高中数学教材新增内容教法研究
结题报告
广东北江中学数学科组课题组
组长：蔡自力
主要成员： 赖和平、陈尚坚、邓献宝
成员: 数学科组其他教师
一、 研究背景
随着新一轮的课程改革的启动，特别是研究性学习进入了课程计划，加快了教学观念和教学模式的更新，促进了高中数学教学的改革和优化. 研究性学习活动能培养学生的积极的求异性、敏锐的洞察力、创造性的想象、独特的知识结构、活跃的灵感。而开展数学研究性学习，侧重在培养学生学数学，用数学，并注重学生数学科研能力。我校是省重点中学，校领导认真组织教师学习现代教育教学理论，更新观念，积极开展研究性学习活动, 倡导培养学生的创新思维品质，提高我校的教学质量和办学水平,为本课题的研究提供了有利的条件.
二、 理论指导
（一） 概念界定
1．研究性学习的定义：研究性学习是指学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，并在研究过程中团结合作，主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。
2．研究性学习的目标：1、获得亲身参与研究探索的体验；2、培
养发现问题和解决问题的能力；3、培养收集、分析和利用信息的能力；4、学会分享与合作；5、培养科学态度和科学道德；6、培养对社会的责任心和使命感”。
数学研究性学习基础是以学生所学的数学知识和学生的自主性、探索性学习为基础，研究内容要密切结合生活和生产实际，即从生活中选择和确定专题，建立数学模型解决实际问题。数学研究性学习的特点是一种开放性、参与式、合作型的教学模式，它不仅仅局限于一间课室和一间学校，也不局限于一门学科或几本书。学生必须走出课室，走出校园，融入自然和社会中去，用自己的眼睛从不同的角度去认识自然，了解社会，用自己的头脑去分析，去鉴别，并形成自己的观点和认识。
科研能力的思维品质：就是具有求异、求新、综合、发散、联想、想象等思维的方法，具有流畅性、变通性、独特性等特点的思维风格。它的主要特征是：积极的求异性、敏锐的洞察力、创造性的想象、独特的知识结构、活跃的灵感。本课题的研究范围覆盖了高中数学研究性学习、高中数学课外活动等活动的各层面。
（二） 理论假设
研究性学习具有开放性、探究性和实践性的特点，是师生共同探索新知的学习过程，是师生围绕着解决问题共同完成研究内容的确
定、方法的选择以及为解决问题相互合作和交流的过程。
1． 关于开放性
研究性学习，要求学生在确定课题后，通过媒体、网络、书刊等渠道，收集信息，加以筛选，开展社会调研，选用合理的研究方法，得出自己的结论，从而培养了学生的创新 意识、科学精神和实践能力，它的最大特点是教学的开放性。
（1）教学内容是开放的。天文地理、古今中外，只要是学生感兴趣的题目，并有一定的可行性，都可作为研究课题。
（2）教学空间是开放的。强调理论联系实际，强调活动、体验的作用。学习地点不再限于教室、实验室和图书馆，要走出校门进行社会实践；实地勘察取证、走访专家、收集信息等等。
（3）学习方法、思维方式是开放的。针对不同目标，选择与之适应的学习形式，如问题探讨、课题设计、实验操作、社会调查等。要综合运用多门学科知识，分析问题、解决问题的能力 增强了，思维方式从平面到立体，从单一到多元，从静态发展到动态，从被动发展到主动，从封闭到开放。
（4）收集信息的渠道是开放的。不是单纯从课本和参考书获取信息，而是从讲座、因特网、媒体、人际交流等各种渠道收集信息。
（5）师生关系是开放的。学生在研究中始终处于主动的地位，教师扮演着知道者、合作者、服务者的角色。提倡师生的辩论，鼓励学生敢于否定。
2．关于探索性 在研究性学习过程中，学习的内容是在教师的指导下，学生自主确定的研究课题:学习的方式不是被动地记忆、理解教师传授的知识，而是敏锐地发现问题，主动地提出问题，积极地寻求解决问题的方法，探求结论的自主学习的过程。因此，研究性学习的课题，不宜由教师指定某个材料让学生理解、记忆，而应引导、归纳、呈现一些需要学习、探究的问题。
3．关于实践性 研究性学习强调理论与社会、科学和生活实际的联系，特别关注环境问题、现代科技对当代生活的影响以及社会发展密切相关的重大问题。要引导学生关注现实生活，亲身参与社会实践性活动。同时研究性学习的设计与实施应为学生参与社会实践活动提供条件和可能。
三、研究目标
