同构及同态在代数中的应用
摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，而在近世代数中，同态与同构是一个极为重要又较为初等的概念，它们是相互联系又有所不同的。同态是保持代数系统结构的映射，是同构的推广。在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。
关键词：同态；同构；群；环
在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。
为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中。同构与同态就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具。
1. 代数系统的同态与同构
1.1同态映射及同态的定义
一个A 到A 的映射φ，叫做一个对于代数运算 和 来说的，A 到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a 和b 是A 的哪两个元，只要
a →a ，b →b
就有 a b →a b
同态的定义
假如对于代数运算 和 来说，就有一个A 到A 的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A 与A 同态。
1.2. 同构
定义: 我们说，一个A 与A 间的一一映射φ是一个对于代数运算 与 来说的，A 与
，假如在φ之下，不管a ，b 是A 的哪两个元，只要 A 间的同构映射（简称同构）
a →a ，b →b
就有 a b →a b
假如在A 与A 之间，对于代数运算 与 来说，存在一个同构映射，我们说，对于代数运算 与 来说，A 与A 同构，并且用符号A ≅A 来表示。
定义 对于 与 来说的一个A 与A 间的同构映射叫做一个对也 来说的A 的自同构。 自同构映射也是一个极为重要的概念。
同态与同构的联系
1）从定义上看
2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构如
例4 建立实数集R 到正实数集R +的映射，σ:x 2x ，R 的运算为数的加法，R +的运算为数的乘法，因为x 2x , y 2y , x +y 2x +y =2x ⋅2y ，因此该映射是R 到正实数集R +的一个同态映射。
关于代数系统的同态有以下定理：
定理1 假定，对于代数运算 和 来说，A 与A 同态。那么，（1）若 适合结合律， 也适合结合律；（2）若 适合交换律， 也适合交换律。
定理2 假定，⊗，⊕都是集合A 的代数运算，⊗，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算⊗，⊗来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。那么，（1）若⊗，⊕适合第一分配律，⊗，⊕也适合第一分配律；
(2)若⊗，⊕适合第二分配律，⊗，⊕也适合第二分配律。
2. 群的同态与同构
2.1群的同态与同构定义
定义： 给定群(G , )和群G , ⨯称集G 到集G 的一个映射φ：G →G 是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有
()
φ(a b )=φ(a )⨯φ(b )
当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；
当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G ≅G ）；
当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x ∈G |φ(x )=e '，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。
3.2同态与同构在群中的应用
研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等。对群进行比较时, 采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质。通过对群的比较, 从而揭示出两个群的某些共同性质, 以至区别二者的异同。在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构是群论中非常重要的手段。这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论, 同时也是实践性很强的基本方法.
1）便于分类
对于同构的群G 与, 我们认为G 与是代数相同的, 因为这是对于近世代数所研究的问题来说, 除了符号与名称上的区别之外, 二者没有实质的差异.
例4：设两个群{Z , +}和{, }，其中：
Z ={ , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }.
Z =10n n ∈Z = , 10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103, {}{}
作ϕ:Z →Z , 其中：ϕ(n )→10n ，显然，ϕ是双射，且：
ϕ(n +m )=10m +n =10m ⋅10n =ϕ(m )⋅ϕ(n )
于是知：
Z ≅Z
其中一个是另一个以不同符号和名称实{Z , +}与{, }这两个群没有实质性的差异，
现出来的结果。 再如：循环群的结构定理：设G =(a ) 是由生成元a 生成的循环群，
ϕ
如果|a |=∞，那么G ≅Z .
如果|a |=n ，那么G ≅Z n .
用代数同构观点，循环群只有二个。一个是整数加群Z ，另一个是模n 的剩余类加群Z n .
定理 设G 为群，G 为一个带有乘法运算的非空集合，若存在f :G →G 为满同态映射，则G 也是一个群. （该定理提供了一个借助已知群判定群的方法）
例2: G ={0,1,2,3}, 运算为：a b =r , 这里a +b =4+r ，下证G ={0,1,2,3}关于这个运算作成群。取整数集Z ，运算为普通的加法，建立映射:φ:Z →G , 若n =4q +r ，则令n r ，可知该映射是一个同态满射，经过证明可知G ={0,1,2,3}为群。
定理 设φ是群G 到群G 的同态.
