第四章,第一节:不定积分的概念与性质

第四章，第一节：不定积分的概念与性质

教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。 教学重点：原函数与不定积分的概念。 教学难点：原函数的求法。 教学内容：

一、原函数与不定积分

定义1 如果对任一xI，都有

F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。 [ln(x1x2)

1x

2

，即ln(xx2)是

1x

2

的原函数。

原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。 注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。

注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即

F(x)G(x)C （C为常数）

注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。

如果F(x)为f(x)的一个原函数，则 例1． 因为 (



x

3

f(x)dxF(x)C

，（C为任意常数）

ds

x

3

3

)x， 得

2

x

2

3

C

1x

1x

例2． 因为，x0时，(lnx) (ln|x|)

1x

1x

；x0时，[ln(x)]

(x)

，得

，因此有

xdx

1

ln|x|C

例3． 设曲线过点(1,2)，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲

线的方程。

解：设曲线方程为yf(x)，其上任一点(x,y)处切线的斜率为从而

y

dydx

2x

2xdx

xC

2

由y(1)2，得C1，因此所求曲线方程为 yx21

由原函数与不定积分的概念可得： 1)

ddx



f(x)dxf(x)

2) df(x)dxf(x)dx 3) 4) 5)

F(x)dx

F(x)C

dF(x)F(x)C

dxkdx

xC

二、积分公式

1) 2) 3)

kxC

(k为常数)

C (1)

x



dx

x

1

1

dxx

ln|x|C

4) dx

1x

2

arctanxC

5) 

dxarcsinxC

x

2

6) cosxdxsinxC

7) sinxdxcosxC

8) dx

cos2

xsec2

xdxtanxC

9)

dx

sin

x



csc

2

2

xdxcotxC

10) secxtanxdxsecxC 11) cscxcotxdxcscxC 12) exdxexC x

13) ax

dx

a

lna

C

14) sinhxdxcoshxC 15) coshxdxsinhxC

5

例4．x2xdxx2dx27

7

x2C

三、不定积分的性质

性质1．[f(x)g(x)]dx



f(x)dx

g(x)dx

性质2．kf(x)dxkf(x)dx， （k为常数，例5． 求 

x(x2

5)dx

解：

k0）

51



x(x5)dx

2

(x

5

2

5x2)dx

1

  

3

x

2727

2

dx5x2dx103

3

7

x2x

3

x2C103

xxC

x

例6． 求 解：



(x1)x

2



(x1)x

2

3





x3x3x1

x

2

32

dx)dx

  

(x3

27x2

7

3x



3

1x

2

x2

2

103

x2C

1xC

3x3ln|x|

x

x

例7． 求 解：

(e3cosx2e)dx

x

x

x

x

(e3cosx2e)dx

edx3cosxdx

x

x

(2e)dx

C

x

e3sinx

x

(2e)

x

ln(2e)(2e)

x

e3sinx1xx

22

1ln2

C

例8．求 解：



x(1x)



1xx

2

2

x(1x)

dx



(1x)xx(1x)1dx

1

2

2



x1x

2

ln|x|arctanxC

例9． 求 解：

tan

2

2

xdx

tan

xdx

(sec

2

x1)dx

sec2xdxdx

tanxxC

x

例10．求 sin2dx

2

解：

sin

2

x2

dx



1cosx

21dx

1

d x





2

12

cosx2

(xsinx)C

小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几

个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用

作业：（同济大学第四版）P236: 1(4), (12), (13), (16), (18), (20), (23), (26); 2

第四章，第二节：换元积分法

教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法。 教学重点：不定积分的第一类换元法。 教学难点：不定积分的第二类换元法。 教学内容：

一、第一类换元积分法

设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 如果 u(x)，且(x)可微，则

ddx

F[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x)



f(u)duF(u)C

即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或

f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]

u(x)

因此有

定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则

f[(x)](x)dx[f(u)du]

u(x)

(2-1)

公式(2-1)称为第一类换元积分公式。

例1． 求

2cos2xdx

解：2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd2xsin2xC 例2． 求 解：

132x

32xdx

dx

12

2

1

32x

1

(32x)dx

12

32x

1

d(32x)