1．通过实验和研究，让教师更新观念，拥有新的教学理念，并积极探索创新，大胆实践，变知识的灌输者为帮助学生主动建构知识的合作者。
2．通过实验和研究，让学生树立新的学习观念，自觉提高自己的数学素养，形成勤思、勤学的好习惯，建立在共同协作中获知的好理念，变被动式接受为主动式求知。提高用数学知识解决实际问题的能力,初步形成数学科研能力,能撰写出高质量的数学小论文。
3．通过实验和研究，形成有利于学生主体作用和教师主导作用发挥的新型的师生关系。
四、研究过程
（一）课题组的管理与分工
1．让优秀的青年教师成为课题组主要成员，课题组中的5名成员都是骨干教师，为开展实验提供了人员保证。课题组教师先进的理念、优秀的业务水平是课题研究的保证。因此，本科组十分注重提高实验教师的素质。（1）强化理论学习，提高课题组成员的理论素养。（2）组织参加各级各类培训，提高教师运用现代教育技术的水平。
2．规范制度，加强课题研究过程的管理。
落实各实施环节。实施是管理过程中最重要的环节，课题研究重在过程。本科组的课题研究努力做到：“五定”：定人、定时、定点、定内容、定形式，扎实严谨地开展好每次活动。接着，抓课题研究的检查工作。坚持每月一次的常规检查，通报检查情况，总结每月的研究情况，以指导下个月的工作。最后，抓课题研究的总结工作。每个课题组成员都必须针对一学期的研究工作作好认真总结。开好期末总结会，了解研究中的得失，明确下一步的研究目标。（2）抓第一手资料的积累工作。要求教师认真、如实填写好实验手册。认真完成业务笔记，常摘录，经常写些研究中的心得体会等。对自行开发、制作的软件，要及时归于教学资源库。（3）上好研究性学习辅导课课，以活动促提高。
（二）加强学习，提高课题级成员自身素质
1．强化理论学习。（1）通过订阅、邮购等方式购置了大量教育专著、教育杂志，和优质网站的上网卡，供教师借阅和使用。（2）组织
教师外出听课，每学年都组织老师赴广州和其他城市听课学习，更新了教师的观念更新，开阔了教师的眼界。（5）邀请专家、上级领导作讲座，把教改的新信息及时让教师了解。（6）鼓励教师上网，查阅资料，学习理论经验，参与网上论坛活动，实现资源共享，增进横向交流。理论学习采用集中学习与分散学习结合、讨论与自学相结合的方式进行。尤其是集中学习，更讲究其高效性及活动意义。分散学习也要保质保量，记好业务笔记，学校做到定期与不定期检查督促。
2．撰写研究性文章。要求教师在理论与实践相结合的基础上，每月写好一篇研究性文章，并由学校组织，择优参加各级各类研究性学习论文的、案例的评选，或向有关报刊、杂志投稿。
（三）教师对学生的指导
1．课题的选择是数学研究性学习实施的关键
研究性课题的确定至关重要，它直接影响课题研究的成功与否，数学新教材中虽然提供了“课题”，但切不可简单地将新教材中提供的课题作为全体学生的研究课题，或者在一些资料中找几道或编几道“应用题”，让学生做做就算完成了任务，错误地将“研究性学习”简单地理解为在教室里用所学的“数学知识”解几道“实际应用题”。
按照开展研究性学习的有关文件精神，学生在高中的前五个学期里取得10个学分为该课程的合格成绩，而完成一个课题给2个学分，也就是每位学生每学期完成一个课题就可以取得合格的成绩，因此，
数学研究性学习的课题可以采用“长课题”和“短课题”相结合的形式进行。“长课题”每学期安排2到3个为宜，课题研究的时间长度为一个学期，主要以小组研究的形式进行，课题尽可能在数学学习生活与日常生活、社会生活的交汇点上产生。如已结题的研究性课题《杨辉三角性质的研究》、《直角三角形与“直三棱椎”的对比》、《一道高中数学联赛试题的证明与推广》、《等差等比数列数阵的研究与推广》、《关于不等式的应用》等这些都是比较好的课题，既贴近学生的日常生活，又紧紧围绕着数学学习这一主题，深受学生的欢迎。 又如，在现实生活中，有关按揭贷款购房问题，通常我们比较热衷于站在顾客的角度去计算每次应付的款项、总共应付的款项等等，这个问题过于局限，学生的兴趣和参与度都非常有限，但是，如果我们换一个角度去研究：按揭贷款中银行方面究竟可以取得哪些效益。这个课题可以让学生走出课堂，走进社会，广泛收集数据，进行调查研究，学生的兴趣浓、积极性高，也是一个很受学生欢迎的课题。还有更贴近学生日常生活的课题。如《目前韶关市居民购楼方案的探讨》，《等比数列与分期付款》、《广东韶关市五里亭大桥的几何结构与受力分析》、《西河桥头两侧交通高峰期堵塞原因分析和解决方案》、《遥控器同时开关多部空调问题的数学研究》、《关于手机套餐的选择》、《韶关市居民购楼方案的探讨》等。