(1)若e 是G 的单位元，则φ(e ) 是G '的单位元；
(2)G的元a 的逆元a -1的象是a 的象的逆元。
(3)a 的象的阶整除a 的阶 设G =a 是循环群，若a 是无限阶元素，则G 与整数加群同构；若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与模n 剩余类加群同构。所以循环群的存在问题，数量问题，构造问题已彻底解决。
群G 与商群具有密切的联系。而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。本节是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。群G 的同态象G 可以设想是G 的一个“粗略”的模型；忽略了G 中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系。都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G 到G 有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G 到G 有满同态，则意味着G 就是G 的商群（在同构下）；（ⅲ）G 到G 有非单非同态，则在同构意义下意味着G 的一个商群与的一个子群一样。
二、群的同态基本定理（FHT ）
定理1 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射ϕ:G →其中：ϕ(x ) =xN . N ，
群G 的每个商群都为G 的同态象。而且能够以N 为核将这个同态关系表现出来。于是由同态象的意义（传递性）知：G 的每个商群可由商群为都会在某些方面有些象G ，进而，的某些性质去推测群G 的一些性质。一般来说，商群要比G 简单些，（因是G 的元素以N 为模归类做成的陪集而形成的群），所以，为我们在研究G 上带来方便。
定理1的重要性还在于它具有某些完备性——G 的每一个同态象就是G 的商群（在同构下）
定理2：设G 与G 是同态的群：G ~G 且Ker (ϕ) =N ，那么。ϕ
≅G
按代数的观点，同构的群就是同样的群，因此，定理2表明，群G 只能与它的商群同态，或者说，G 的任何一个同态象G 必与G 的某个（且能够肯定的指明是哪个）商群一样。 注意1：上述的定理1和定理2习惯统称为群的同态基本定理。（FHT ）
定理3—4. 设ϕ:G →G 是群同态满射, 于是有下列结果
(1) 若H 是G 的子群，则H 的像ϕ(H ) 是G 的子群.
(2) 若H 是G 的不变子群，则H 的像ϕ(H ) 是G 的不变子群.
(3) 若H 是G 的子群，则ϕ-1H 是G 的子群.
(4) 若H 是G 的不变子群，则ϕ-1H 是G 的不变子群. ()()
4. 环的同态与同构
4.1环的同态与同构的定义
设ϕ是环{R , +, ⋅}到环R , +, ⋅的映射. 如果ϕ满足:
φ(a +b )=φ(a )+φ(b ), ϕ(a ⋅b )=φ(a )ϕ(b )
则称ϕ是一个环同态映射. 其中∀a , b ∈R .
∈R ，设R 和S 为环，映射f :R →S 为环同态，是指对每个a , b
}
f (a +b )=f (a )+f (b )；f (ab )=f (a )f (b )。如果f 是一一对应，则f 叫做环R 和S 的同构，称R 和S 同构，记作R ≅S 。
环S 到自身的同构叫做环S 的自同构，环S 全部自同构形成群，叫做环S 的自同构群。表示成A T (R )
当φ为环R 到环R 的同态时，ker φ=x ∈R |φ(x )=0,0为R 的零元，表示φ的核。
4.2同态与同构在环上的应用
定理1 若是存在一个R 到R 的满射，使得R 与R 对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R 也是一个环。
定理2 设R 和R 是两个环，并且R 与R 同态。那么，R 的零元的象是R 的零元，R 的元a 的负元的象是a 的象的负元。并且，若R 是交换环，那么R 也是交换环；若R 有单元1，那么R 也有单元1，而且，1是1的象。
显然环同态满射能传递许多代数性质, 但也有一些是无法传递过去的.
如例5 可知ϕ:Z →Z 6是环同态满射, 其中:ϕ(n )=[n ]. 显然Z 是整环. ∴Z 中没有零因子, 但在Z 6中, [2]和[3]、[4]都是零因子. 再如2显然不是Z 中的零因子, 但ϕ(2)=[2]却是Z 6中的零因子. 这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
再如例6. 设R =(a , b )∀a , b ∈Z .在R 中定义运算: {}
(a 1, b 1)+(a 2, b 2)=(a 1+a 2, b 1+b 2) (a 1, b 1)(a 2, b 2)=(a 1a 2, b 1b 2).
可以验证: R是一个环. 现作一个对应:
ϕ:R →Z , 其中, ϕ(a , b )=a
可以验证, ϕ是一个环同态满射. 由于(0, 0)是R 中的零元, 当a ≠0且b ≠0时. 有(a , 0)(0, b )=(0, 0)⇒R 中有零因子. 而显然Z 中没有零因子. 这表明:零因子的象可能不是零因子.
总结看，若φ:R →是环同态满射，则
（1）若R 是交换环，则也是交换环，但若是交换环，R 未必是交换环。如
⎛a b ⎫⎛a 0⎫f 1:S 1→S 2, ⎪ ⎪, a , b , d ∈R 是环同态，S 2是交换环，S 1却不是交换环 0d 0d ⎝⎭⎝⎭
（2）若R 有单位元的环，则也是单位元的环，且1 ，但若是有单位元的环，
⎛a b ⎫⎛a 0⎫则R 未必也是单位元的环，如f 4:S 4→S 6, ⎪ ⎪，是环同态，S 6有单位元⎝00⎭⎝00⎭
⎛10⎫ ⎪，但S 4没有单位元 00⎝⎭
（3）若R 无零因子，则未必无零因子，如Z →Z m ，Z 无零因子，但当m 为偶数
时Z m 有零因子。若无零因子，则R 未必无零因子（例6）
环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质. 如果ϕ是环同构时, 其结果则不同了. 定理3. 若R 和R 都是环, 且R ≅R , 那么ϕ不仅能传递所有的代数性质, 而且R 是整环(除环, 域) 当且仅当R 是整环(除环, 域).