12

ln|32x|C

例3． 求 (2xexxx2tanx)dx 解：原式=2xexdxxx2dx



2

cosx

2

sinx

edx

x

2

x

2

2



12

1

2

(1x)d(1x)3

2

cosxcosx

1

e

13

(1x)2ln|cosx|C

2

例4． 求 解：

1

a

2

1

2

x

2

dx

，

11()

a

x

2

ax

2

dx

1a

2



dx

1a



1x2

1()

a

x1xd()arctanC aaa

例5． 求 解：

1xa

2

2

1xadx

2

2

dx1

1xa



1xa

)dx

2a

(

[



12a12a12a

1xa

d(xa)

xad(xa)]

1





[ln|xa|ln|xa|]Cln|

xaxa

|C

例6． 求 [解： [

1x(12lnx)

1x



1x

3

x

e

3x

]dx

1x(12lnx)

e]dx

x(12lnx)

112

1

dx



1x

e

3x

dx





212ln

1

x

d(12lnx)

23e

3

x

2

e

3

3x

d3x

ln|12lnx|C

2

例7． 求 cosxdx

解： cos2xdx 



1cos2x

2x14

dx

12

[dxx2

cos2xdx]

14

sin2xC

2

cos2xd2x

例8． 求 secxdx 解： secxdx



cosxdx

1



1sin(x

2

d(x)

2

)

)cot(x

ln|cos(x

2

2

)|Cln|secxtanx|C

二、 第二类换元积分法

定理2 设x(t)是单调的可导函数，且(t)0，又设 f[(t)](t) 具有原函数，则

(2-2)

其中t(x)为x(t)的反函数。

公式(2-2)称为第二类换元积分公式。 例9． 求



f(x)dx

f[(t)](t)dt

t(x)



axdx

22

， (a0)

t

解：令 xasint，

ax

2

2



2



2

，则

acost，dxacostdt，因此有

2



axdx

2

acostacostdt

2

a a

cos

2

tdt

dt

2

1cos2t

2aa

2





aa

2

2

2

tt

4

2

sin2tCsintcostCxaxa

a12

2

2aa

2

2

 

2

2

arcsinarcsin



xaxa

2

2

22

2a

C

2

xaxC

例10． 求



dxax

2

2

，(a0)



2t

解：令 xatant，

ax

2

2



2

，则

2

asect，dxasectdt，因此有



dxax

2

2



asectsectdt

1

asectdt

2



2

ln|secttant|C ln|

axa

2



xa

|Cln|xxa

22

|C1

其中C1Clna。用类似方法可得

例11． 求 解：

x

dx

dxxa

dx

2

22

ln|xxa

22

|C

2x3



1

2

x

2

2x3

x

2x12

dx

d(x1)





(x1)

1

1

2

(2)

2

x1

arctC22

小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一

类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即xasint或xacost，xatant与xasect，分别适用于三类函

数f(a2x2)，f(x2a2)与f(x2a2)。“倒代换”x二类换元法。

作业：(同济大学第四版) P253.2(4), (10), (14), (19), (22), (25), (32), (33), (35), (38),

(39), (40)

1t

也属于第

第四章第三节：分部积分法

教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。 教学重点：不定积分的分部积分法。 教学难点：分部积分法中u与dv的选取。 教学内容：

设 uu(x)，vv(x)，则有 (uv)uvuv 或

d(uv)vduudv 两端求不定积分，得

(uv)dxvudxuvdx 或

d(uv)vduudv

即

udvuvvdu 或

uvdxuvvudx 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。例1． 求 xcosxdx

解：

xcosxdx



xdsinx

xsinxsinxdx

xsinxcosxC

例2． 求 

x2ex

dx

解：

x

2

ex

dx

x

2

de

x

(3-1) (3-2)

xe

2

x

2x

edx

xx

x2

xe2xedxxe2(xexe2xe

2

x

x

2

x

xx



edx)

2eC

注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂

函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u，其余部分取为dv。 例3． 求 解：

xln

xdx1

xdx

2



xlnxdx

ln

2

11



x2x2

2

lnxlnx

x

2

dlnx



2

xdx

1212xlnxxC2212

xlnxxdx12

2

14

xC

2

例4． 求 解：

xarctan



xarctaxndx

arctaxndx

2

2



1

x

2

arctaxn



xdarctaxnx

2

2



12

xarctaxn2

12

xarctaxn212



dx1x2

(1

)dx21x

1

x

2

arctaxnxarctaxnC



注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为u，其余部

分取为dv。

例5． 求 exsinxdx

解： exsinxdxsinxdex

esinxesinx

x

x

edsinxecosxdx

xx

x

exsinxcosxdex

esinx(ecosxesinxecosx

x

x

x

edcosx)