而“短课题”可理解为专题研究活动课题，也就是在数学教学中，每一单元或每一阶段都确定一个研究专题，如：
1.学习数列这一章的内容时，可以让学生从函数的角度去研究等
差数列的通项公式和前n项和公式的特征。
2.学习不等式一章时，可以让学生去探究这样一个问题：不等式的应用知多少？
3.进行阶段性测验后，可以让学生去探究：解填空题的常见病因及对策。
4.学校开田径运动会前，让学生去测量，去研究，进行200米、400米、800米跑竞赛时，各跑道的起跑位置如何确定。
5.学习立体几何时可以让学生去研究：为什么油桶、热水瓶、易拉罐等装液体的容器都是圆柱形的?这些圆柱形容器如易垃罐的底半径和高之间的比有没有一定的规律?商家是如何选择易拉罐的形状、大小的?等等。
“短课题”研究的时间长度一般较短，比较适合个人独立研究。
已结题的研究性“短课题”有《等差数列性质讨论稿》、《匀变速运动与等差数列》、《直线与双曲线位置关系探讨》、《等差数列对称性及应用》、《等差数列与函数有很大的关系》等。
采用“长课题”和“短课题”相结合的方式，使研究性学习这种学习方式不但运用于研究性学习课程本身，而且运用于教材内容的学习中，研究性学习中所获得的直接经验与数学课程所获得的间接经验，交互作用、相辅相成，更有利于研究性学习与数学学科的应用功能的发挥。
2．研究的过程是整个研究性学习课程实施的重点
研究性学习强调学生对所学知识、技能的实际运用，注重学习的
过程，注重学习的实践与体验，使学生在课题的研究过程中，创新精神和实践能力得以提升。因此，研究的过程是整个研究性学习课程实施的重点。在研究性学习实施过程中，一方面，要给学生保留足够的时间和空间，让学生充分地感悟、体验，发挥自身的潜能。另一方面，教师又要加强指导，及时了解学生开展研究活动时遇到的困难以及他们的需要，有针对性地进行指导，成为学生交流的组织者和建设者，给学生适时的鼓励和指导，帮助他们建立自信心并进一步提高学习积极性。如：我校的《制作一个广州市第九十七中学学生数学网站》的研究组，在研究过程中，碰到了电脑技术上的问题，由于当时得不到及时解决，自信心和积极性都受到挫伤，甚至出现有个别同学利用上网的方便，做一些与研究无关的事情。后来学校安排了一位电脑教师，为他们及时解决技术上的问题，学生又重新拾起曾一度失去的自信心，投入到课题研究之中。因此在数学研究性学习实施过程中，对学生的研究过程作科学的调控是非常必要的。比如，通过制订一些量表，每次活动结束后，让研究组的每一位同学填写好活动情况记录表、活动体会等等，也就是通过一些量表，使每项工作落实到位，让学生更深刻地体会、理解开展研究性学习的意义，积极、主动地参与研究，在研究过程中提高自身的综合素质。
对数学研究性学习的评价，除了注重学生的自我评价、注重合作的作用等等外，还应该将数学研究性学习的评价结合在数学的课堂教学之中。评价应该围绕学生是否将研究性学习中所获得的获取知识的技能方法运用于数学学习，在数学学习中如何提问、如何收集信息、
如何作出假设和解决问题，也就是将数学研究性学习的评价与数学学科的学习进行整合。
五、教师指导学生研究性学习优秀个案
先阅读以下材料：
某教师97年7月毕业，每个月所有的收入只有800来元。当时韶关市居民人住房面积大约8 m2，凭我的收入，购买只需3万元的商品房我都连想都不敢想。本人的目标是：5年内使本人的家庭的人均住房面积达到10m2。
2002年十六大时，中央领导人很有信心地承诺，到2020年我国的国民生产总值GDP翻两翻（十五期间，我国的GDP年平均增长率是7%，韶关的GDP年平均增长率是10%）。由于市经济的发展，本人的职称的晋级，到2002年，本人的月收入大约1600元，一个家庭（2人）的月收入达到3200元。随之本人的消费观念有了一个大的转变。于是，本人通过银行按揭的途径购买了一套舒适的价值30多万元的商品房。
本人的购房方式是：向银行借款27万元，按揭30年（共360期），选择的是等额本息方式（还有一种是等额本金方式），银行工作人员提醒我，30年后你已快60了，可能退休了，同时，你共要向银行还52万多。但我仔细想想，本人还不到30岁，就享受了60岁才能买得起的住房。为什么不能买！
当时，很多朋友十分担心，就凭本人的这点家庭收入（在韶关市属中
