+e y +e x ∂x ∂y ∂z
矢量线方程:
d x d y d z
==
F x (x , y , z ) F y (x , y , z ) F z (x , y , z )
F ⋅d S
S
div 通量：
ψ = ⎰ d ψ = ⎰ F ⋅ d S = ⎰ F ⋅e n 散度： F =lim d S
S
S
∆τ→0
∆τ
散度计算公式： div F =lim
∂F x ∂F y ∂F z =++=∇⋅∆τ∂x ∂y ∂z ∆τ→0
散度定理（高斯定理）： F ⋅d S =⎰∇⋅F d V
S S
V
F ⋅d S
旋度：
斯托克斯定理： 拉普拉斯运算：
e x
∂
∇⨯F =e n [rot n F ]max =∇⨯F =
∂x
F x F ⋅d l =∇⨯F ⋅d S ⎰
C
S
e y ∂∂y F y e z ∂∂z F z
∇⋅(∇u ) =∇2u
∇2F =∇(∇⋅F ) -∇⨯(∇⨯F )
第二章
∂ρ∇⋅J =-电流连续性方程微分形式：
∂t
对于恒定电流场： J ⋅d S =0∇⋅J =0、
S
静电场散度：
ρ(r )
∇⋅E =
ε0
高斯定理的积分形式： 静电场旋度：
∇⨯E =0
⎰
V
1∇⋅E d V =
ε0
⎰
V
ρ(r ) d V
毕奥萨法尔定律：任意电流回路 C 产生的磁感应强度
''μI d l ⨯(r -r ) μ0I d l '⨯R B (r ) =0=3C 4π4πC R 3r -r '
恒定磁场散度： ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ (∇ ⨯ A ) = 0 恒定磁场是无散场
恒定磁场旋度： ∇ ⨯ B ) = μ 0 J ( r (r ) 恒定磁场是有旋场，它在任意点的旋度与该
点的电流密度成正比，电流是磁 场的旋涡源。
χ E
极化强度： P = 0 e ε
----------电介质的电极化率
∇⋅D =ρ
S
V
电位移矢量： D = ε 0 E + P
电介质中高斯定理的积分形式： D ⋅d S =⎰ρd V
D =ε0(1+χe ) E =εE =εr ε0E
磁化强度矢量： = lim m = np m 磁化电流体密度： J M =∇⨯M M
p
ΔV →0
ΔV
真空中安培环路定理推广到磁介质中： ∇⨯B =μ0(J +J M )
B
磁场强度 ：H =-M
μ0
麦克斯韦方程组的微分形式
∂D ⎧
⎪∇⨯H =J +
∂t ⎪
⎪∂B ⎪∇⨯E =-⎨
∂t ⎪
⎪∇⋅B =0⎪ ⎪⎩∇⋅D =ρ
传导电流和变化的电场都能产生涡旋磁场。 变化的磁场产生涡旋电场。
磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线。 电荷是电场的散源。
∂D ⎧
⋅
d l =⎰(J +) ⋅d S ⎪C H S ∂
t 时变磁场不仅由传导电流产生，也由位移电流产生 ⎪ ⎪ ∂B ⎪E ⋅d l =-
⋅ d S 时变磁场产生时变电场 ⎰C S ⎨∂
t ⎪ 磁场是无散场 ⎪
S B ⋅
d S =0
空间任意一点若存在正电荷体密度，则该点发出电位移线，若存在负电荷 ⎪
D ⋅d S =⎰ρdV⎪体密度，的、则电位移线汇聚于该点 V ⎩S
麦克斯韦方程的积分形式：
煤质的本构关系（电磁场辅助方程）：
D =εE
B =μH
J =σE
麦克斯韦方程组的限定形式： 均匀煤质中：
边界条件：
⎧e n ⋅D =ρS ⎪
理想导体表面： ⎪ e n ⋅B = 0 理想介质分界面：
⎨
⎪e n ⨯E =0
⎪
⎩e n ⨯H =J S
第三章
静电场的基本方程：
⎧D ⋅d S =q ⎰⎪积分形式： ⎨ S 微分形式： E ⋅d l =0⎪C ⎩
⎧⎪∇⋅D =ρ
⎨⎪⎩∇⨯E =0
本构关系：
D =εE
⎧D 1n -D 2n =ρS ⎨
⎩E 1t -E 2t =0
⎧⎪e n ⋅(D 1-D 2) =ρS
或者 边界条件： ⎨ ⎪⎩e n ⨯(E 1-E 2) =0
若分界面上不存在面电荷，即 S 0 ，则： =
⎧e ⋅(D -D ⎪n 12) =0
或者 ⎨ ⎪⎩e n ⨯(E 1-E 2) =0
ρ
电位函数
⎧D 1n =D 2n
⎨
⎩E 1t =E 2t
∇⨯E =0
E =-∇ϕ
静电位的微分方程： 静电场的能量：
电场能量存储在电场不为零的空间，能量密度为： 恒定电场的基本方程：
⎧J ⋅d S =0
S 微分形式： 积分形式：
⎪ ⎨ E ⋅d l =0⎪C ⎩恒定电场的电位函数：
