三角函数
一、重点知识回顾
1、弧度角度制
2、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式 3、公式： （1）诱导公式
（2）和（差）角公式 （3）二倍角公式 （4）经常使用的公式
①升（降）幂公式：②辅助角公式：a sin α+b cos α=4、三角函数的图象与性质 5、解三角形
α+ϕ)
a b c
===2R
(1)．正、余弦定理⑴正弦定理sin A sin B sin C （2R 是∆ABC 外接圆直径）
b 2+c 2-a 2
cos A =
2bc ⑵余弦定理：
二、常考题型与解法
题型一、三角函数的基础知识与基本运算： 1．（全国卷Ⅰ）sin585。的值为
(A) -
【答案】A
【解析】sin 585o =sin(360o +225o ) =sin(180o +45o ) =-sin 45o =4
2．（北京文）若sin θ=-, tan θ>0，则cos θ=
5
3
【答案】-
5
(B)
(C)
(D) 22
，故选择A 。。 33【解析】由已知，θ在第三象限，
∴cos θ===-，∴应填-．
553．(2008浙江
) 若cos α+2sin α=则tan α=( )
11
（A ） （B ）2 （C ）- （D ）-2
22
【答案】B
【解析】由cos α+2sin α=
cos α=2sin α，
又由
cos α=2sin α=-
sin α=2 ，所以，tan α=
cos α5
题型二、图像：
1．（浙江理）已知a 是实数，则函数f (x ) =1+a sin ax 的图象不可能是 ( ) ．．．
2. （辽宁卷理）已知函数f (x ) =Acos(ωx +ϕ) 的图象如图所示，f () =-
2
，则f (0)=
23
2211
（A ）- (B) (C)－ (D)
3322
π
2π
【解析】由图象可得最小正周期为3
2π2ππ7π
于是f(0)＝
33212
22ππ
所以f() ＝－f() ＝
323
【答案】B
3. （江苏卷）函数y =A sin(ωx +ϕ) （A , ω, ϕ为常数，A >0, ω>0）在闭区间[-π,0]上的图象如图所示，则ω
= . 【解析】 考查三角函数的周期知识。
32
T =π，T =π，所以ω=3， 23
题型、性质
1、
（安徽卷理）已知函数f (x ) =ωx +cos ωx (ω>0) ，y =f (x ) 的图像与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x ) 的单调递增区间是π5π5π11π
（A ）[k π-, k π+],k ∈Z （B ）[k π+, k π+],k ∈Z 12121212
π2πππ
（C ）[k π-, k π+],k ∈Z （D ）[k π+, k π+],k ∈Z 6336
【答案】C
π
【解析】f (x ) =2sin(ωx +) ，由题设f (x ) 的周期为T =π，∴ω=2，6
πππππ
由2k π-≤2x +≤2k π+得，k π-≤x ≤k π+, k ∈z ，故选C
26236
4π
2．（全国卷Ⅰ理）如果函数y =3sin(2x +ϕ) 的图像关于点(,0) 中心对称，那么|ϕ| 的
3最小值为（C ）
（A ）
【答案】C
【解析】 函数y =3sin(2x +ϕ) 的图像关于点(
∴2⋅
4π
,0) 中心对称 3
ππππ
（B ） （C ） (D)
2364
4π4ππ
+φ=k π∴φ=k π-2⋅(k ∈Z ) 由此易得|φ|min =．故选C 333
3. （重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数f (x ) =sin(
πx π
πx
-) -2cos 2+1． 468
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称，求当x ∈[0,]时y =g (x ) 的最大值．
解：（Ⅰ）f (x ) =sin
4
3
π
4
x cos
π
6
-cos
π
4
x sin
π
6
-cos
π
4
x
π3πx -cos x 424
ππ
x -)
43
2π
故f (x ) 的最小正周期为T = =8
4
(Ⅱ) 因区间[0,]关于x = 1的对称区间为[, 2]，且y =g (x ) 与y =f (x ) 的图象关于
4323
x = 1对称，故y =g (x ) 在[0,]上的最大值为y =f (x ) 在[, 2]上的最大值 由（Ⅰ）知f (x
) 当
4323
π
x -) 43
π
2ππππ
≤x ≤2时，-≤-≤ 36436
4
因此y =g (x ) 在[0,]上的最大值为
3π
g max == .