x

x

esinxdx

因此得

2exsinxdxex(sinxcosx) 即

exsinxdx 例6． 求 e

解： 令

xt

x

12

e(sinxcosx)C

x

dx

，则 xt2，dx2tdt，因此

e

x

dx

e2tdt

t

t

2tedt 2tee 2e

x



tt

C

(x1)C

小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分

部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。

作业：(同济大学第四版) P258, 5, 6, 9, 11, 16, 18, 19, 21, 22

第四章，第四节：几种特殊类型函数的积分

教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分。

教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。 教学内容：

一、有理函数的积分

形如

P(x)Q(x)



a0xa1xb0x

mn

n1m1

an1xanbm1xam

b1x

(4-1)

称为有理函数。其中a0,a1,a2,,an及b0,b1,b2,,bm为常数，且a00，b00。

如果分子多项式P(x)的次数n小于分母多项式Q(x)的次数m，称分式为真分式；如果分子多项式P(x)的次数n大于分母多项式Q(x)的次数m，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如：

xx1x1

23

x

1x1

2

因此，我们仅讨论真分式的积分。

根据多项式理论，任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积，即

Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs) (4-2) 其中p24q0,,r24s0。

如果(4-1)的分母多项式分解为(4-2)式，则(4-1)式可分解为

P(x)Q(x)



A1(xa)





A2(xa)

1



A(xa)

  

 1

(xb)(xb)(xb)

B1

B2

B

MxNMxN1M2xN2

 21212

(xpxq)(xpxq)(xpxq)

  

RxSR1xNS1R2xS2

 2212

(xrxs)(xrxs)(xrxs)

(4-3)

例1． 求 解：因为 得

x

x3

2

5x6

dx

x3x5x6

2



x3(x2)(x3)



5x2



6x3

x

x3

2

5x6

dx

65

dxx2x3



1x-2

dx6

1x3

dx

5

x2

2

-5ln|x-2|6ln|x3|C

例2． 求

x

2x3

dx

解：由于分母已为二次质因式，分子可写为 x2得

1

12

(2x2)3

x

x2

2

2x3

dx



121212

2

(2x2)3x2x3

2

dxdx3332

dxx2x3

d(x1)(x1)(2)arctan

x12C

2

2

2

 

x

2x2

2

2x3

22

d(x2x3)x2x3

2



1

ln(x2x3)

例3． 求

(12x)(1x

2

)

dx

解：根据分解式(4-3)，计算得

4

1

(12x)(1x)

2



5



12x



2

55

2

1x

x

1

因此得

4

1

5

2

55

dx2

1x151x

1

x

1

(12x)(1x

2

)

dx

12x

25225

  

12x

1

2

dx



2x

2

dx1

1

51x

2



1

2

dx

2

1

512x

d(12x)

15

51x

2

d(1x)

51x

1

2

dx

ln|12x|ln(1x)

15

arctanxC

二、三角函数有理式的积分

如果R(u,v)为关于u,v的有理式，则R(sinx,cosx)称为三角函数有理式。我们不深入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。

例4． 求

sin

1sinxx(1cosx)

dx

x2

解：如果作变量代换 utan sinx因此得

1sinxx(1cosx)

2u1u

2

，可得

1u1u

22

，cosx，dx

21u

2

du

sin

dx



121214

)221u

du22

2u1u1u

(1)22

1u1u

(1

2u



 

(u2

(u

2

1u

)du

2

2

2uln|u|)Cx2tan

x212ln|tan

x2|C

tan

三、简单无理式的积分

例5． 求

1

dx

3

x2

，dx3u2du，代入得

解：令

3

x2u，得 xu32

1

dx

x2



1udu

u111u

2

3u

2

3

1)du

3(u1

3( 

32

1u

u

2

2

uln|1u|)C

2

(x2)

3x23ln|1

x2|C

例6． 求

(1

dx

x)x

解： 令 xt6，得 dx6t5dt，代入得

(1

dx

x)x



(1t

t

2

6tdt

2

5

)t1

3

6

1t

2

6(1

1t

2

)dt

6(tarctant)C 6(xarctan

x)C

小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无

理式的积分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分

方法。

作业：（同济大学第四版）P268, 2, 6, 7, 12, 15, 17, 20, 22.