2014年安徽省高三物理公式证明题总复习
在安徽省近三年的高考中都出现了证明题,所以毕当引起14年考生的重视。在物理考试说明的题型示例中,也出现了公式证明题。在解这类问题时,要有一定的文字说明,首先必须交待所用的每个物理量的含义,其次要分析过程,并说明所用的物理概念或规律。下面给出的是高中物理公式证明题总复习的示例,希望各位同学能够自己仔细去推敲。
【例1】证明运动学中的几个推论
设物体做匀变速运动,初速度为v 0,末速度为v t ,加速度为a ,运动时间为t ,中间时刻的速度为v t/2,中间位置的速度为v s/2,证明:
1.v t /2=v =(v 0+v t ) /2
v 0+v t 2. v s = 22
3.v t 2-v o 2
=2as
4. Δs=aT2
[证明]1.根据运动学公式:v t =vo +at, s=vo t+at2/2,
中间时刻的速度:v t/2=vo +at/2 22
s v 0t +at 2/2=v 0+at /2 平均速度:v ==t t
又(v0+vt )/2=(v0+v0+ at)/2= vo +at/2,
所以 v t /2=v =(v 0+v t ) /2
2.v t -v o =2as……(1) vs/2-v o =2a(s/2)……(2)
(1)/(2):vs/2=(vo +vt )/2, 2222222
v 0+v t 所以有v s = 22
3.根据v t =vo +at, 得:t=(vt -v o )/a,把t 代入
s=vo t+at2/2, 得:v t 2-v o 2=2as
4.从第一个T 秒开始时计时,在该时刻t=0,速度为v 0,有:
s 1=v0T+aT/2, s2=(v 0+aT)T+aT/2, s3=(v 0+2aT)T+aT/2,……
s n =[v0+(n-1)aT]T+aT/2,
s 2 -s1= s3 –s 2=……=Δs=aT2
【例2】证明机械能守恒定律:在只有重力做功的情形下,物体的动能和重力势能发生相互转化,但总的机械能保持不变.
证明:如图所示,取地面为零势能点,设物体只受重力作用,
向下做自由落体运动。在位置1时速度为v 1,高度为h 1,
222222
在位置2时速度为v 2,高度为h 2
由匀加速运动公式可得:v 22-v 12 = 2g(h1-h 2)
v 12+2gh1 = v22+2gh2
mv 12/2+mgh1 = m v22/2+mgh2
【例3】证明动能定理:合外力对物体所做的功等于物体动能的增加.
证明:设一个质量为m 的物体原来的速度为v 1,动能为mv 1/2,在恒定的合外力F 的作用下,发生一段位移s ,速度为v 2,动能增加到mv 2/2,设合外力方向与运动方向相同.
由运动学公式v 22-v 12 =2as得:s = (v22-v 12)/2a
合外力F 做的功W = Fs,根据牛顿第二定律F = ma
所以Fs = ma(v22-v 12)/2a = mv2/2- mv1/2 2222
或W = EK2- EK1
【例4】证明:导体切割磁感线产生的电动势ε= BLv.
证明一:如图所示,假设垂直水平轨道放置的导体棒长L ,以速度v 在轨道上向右运动,设在Δt 时间内棒由原来的位置ab 移到cd ,这时线框的面积变化量ΔS = LvΔt
穿过闭合电路的磁通量变化量:ΔΦ= BΔS = BLvΔt
由法拉第电磁感应定律:ε=ΔΦ/Δt, 将上式代入得:
导体切割磁感线产生的电动势:ε= BLv
证明二:如图所示,假设导体棒长L ,以垂直导体棒的速度v 水平向右
运动,有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为B
由左手定则可知:棒中自由电子e 受洛仑兹力f = evB作用向下运动,
使棒上下端产生电势差ε,形成的电场强度大小为E =ε/L
当f = eE 时,棒中产生稳定的电动势:ε= BLv
【例5】求证:电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv.
证明:如图所示, 设对一段导线通以强度为I 的电流,导线截面积为S ,电子定向移动速率为
v
,单位体积内自由电子数为n ,通电时间为t
则在这段时间内,自由电子定向移动的距离为L = vt
通过导线截面的电量为q = enV = enSL = neSvt
所以电流为I = q/t = neSv
【例6】证明:洛仑兹力公式f = qvB.
证明:设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n ,每个自由电荷的电量是q ,自由电荷的平均定向移动速率是v ,导线的横截面积是S ,那么通过导线的电流就是 I = nqvS
磁场对电流的作用力是F=ILB.这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力,设洛仑兹力为f ,这段导线内自由运动电荷的总数为N ,则
Nf = F,即Nf = ILB
代入I = nqvS,得到Nf = nqvSLB
又N 等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积,即N = nSL
因此上式简化为f = qvB
【例7】证明:万有引力定律F = GMm/r2
证明:设有两个孤立物体质量分别为M 、m ,相距较远间距为r ,m 绕M 作匀速圆周运动周期为T
M 对m 的万有引力F 提供向心力:F = m(2π/T)2r ①
由开普勒第三定律: r 3/ T2 = 常数 ②
由①②得:F = (2π) 2m( r3/ T2) /r2 即F ∝m/r2 ③
由牛顿第三定律可知:m 对M 的万有引力大小也为F ,且具有相同的性质
所以,m 对M 的万有引力F ∝M/r2 ④
综合③④得:F ∝Mm/r2
万有引力定律F = GMm/r2 (其中G 为引力常量)
【例8】(1)试在下述简化情况下,由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式:一个运动质点只受到一个恒力作用,沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据..........,以及最后结果中各项的意义........... 解:(1)如图所示, 一物体放在光滑的水平面上, 设在恒力F 的作用下,
开始时物体的初速度为V 1, 经过t 时间后, 物体的速度变为V 2
由牛顿第二定律得:a =F ① m 由运动学公式得: a =v 2-v 1 ② t 由①②可得: v 2-v 1F =, 由此式变形得: Ft =mv 2-mv 1 t m
式中:Ft 表示物体在t 时间内物体受到合外力的冲量;mv 2表示物体在这段时间的末动量;mv 1
表示物体在这段时间的初动量
【例8】.求证:半径公式r=mv/Bq,周期公式T=2πm/Bq
证明:如图所示,设一带电粒子质量为m ,带电量为q ,匀强磁场的磁感强
度为B ,粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力,即 Fn =qvB=mv/r
所以运动半径为r=mv/Bq. 根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq代入得
带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq.