62
题型三、图像的变换：
1．(湖南卷理) 将函数y =sin x 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π) 的单位后，得到函数
y =sin(x -
π
6
) 的图象，则ϕ等于（D ）
π5π7π11π
A ． B ． C. D.6666【答案】：D
【解析】解析由函数y =sin x 向左平移ϕ的单位得到y =sin(x +ϕ) 的图象，由条件知函
π
数y =sin(x +ϕ) 可化为函数y =sin(x -) ，易知比较各答案，只有
6
11ππ
y =sin(x +) =sin(x -) ，所以选D 项。
66
ππ
2．（全国卷Ⅱ文）若将函数y =tan(ωx +)(ω>0) 的图像向右平移个单位长度后，与
46
函数y =tan(ωx +
(A)
【答案】D
π
6
) 的图像重合，则ω的最小值为
1111
(B) (C) (D)2643
π⎫向右平移6个单位πππ⎫⎛⎛
【解析】y =tan ωx +⎪→y =tan[ω(x -) +]=ta n ωx +⎪
4⎭646⎭⎝⎝
πππ11
∴-ω+k π=∴ω=6k +(k ∈Z ) ，又 ω>0∴ωmin =．故选D 46622
π
3．(山东卷理) 将函数y =sin 2x 的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位, 所得图
4
象的函数解析式是( ) ．
π
y =1+sin(2x +) D ．y =cos 2x B ．A ．y =2cos 2x C ．y =2sin 2x
4
π
【答案】B
【解析】将函数y =si n 2x 的图象向左平移
ππ
(+) 个单位, 得到函数y =s i n 2x 即44
y =sin(2x +) =cos 2x 的图象, 再向上平移1个单位, 所得图象的函数解析式
2
为y =1+cos2x =2cos 2x , 故选B ．
π
，
题型四、三角恒等变换：
1．（辽宁卷文）已知tan θ=2，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=
4
（A ）-
3
（B ）
5
4
（C ）-
3 4
（D ）
4 5
【答案】D
sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ
【解析】sin θ+sin θcos θ-2cos θ=
sin 2θ+cos 2θ
tan 2θ+tan θ-24+2-24
== =2
tan θ+14+15
2
2
2．（福建卷理）函数f (x ) =sin x cos x 最小值是
11
A ．-1 B ． - C ． D ．1
22
【答案】B
11
【解析】∵f (x ) =sin 2x ∴f (x ) min =-．故选B
22
．
πx ππx
+1． 3．（重庆卷理）设函数f (x ) =sin(-) -2cos 2
468
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期．
4
（Ⅱ）若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称，求当x ∈[0,]时
3
y =g (x ) 的最大值．
πππππ
【解析】（Ⅰ）f (x ) =sin x cos -cos x sin -cos x
46464
πππ3π
x -
cos x x -)
43424
2π
故f (x ) 的最小正周期为T = =8
4
(Ⅱ) 在y =g (x ) 的图象上任取一点(x , g (x )) ，它关于x =1的对称点(2-x , g (x )) ．
由题设条件，点(2-x , g (x )) 在y =f (x ) 的图象上，从而
πππππππ
2x =3n [-x (-
]-x -]x +)
g (x ) =f (-
4324343
3πππ2π4时，≤x +≤，因此y =g (x ) 在区间[0,]上的最大值为 434333π
g m a = c s =32π
4．（重庆卷文）设函数f (x ) =(sinωx +cos ωx ) 2+2cos 2ωx (ω>0) 的最小正周期为．
3
（Ⅰ）求ω的最小正周期．
当0≤x ≤
（Ⅱ）若函数y =g (x ) 的图像是由y =f (x ) 的图像向右平移
π
个单位长度得到，求2
OIJ y =g (x ) 的单调增区间．
【解析】（Ⅰ）f (x ) =(sinωx +cos ωx ) 2+2cos 2ωx =sin 2ωx +cos 2ωx +sin 2ωx +1+
2cos2ωx
π
=sin 2ωx +cos 2ωx +2=ωx +) +2
4
2π2π3=依题意得，故ω的最小正周期为． 2ω32
ππ⎤5π⎡
（Ⅱ）依题意得:
g (x ) =⎢3(x -) +⎥+2=x -) +2
24⎦4⎣
π5ππ2π27π
≤2k π+(k ∈Z ) 解得k π+≤x ≤k π+(k ∈Z ) 由2k π-≤3x -
24234312
2π27π
](k ∈Z ) 故y =g (x ) 的单调增区间为: [k π+, k π+
34312
题型五、三角函数与解三角形综合：
AC
1．（湖南卷文）在锐角∆ABC 中，BC =1, B =2A , 则的值等于 2 ，
cos A
AC 的取值范围为