低档），能承受得了这么大的债务吗？
通过阅读以上材料，请用数学知识回答以下几个问题。 问题1：97年到2002年我的年收入平均增长率大约是多少？除去晋级因素，你认为与韶关的GDP年平均增长率相符吗？
问题2：“到2020年我国的国民生产总值GDP翻两翻”是什么意思？18年间，我国GDP的年平均增长率大约是多少？
问题3：银行工作人员提醒我30年后共要还银行52万多，你认为这个数据确凿吗？请按下列步骤计算出本人每月该向银行还款多少元。
问题4：如果本人的收入也按“翻两翻”这个速度增长，我的月家庭收入年增长率为_______，到2012（10年后），我的月家庭收入可达到多少元？
2002年本人的月家庭收入是3200元，但每月余额（还款能力）只有50%的比例，即1600元，还可以勉强支付按揭。但随着家庭的其他支出越来越多，每月余额的比例将按5%的年平均速度递减，到2012年（10年后），本人还有支付按揭的能力吗？若有，每月按揭占余额的百分比是多少？
问题5：若本人采用等额本金的方式向银行借款，则每月还款是个变数，请帮本人算出第n个月还款与贷款本金a、月利率p之间的关系式。并算出第1个月的还款额和总还款额。试比较等额本息方式，你建议我选择哪种方式？为什么？
问题6：现装修已快完工，但本人正为还欠1万元装修资金无法
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到位而发愁。而这个月的按揭还没有交（月初交）。突然我有一个念头，能不能先拖欠银行几个月的按揭，把装修搞完再想办法还清？
查看了《贷款条款》,其中有一条写着：“……，如未按约定的时间归还，贷款人将按国家规定对逾期贷款每日计收万分之2.1罚息。”
根据你对条款的理解，本人拖欠银行几个月的按揭不还，划算吗？为什么？
问题7：阅读材料提到，因为对中央有信心，所以我提前并远远达到了家庭人均10m2的目标，可韶关市人均住房面积还要进一步提高。
设1997年的韶关市区人口为30万人，人均住房面积为5m2，若每年人口的平均增长率为1%，欲使2007年底人均住房面积达10m2，则每年平均需新建住房多少m2?
本案例的特点是把一个活生生的生活案例（教者本人的经历），以
“数学建模”的形式层层设问，使学生在运用等差等比数列知识解决实际问题时感受到数学知识的无穷魅力。
六、学生研究性学习实践优秀个案
《等比数列与分期付款》（获广东省第十七届青少年科技创新大赛
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论文一等奖）
本课题的同学对有关按揭贷款购房问题从研究银行和开发商是怎
样计算出分期付款每月应付的还款金额，贷款购房者还款几年后如果有能力还清所有款项时，在政策的允许下, 他想提前还款, 他何时还款最划算等的角度入手研究，首先研究的方向比较新颖，同时，研究的手段先进，运用了电子表格《Excel》设计了分期付款模拟软件。使得研究的结论更准确到位。 七、研究成果
（一）课题组成员与本课题相关的教改课题
（二）教改期间我校高考数学成绩与同类学校对比统计表
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（四）教改期间课题组成员指导学生研究性学习成果获奖情况（省级和国家级，不包括市级）
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（五）教改期间课题组成员指导学生竞赛获奖情况（国家级）
（六）教改期间课题组成员指导学生研究性学习其他成果（获市级奖励或刚结题成果）
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除此之外，学生平时还总结出许多的学习经验、学习心得和研究性成果，有的获得市级的奖励，或得到学校的认可与表彰。有的论文成果已汇编成文集。学生还自发开发了许多的学习软件，并能实现与其他学生共享和网上共享。
如何在研究性学习中提高学生的数学科研能力，思路已基本清晰，轮廓已显现。已经取得了一些成就，但也存在着一些不足：教师的理论水平有待于提高；如何将现代教育技术运用到研究性学习中去中等问题都值得更进一步的研究.
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