【例9】如图所示,弹簧的一端固定在墙上. 另一端连结一质量为m 的木块,今将木块向右拉开一位移L 后释放,木块在有摩擦的水平地面上减幅振动. 论:木块在整个振动过程中出现速度为v 0的位置有几个.
分析和证明:在整个振动过程中出现速度为v 0的位置有且只有2个.
释放木块后,木块在水平方向上的弹力和摩擦力同时作用下,先向左作加速度变小的加速运动. 后向左作加速度变大的减速运动. 在弹簧原长位置的右侧x 0处(kx 0=μmg ),一定存在一加速度为零的位置(平衡位置),此位置向左的速度最大. 根据速度变化必须是连续的原理可知,既然左侧有一v 0,其右侧也一定存在一v 0的位置.
在弹簧第一次恢复原长,木块速度为v 0时,系统振动的能量E =E k =212mv 0,此后的运动由于2
摩擦的作用,系统振动能量不断减小,E '
所以v x <v 0,且不断变小,直至停止振动为止.
【例10】如图1 所示:一根导体棒oa 长度为L ,电阻不计,绕o 点在垂直于匀强磁场B 的平面内以角速度ω做匀速圆周运动,求其产生的电动势。
解法一:假想电路法
假想导体棒与一个定值组成闭合回路(如图2 所示),利用法拉第电磁感应定律公式
求解。
此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值,不用来求瞬时值,但本题中棒切割磁感线的角速度恒定,产生的感应电动势大小也是定值,故平均值与瞬时值相同,可以用此公式求金属棒产生电动势的瞬时值。假设棒与某个电阻R 组成了一个闭合回路,经过时间△t ,棒转过了角度θ,则闭合电路的磁通量增加量为:
由楞次定律可知,闭合电路的磁通量在增大,感应电流的磁场应垂直纸面向外。如果形成感应电流,则方向由o→a,故电动势的方向o→a,a 点电势高于o 点电势,a 点相当于电源的正极。
解法二:利用法拉第电磁感应公式的导出公式E=Blv 求解。
由于杆上各点的线速度都不相同,并且各点的线速度大小正比于该点到o 点的距离。o 点速度为零,a 点速度最大,为ωl,则整个杆的平均速度为2ωl
,相当于棒中点瞬时速度的大小。产生的电动势
由右手定则可以判断电动势的方向为o→a,a 点的电势高于o 点的电势,即a 点相当于电源的正极。
由于解法二比较简洁,故以下拓展在不涉及能量转化问题时均用解法二。
【例11】质量为m 的物体与地心的距离为r 时,物体和地球间引力势能可表示为E P =-GMm (设r
物体在离地球无限远处的势能为零),其中G 为引力常量,M 为地球质量。当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时,物体就可以挣脱地球引力的束缚,成为绕太阳运动的人造行星,这个速度叫做第二宇宙速度。证明:第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系为v 2
=1。
【例12】:设计物理情境用牛顿运动定律推导动量守恒公式。
如下图所示,在光滑的水平面上做匀速直线运动的两个小球,质量分别为m 1和m 2,沿着同一个方向运动,速度分别为v 1 和v 2 (且v 2>v 1),则它们的总动量(动量的矢量和) p =m 1v 1+m 2v 2。当第二个球追上第一个球并发生碰撞,碰撞后的速度分别为v 1' 和v 2' ,此时它们的动量的矢量和,
' ' ' ' ' p =p +p =m v +m v 121122即总动量。下面从动量定理和牛顿第三定律出发讨论p 和p ′有什么关系。
a 1=
【推导过程】:根据牛顿第二定律,碰撞过程中两球的加速度分别是:
根据牛顿第三定律,F1、F2大小相等、方向相反,即:F1= - F2
所以:m 1a 1=-m 2a 2 F 1F a 2=2m 1, m 2
碰撞时两球之间力的作用时间很短,用∆t 表示,这样,加速度与碰撞前后速度的关系就是:a 1='-v 1v 1v '-v 2a 2=2
∆t , ∆t
把加速度的表达式代入m 1a 1=-m 2a 2,并整理得:
'+m 2v 2' m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1
上述情境可以理解为:以两小球为研究对象,系统的合外力为零,系统在相互作用过程中,总动量是守恒的——即动量守恒表达式。
下面留几个问题给同学回归课本自己再思考,并希望能够动笔自己尝试去推导:
(1)摩擦生热公式的推导证明:Q =f g L 相对
(2)月球第二宇宙速度的推导和证明:
(3)闭合电路中输出功率P 随外电阻的变化关系公式的推导,以及当内外电阻相等时有最大功率,外
最大功率的值是多少。
(4)证明电场力做功与路径无关,只与初末位置的电势差有关。
(5)在机车启动过程中去证明瞬时功率的表达式。
(6)证明单摆在角度很小的情况下,才能认为是简谐运动?
(7)推导斜抛运动的轨迹方程和水平射程表达式。