．
【解析】设∠A =θ, ⇒B =2θ. 由正弦定理得
AC BC AC AC
=, ∴=1⇒=2. sin 2θsin θ2cos θcos θ
由锐角∆ABC 得0
又0
，故30
，
∴AC =2cos θ∈
2．（浙江理）（本题满分14分）在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，且满
A 足cos =， AB ⋅AC =3．
2（I ）求∆ABC 的面积； （II ）若b +c =6，求a 的值．
34A 2A -1=,sin A =，又由AB ⋅AC =3，【解析】（I
）因为cos =，∴cos A =2cos
25525
1
得bc cos A =3, ∴bc =5，∴S ∆ABC =bc sin A =2
2
（II ）对于bc =5，又b +c =6，∴b =5, c =1或b =1, c =5，由余弦定理得
a 2=b 2+c 2-2bc cos A =
20，∴a =3．（安徽卷理）（本小题满分12分）
1
在∆ABC 中，sin(C -A ) =1, sin B =．
3
（I ）求sin A 的值；
(II)
设AC =∆ABC 的面积．
ππB πB B B
πB ，【解析】（Ⅰ）由C -A =，且C +A =-∴A =-，
∴n ， i s n (A i s =) n i 242422211C
∴sin 2A =(1-sin B ) =，又sin A >
0，∴sin A =
23AC BC
=（Ⅱ）如图，由正弦定理得
A
sin B sin A AC sin A =，又sin C =
sin(A +B ) =sin A cos B +
cos A sin B ∴BC ==
sin
B
111∴S ∆ABC =AC ⋅BC ⋅sin C ====33224．（江西卷理）（本小题满分12分）
△ABC
中，A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，tan C =（1）求A , C ；
（2）若S ∆ABC =3求a , c ． 【解析】(1) 因为tan C =
sin A +sin B sin C sin A +sin B
=，即，
cos A +cos B cos C cos A +cos B
sin A +sin B
, sin(B -A ) =cos C ．
cos A +cos B
B
所以sin C cos A +sin C cos B =cos C sin A +cos C sin B ， 即 sin C cos A -cos C sin A =cos C sin B -sin C cos B ，
得 sin(C -A ) =sin(B -C ) ，所以C -A =B -C , 或C -A =π-(B -C ) (不成立) ．
π2π
即 2C =A +B , 得C =，所以．B +A =
331π5π
又因为sin(B -
A ) =cos
C =，则B -A =，或B -A =（舍去）
266
π5π得A =, B =
412
a c
1===3+
，又(2)S ∆ABC =ac sin B =, 即 ，sin A sin C 2
得a =c =
题型六、三角函数与向量综合： 1．(广东卷文) （本小题满分12分）
π
已知向量a =(sinθ, -2) 与b =(1, cos θ) 互相垂直，其中θ∈(0, )
2（1）求sin θ和cos θ的值
（2）若5cos(θ-ϕ) =35cos ϕ，0
π
, 求cos ϕ的值 2
v v v v
【解析】（１）Q a ⊥b , ∴a g b =sin θ-2cos θ=0, 即sin θ=2cos θ
14
又∵sin 2θ+cos 2θ=1, ∴4cos 2θ+cos 2θ=1, 即cos 2θ=, ∴sin 2θ=
55
π又θ∈(0,) ∴sin θ=
, cos θ=
2(2) ∵5cos(θ-ϕ) =
5(cosθcos ϕ+sin θsin ϕ) =
ϕ+ϕ=θ
1
s =s ϕi n ∴c o ϕ , ∴cos 2ϕ=sin 2ϕ=1-cos 2ϕ , 即cos 2ϕ=
2
π 又 0
∴cos ϕ=
22
2．（江苏卷）（本小题满分14分）
设向量a =(4cosα,sin α), b =(sinβ,4cos β), c =(cosβ, -4sin β)
（1）若a 与b -2c 垂直，求tan(α+β) 的值；
（2）求|b +c |的最大值;
（3）若tan αtan β=16，求证：a ∥b ．【解析】
(1由) a 与b -c 2垂直a , ⋅b -(c 2=a ) ⋅b -a ⋅c 2= 即
4s i n α(+β-) (2b ) +c =
2
) ) ,
2
8αc o +s β(=) α0+, βt a =n (
4s i n
2;
2
β3+2c o s βs i n
(s βi n +βc o s β, 4-c o s β
b +c =s 2i βn +2βs i n β+c o s 2β+c o s β-16c o s β
=17-30sin βcos β=17-15sin 2β, 最大值为32, 所以b +c 的最大值为(3)由tan αtan β=16得sin αsin β=16cos αcos β, 即4cos α⋅4cos β-sin αsin β=0, ∴a //b
16s i n