全等三角形的典型例题

全等三角形（1）

一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS” 几何符号语言：在ABC和DEF中

ABDE∵BCEF

ACDF

∴ABC≌DEF（SSS）

三．练习：

1．下列说法正确的是（ ）

A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等

C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等.

2．如图，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，则下列结论中：①ABD≌ACD；②BC；③AD平分BAC；④ADBC，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，若ABAC，DBDC，根据 可得ABD≌ACD.

5．如图，点B、E、C、F在同一直线上，BECF，ABDE，ACDF.

求证：EGCD

6．在ABC中，C90，D、E分别为AC、AB上的点，且ADBD，AEBC，DEDC. 求证：DEAB

7．如图，点A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF

求证：AB//DE

四．强化练习：

1．如图，ABAD，CBCD，B30，BAD46，则AC D的度数是（ ）

A．120° B．125° C．127° D．104°

2．如图，线段AD与BC交于点O，且ACBD，ADBC，则下面的结论中不正确的是（ ）

A．ABC≌BAD B．CABDBA C．OBOC D．CD

3．在ABC和A1B1C1中，已知ABA1B1，BCB1C1，则补充条件____________，

可得到ABC≌A1B1C1．

4．如图，ABCD，BFDE，E、F是AC上两点，且AECF．欲证BD，

可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明________≌

_________•得到结论．

5．如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC.

求证：①AB//CD；②AD//BC．

6．如图，已知ABCD，ACBD，求证：AD．

7．如图，AC与BD交于点O，ADCB，E、F是BD上两点，且AECF，DEBF．

求证：⑴DB；⑵AE//CF

8.如图，已知ABDC，ACDB．求证：12．

全等三角形（2）

一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS” 几何符号语言：在ABC和DEF中

ABDE∵BE

BCEF

∴ABC≌DEF（SAS）

二．例题：如图，D是ABC中边BC的中点，ABDACD，且ABAC.

求证：⑴ABD≌ACD ⑵EBEC

三．练习：

1．如图，下列条件中能使ABD≌ACD的是（ ）

A．ABAC，BC B．ABAC，ADBADC

C．ABAC，BADCAD D．BDCD，BADCAD

2．如图，线段AB、CD互相平分交于点O，则下列结论错误的是（ ）

A．ADBC B．CD C．AD//BC D．OCOB

3．如图，已知AD//BC，ADBC.求证：ADC≌CBA

4．点A、D、F、B在同一直线上，ADBF，且AE//BC.

求证：⑴AEF≌BCD ⑵EF//CD

5．如图，CDDE于D，ABDB于B，CDBE，ABDE.

求证：CEAE

6．如图，ABC和ECD都是等边三角形，连接BE、AD交于O.

求证：⑴ADBE ⑵AOB60

四．强化练习：

1.如图，DEBC于点E，且BECE，ABAC15，则ABD的周长为（ ）

A．15 B．20 C．25 D．30

2.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（ ）

A．能作唯一的一个三角形 B．最多能作两个三角形

C．不能作出确定的三角形 D．以上说法都不对

3.如图，已知B1，BECF，要使ABC≌DEF，下面所添的条件正确

是（ ）

A．ACDF B．BCEF C．ACEF D．ABDE

4.如图，在ABC中，ABAC，点E、F是中线AD上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（

A． 3对 B．4对 C．5对 D．6对

的）

5.如图，点A、E、B、D在同一直线上，ABDE，ACDF，AC//DF.

⑴求证：ABC≌DEF

⑵你还可以得到的结论是 （写出一个即可）

6.如图，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，OBOD.

求证：ABCD

7.如图，已知E、F是线段AB上的两点，且AEBF，ADBC，AB.

求证：DFCE

8.如图1，DEF的顶点D在ABC的边BC上（不与B、C重合），且BACEDF180，ABDF，ACDE，点Q为EF的中点，直线DQ交直线AB于点P.

⑴猜想BPD与FDB的关系，并加以证明；

⑵当DEF绕点D旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）

全等三角形（3）

一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA” 全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS” 几何符号语言：在ABC和DEF中

AD∵ABDE

BE

∴ABC≌DEF（ASA）

或：在ABC和DEF中

AD∵BE

BCEF

∴ABC≌DEF（AAS）

二．例题：如图，AECE，AECE，DB90

求证：CDABDB

三．练习：

1．如图，ABC和DEF中，下列能判定ABC≌DEF的是（ ）

A．ACDF，BCEF，AD B．BE，CF，ACDF

C．AD，BE，CF D．BE，CF，ACDE

2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去

3．如图，ADBC，ACBD，则图中全等三角形有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

4．如图，CDAB于D，BEAC于E，AO平分BAC，则图中全等三角形有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

5．如图，12，ABAD，若想使ABC≌ADE，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.