⎧⎪∇⋅J =0
⎨⎪⎩∇⨯E =0
∇⋅J =0
∇⋅(σ∇ϕ) =0
∇ϕ=0
2
边界条件： e
n ⋅(J 1-J 2) =0
恒定磁场的基本方程:
e n ⨯(E 1-E 2) =0
积分形式：
⎧ H ⋅d l ⋅ d S 微分形式： = ⎰ J
⎪C S
⎨ B ⋅d S =0⎪⎩S
⎧⎪∇⨯H =J
⎨⎪⎩∇⋅B =0
本构关系： B =μH
⎧e ⋅ (B -B =0n 12) 边界条件： ⎪ ⎨ ⎪⎩e n ⨯(H 1-H 2) =J S
若分界面上不存在面电流，JS ＝0，则
⎧⎪e n ⋅(B 1-B 2) =0
⎨ 矢量磁位的定义
⎪⎩e n ⨯(H 1-H 2) =0
恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来∇⋅B =0表示 B =∇⨯A
标量磁位：
∇⨯H =0
H =-∇ϕm
恒定磁场的能量：
静态场的边值问题及解的唯一性定理
1、第一类边界条件是一直为函数在场域边界面S 上各点的值，即给定 | S = f 1 ( S ) 狄利赫利问题
2、第二类边界条件是已知位函数在场域边界S 上个点的法向导数值，即给定 ∂ϕ| S = f 2 ( S ) 纽曼问题
∂n
3、已知场域一部分边界面S 1 上的位函数值，而另一部分边界面S 2 上则已知位函数的法向导数值，即
∂ϕ
ϕ | = f ( |S = f 2 ( S 2) 混合边值问题
S 11S 1) ∂n
2
ϕ
唯一性定理的表述：
∂ϕ
在场域V 的边界面S 上给定 ϕ 或的值，则泊松方程或拉普拉斯方
∂n
程在场域V 具有惟一值。 镜像法基本思想：
用一些虚设的电荷（成为镜像电荷）等效代替道题表面的感应
电荷或者介质分界面上的极化电荷，镜像法遵循的原则： 1、所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；
2、镜像电荷的个数、位置以及电荷量的大小以满足场域边界面上的边界条件来确定 接地导体平面的镜像：
点电荷对无限大接地导体平面的镜像，上半空间( z ≥0 ）的电位函数：
q ϕ(x , y , z ) =z ≥0 4πε线电荷对无限大接地导体平面的镜像 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 导体球面的镜像:
点电荷对接地导体球面的镜像, 球外的电位函数为：
q ⎡ϕ=4πε⎤
(r ≥a ) 分离变量法的思想：
把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程并利用边界条件确定其中待定常数，从而得到位函数的解.
∂2ϕ∂2ϕ
∂x
2
+
∂y
2
=0
ϕ(x , y ) =X (x ) Y (y )
d 2X (x ) d 2Y (y )
Y (y ) +X (x ) =0
d x 2d y 2
d 2X (x ) 2
+k X (x ) =02
d x 2
d Y (y ) 2
-k Y (y ) =02
d y
1d 2X (x ) 1d 2Y (y ) =-=λ22X (x ) d x Y (y ) d y
X (x ) =X 0(x ) =A 0x +B 0
Y (y ) =Y 0(y ) =C 0y +D 0
ϕ(x , y ) =ϕ0(x , y ) =X 0(x ) Y 0(y ) =(A 0x +B 0)(C 0y +D 0)
X (x ) =A n sin(k n x ) +B n cos(k n x )
Y (y ) =Y n (y ) =
C n sinh(k n y ) +D n cosh(k n y )
(x , y ) =ϕn (x , y ) =X n (x ) Y n (x )
ϕ(x , y ) =(A 0x +B 0)(C 0y +D 0) +
=[A n sin(k n x ) +B n cos(k n x )][C n sinh(k n y ) +D n cosh(k n y )]
∑[A sin(k x ) +B
n
n
n =1∞
∞
n
cos(k n x )][C n sinh(k n y ) +D n cosh(k n y )]
ϕ(x , y ) =(A 0x +B 0)(C 0y +D 0) +
∑[A sinh(k x _+B
n
n
n =1
n
cosh(k n x )][C n sin(k n y ) +D n cos(k n y )]