利用空间向量求二面角的平面角

利用空间向量求二面角的平面角

1.二面角的概念：

二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二l，两个面分别为,的二面角记为

l.

2．二面角的平面角：

过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线

OA,OB，则AOB叫做二面角l

3、二面角的大小

（1）二面角的平面角范围是[0,180]；

（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直

4、用法向量求二面角

如图所示，分别在二面角α－l－β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则我们可以用向量n1与n2的夹角来度量这个二面角。

如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角与该二面角相等或互补。

C

5、面面角的求法

（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。

coscosAB,CD

ABCDABCD

小结：

1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：

3.二面角:

ABCD

coscosAB,CD

ABCD

二.求二面角的平面角:

例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？

例2：如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC。（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M的大小 。

例1：在棱长为1的正方体AC1中，求平面C1BD与底面ABCD所成二面角C1BDC的平面角正弦值大小.

解：过C1作C1OBD于点O， ∵正方体AC1，∴CC1平面ABCD，

∴COC1为平面C1BD与平面ABCD所成二面角的平面角， C1BDC可以求得：sinCOC1

A1

，所以，平面C1BD与底面ABCD所成 3

6 3

二面角C1BDC的平面角的正弦值大小为

例2．如图，AB平面BCD，BDCD，若ABBC2BD，求二面角BACD解：过D作DFBC于F，过D作DEAC于E，连结EF，则AC垂直于平面DEF， FED为二面角BACD的平面角， 又AB平面BCD，

∴ABDF，ABCD，

A∴DF平面ABC， ∴DFEF

又∵ABCD，BDCD，

∴CD平面ABD，∴CDAD，

B

设BDa，则ABBC2a，

在RtBCD中，

SBCD

1

1BCDFBD

CD，∴DF 22DF同理，

Rt

ACD中，DE ，

∴sinFEDDE所以，二面角BACD的正弦值为

． 5

通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：

DC1(0,1,1)，(1,1,0)，(0,1,0)

设平面C1BD的法向量n1(x1,y1,z1)，平面CBD的法向量n2(x2,y2,z2)，可得

n1(1,1,1)，n

2(0,0,1)，

例2:解:建立空间直角坐标系得： (0,2,2),(0,0,2),(

6，即二面角的平面角sin 33

31

,,2) 22

设平面BAC的法向量n1(x1,y1,z1)，平面DAC的法向量n2(x2,y2,z2)得：

n1(0,0,1)，n

2(1,

33,)， 335

． 所以，二面角BAC

D