6．如图，已知12，34

求证：BDBE

四．强化练习：

1．已知ABAB，AA，BB，则ABC≌ABC的根据是（ ）

A．SAS B．SSA C．ASA D．AAS

2．ABC和DEF中，ABDE，BE，要使ABC≌DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）

A．ACDF B．BCEF C．AD D．CF

3．如图，AD平分BAC，ABAC，则图中全等三角形的对数是（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

4．如图，已知AB//CD，欲证明AOB≌COD，可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）

5．如图，ABAC，BDCD，12，欲得到BECE，•可先利用_______，证明ABC≌DCB，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到BECE．

6．如图，AC平分DAB和DCB，欲证明AEBAED，•可先利用___________，证明ABC≌ADC，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到AEBAED.

7．如图，ACAE，CE，12.求证：ABC≌ADE．

8．已知ABC≌ABC，AD和AD分别是BC和BC边上的高，AD•和AD相等吗？为什么？

9．如图，已知BDCE，12，那么ABAC，你知道这是为什么吗？

10．已知如图，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC. ⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）

⑵小明说：欲证BECD，可先证明AOE≌AOD得到AEAD，再证明ADB≌AEC得到ABAC，然后利用等式的性质即可得到BECD，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．

⑶要得到BECD，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．

全等三角形（4）

一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写为“斜边、直角边”或“HL”

几何符号语言：∵CF90

∴在RtABC和RtDEF中

∵ABDE ∴ABC≌DEF ACDF

二．例题：如图，PCOA于C，PDOB于D，且PCPD

求证：CPODPO

三．练习：

1．下列命题中正确的有（ ）

①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；

④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个

2．如图，ABC和EDF中，BD90，AE，点B、F、C、D在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定ABC≌EDF的是（ ）

A．ABED B．ACEF C．AC//EF D．BFDC

3．如图，ABAC，BDAC于D，CEAB于E，图中全等三角形的组数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．如图，AEBD于E，CFBD于F，ABCD，AECF.求证：AB//CD

5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，ABCD，EBAD，FCAD，且AEDF 求证：AFDE

6．在ABC中，BAC90，ABAC，AE是过点A的一条直线，且BDAE于D，CEAE于E. ⑴当直线AE处于如图1的位置时，猜想BD、DE、CE之间的数量关系，并证明. ⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明； ⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的数量关系.

四．强化练习：

1．在下列所给的四组条件中，不能判定RtABC≌RtABC (其中CC90)的是( )

A．ACAC，AA B．ACAC，BCBC

C. AA，BB D. ACAC，ABAB

2.使两个直角三角形全等的条件是（ ）

A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等

C．一条边对应相等 D．两条边对应相等

3.如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则CH的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4.如图，已知ACBADB90，欲说明BCBD，可补充条件 .（填写一个即可）

5.如图，A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，FDAD，且ABCD，CEBF，则CE与BF的位置关系为 .

6.如图，ABAC，ADBC于D.求证：AD平分BAC，BDCD

7.如图，ABAC，AEAF，AEEC于E，AFFB于F.求证：12

8.如图，在ABC和ABC中，CD、CD分别是高，并且ACAC，CDCD，ACBACB. 求证：ABC≌ABC

9.如图，A、E、F、B在同一条直线上，ACCE于C，BDDF于D，AEBF，ACBD. 探究CF与DE的关系，并说明理由.

全等三角形（5）

一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .

二．全等三角形的判定：

1.判定两个三角形全等的方法有：

⑴________________________________________的两个三角形全等(SSS)．

⑵________________________________________的两个三角形全等(SAS)．

⑶________________________________________的两个三角形全等(ASA)．

⑷________________________________________的两个三角形全等(AASAAS)．

2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等(HL)．

三．例题：

1.如图已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是( )．

A.甲和乙 B．乙和丙

C.只有乙 D.只有丙

2.如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ．．

①ABDE，②ACDF，③ABCDEF，④BECF．

3.如图，OAOB，OCOD，AOBCOD90.猜想线段AC、BD的关系，并说明理由.

4. 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：

⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形； ⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．

四．练习：

1．下列给出的四组条件中，能判定ABC≌DEF的是（ ）

A．ABDE，BCEF, AD B．AD,CF,ACEF

C．AD,BE,CF D．ABDE, BCEF, ABC周长＝DEF周长

2．若ABC≌DEF，且ABC的周长为20，AB5，BC8，则DF长为（ ）

A．５ B．８ C．７ D．５或８

3．如图,D在AB上，E在AC上，且BC，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABE≌ACD的是( )

A．ADAE B．AEBADC C．BECD D．ABAC

4．如图，将两根钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于内槽宽AB，那么判定AOB≌AOB的理由是( )

A．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边

5．在ABC和ABC中，A44，B67，C69，B44，且ACAC，那么这两个三角形（ ）

A．一定不全等 B.一定全等

C.不一定全等 D.以上都不对

6.如图，若ABC≌DEF，则E等于（ ）

A.30° B.50° C.60° D.100°

7. 已知AB//DE，ABDE，AFDC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.

8.如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC ⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

9.如图，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由．