3 设R 和R 是两个环，并且R ≅R 。那么，若R 是整环，R 也是整环；R 是除环，R 也是除环；R 是域，R 也是域。
定理4 设S 是环R 的一个子环，S 在R 里的补足集合（就是所有不属于S 的R 的元作成的集合）与另一个环S 没有共同元，并且S ≅S 。那么，存在一个与R 同构的环R ，而且S 是R 的子环。 引理：设环同态φ:R →R ，则φ是单同态的充要条件是ker φ={0}。
由引理可得定理5：设R ，R 是环，则的充要条件是ker φ={0}。 φ:R →R 是满同态，
二. 环同态及同态基本定理
定义2. 设φ:R 1→R 2是一个环同态, 那么R 2中零元的完全原象 ϕ
φ-1(0)={a ∈R 1|φ(a ) =0}
叫作φ的核, 通常记φ-1(0)=Ker φ. φ→Z m , Ker φ={km k ∈Z } 例如建立映射Z −−
φ→R 是一个环同态满射, 令I =Ker φ那么 定理1. 设R −−
(ⅰ) I R (ⅱ) ≅R 证明:(ⅰ) 对加法而言, φ显然是一个加群满同态, 由第二章知I R . (即I 是R 的不变子群). 下面只需证明吸收律也成立即可.
∀k ∈I , ∀r ∈R . 则φ(rk ) =φ(r ) φ(k ) =φ(r )0=0⇒rk ∈I . 同理kr ∈I . ∴I R
a ), 下面只需证(ⅱ) 可知存在ϕ:≅R . 作为群同构, 其中∀[a ]∈. ϕ([a ])=ϕ(I 明:∀[a ],[b ]∈, ϕ([a ][b ])=ϕ([a ])ϕ([b ])即可。因为 ϕ([a ][b ])=ϕ([ab ])=φ(ab ) =φ(a ) φ(b ) =ϕ([a ])ϕ([b ]).
∴ ϕ:→R 是环同构. 即≅R . 定理2. 设R 是一个环而I R , 那么必有环同态ϕ:R →. 使得ϕ是满同态且模Ker ϕ=I . 称这样的ϕ为环的自然同态. ϕ
证明:令ϕ:R →, 其中ϕ(a ) =[a ], 显然ϕ是个满射. 而且∀a , b ∈R . ϕ(a +b ) =[a +b ]=[a ]+[b ]=ϕ(a ) +ϕ(b ) ϕ(ab ) =[ab ]=[a ][b ]=ϕ(a ) ϕ(b ) ∴R ～. 至于Ker ϕ=I 是显然的.
注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理. 同时表明:环R 的任何商环都是R 的同态象. 而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.
与群同态类似, 我们可以得到一些与第二章中平行的结果.
定理3. 设ϕ:R →R 是环同态映射, 那么
(ⅰ) 若S 是R 的子环⇒ϕ(S ) 是R 的子环
(ⅱ) 若I 是R 的理想且ϕ为满射⇒ϕ(I ) 是R 的理想
(ⅲ) 若S 是R 的子环⇒ϕ-1(S ) 是R 的子环
(ⅳ) 若S 是R 的理想⇒ϕ-1(S ) 是R 的理想
以上分析总结了同态与同构在群论、环论中的应用，通过总结可以发现同态与同构在理论研究中的重要作用，表现在以下几个方面：
1）便于代数系统的分类
研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等。对群进行比较时, 采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质。通过对群的比较, 从而揭示出两个群的某些共同性质, 以至区别二者的异同。在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构是群论中非常重要的手段。
这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论, 同时也是实践性很强的基本方法. 对于同构的群G 与, 我们认为G 与是代数相同的, 因为这是对于近世代数所研究的问题来说, 除了符号与名称上的区别之外, 二者没有实质的差异. 群Z ，另一个是模n 的剩余类加群Z n . 这样给循环群的研究带来了极大的方便。
因此按近代的数学观点：彼此同构的群只是表达元素的符号与运算方法的符号及名称有区别。于是，只要掌握了当中的任何一个，那么另一个也就完全能把握住了，而这些区别对于我们讨论，研究问题的宗旨——群的代数性质来说是无关紧要的。一般地，设ϕ: G →G 是群同构映射, 那么ϕ的逆映射ϕ-1:G →G 也是群的同构映射. 而且在群之间的同构“≅”作为关系时，“≅” 必是一个等价关系。基于这样的认识，群论的基本课题就是把群按同构关系分类；对每一个同构的群类确定它的代数结构。如所有含三个元素的群都是同构的，都是循环群，因此我们说三阶群只有一个。而四阶群只有两个：一个是循环群，一个是非循环群。
2）便于代数结构之间的比较
如前面定理
2）代数集合自身的性质
本文简单地讨论了同态与同构在群、环上的应用，可以看出它们既有相同点，又有不同点，在学习过程中要加强它们之间的联系与区别。
参考文献：
【1】. 张禾瑞，《近世代数基础（修订本）》，高等教育出版社，1978年5月修订本。
【2】. 张禾瑞，郝炳新，《近世代数基础》，高等教育出版社，1988。
【3】. 刘绍学，《近世代数基础》，北京：高等教育出版社，1999。
【4】. 吴品山，《近世代数》，北京：人民教育出版社，1979年4月。