三角函数
任意角三角函数
任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是(x , y )，它与原点的距离是r (r >0) ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是
sin α=
y x y x r r
, cos α=, tan α=, cot α=, sec α=, csc α=. 这六个函数统称为三r r x y x y
角函数.
三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
三、经典例题导讲 （1）[例1]填入不等号： （5）
。
（2）；；3） tan320_______0（
；
[例2] 若A 、B 、C 是∆ABC 的三个内角，且A
π
) ，则下列结论中正确的个数2
是（ ）
①. sin A
[例3] 若角α满足条件sin 2α
[例5]已知α是第三象限角，化简
1+sin -sin -
1-sin α1+sin α
三角函数基本关系式与诱导公式
平方关系：
sin 2α+cos 2α=1；商数关系：tan α=
三角函数的诱导公式：
sin α
；倒数关系：tan α⋅cot α=1 cos α
(1)sin (2k π+α)=sin α，cos (2k π+α)=cos α，tan (2k π+α)=tan α(k ∈Z)． (2)sin (π+α)=-sin α，cos (π+α)=-cos α，tan (π+α)=tan α． (3)sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α，tan (-α)=-tan α． (4)sin (π-α)=sin α，cos (π-α)=-cos α，tan (π-α)=-tan α．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
(5)sin ⎛
⎫⎛π⎫
-α⎪=cos α，cos -α⎪=sin α． ⎝2⎭⎝2⎭⎫⎛π⎫
+α⎪=cos α，cos +α⎪=-sin α． ⎝2⎭⎝2⎭
1
，θ∈（0，π），则cot θ=__________ 5
π
(6)sin ⎛
π
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． [例1]已知sin θ+cos θ=[例2]求证：（1）sin （
（2）cos （
[例3]若函数f (x ) =
3π
－α）=－cos α； 2
3π
+α）=sinα． 2
1+cos 2x 4+x )
2
x x
-a sin cos(π-) 的最大值为2，试确定常数a 的值.
22
[例4]化简：
+2sin 290︒cos 430︒
．
sin 250︒+cos 790︒
三角函数的恒等变换
1. 两角和、差、倍、半公式 两角和与差的三角函数公式
sin(α±β) =sin α+sin β±cos αsin β
α(±β) =c o αs c o βs s i n αs i n β c o s
t a n α(±β) =
t a αn ±t a n β
1 t a αn t a n β
二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α
2
2
2
2
tan 2α=
半角公式
2tan α
2
1-tan α
1-cos α1+c o s α1-cos α2α2α= ， c o s = ， tan 222221+cos ααsin α1-cos α
= tan =
21+cos αsin α
sin
2
α
=
[例1] 13.
已知sin
θ
2
+cos
θ
2
=
那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 ; 35
，sinB=，则cosC 的值为（ ）
513
1656165616 A. B. C. 或 D. -
6565656565
[例2] △ABC 中，已知cosA=
︒-3)
[例3]
求值：
1
2
4cos 12︒
-2
[例4]已知函数f (x ) =a (cosx +sin x cos x ) +b （1）当a >0时，求f (x ) 的单调递增区间； （2）当a
2
π
2
]时，f (x ) 的值域是[3,4],求a , b 的值.
三角函数的图像与性质
y =A sin(ωx +ϕ) +B (A ≠0, ω>0) 中，A , B , ω及ϕ，对正弦函数y =sin x 图像的影响，
应记住图像变换是对自变量而言.
πππ
个单位，应得y =sin 2(x -) ，而不是y =sin(2x +) 用“五点666
π3π
, 2π来法”作y =A sin(ωx +ϕ) (A ≠0, ω>0) 图时，将ωx +ϕ看作整体，取0, ，π,
22
求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.
y =sin 2x 向右平移
y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 单调性的确定，基本方法是将ωx +ϕ看作整体，如求增
区间可由2k π-
π
2
≤ωx +ϕ≤2k π+
π
2
(k ∈z ) 解出x 的范围. 若x 的系数为负数，通常先
通过诱导公式处理.
[例1] 为了得到函数y =sin 2x -
⎛⎝
π⎫
⎪的图像，可以将函数y =cos 2x 的图像（ ） 6⎭
A 向右平移
л
) 的图像 ( ) 4
лллл
A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移
8844
[例2]要得到y=sin2x的图像, 只需将y=cos(2x-[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+称的三角函数有（
A ．1 [例4]函数y =2sin(A. [0,
）个. B ．2
ππππ B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移6363
ππ
), 其中以点(,0) 为中心对44
C ．3 D ．4
π
6
-2x )(x ∈[0, π])为增函数的区间是 ( )
π
] 3
B. [
π
12
,
7π
] 12
2
C. [
π
3
,
5π] 6
D. [
5π
, π] 6
π
[例5]已知定义在区间[-π, π]上的函数
y 3
π2x ∈[-, π]时，函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ) (A >63其图像如图所示. x 2 （1）求函数y =f (x ) 在[-π, π]3
（2）求方程f (x ) =
2
的解. 2
解三角形及三角函数的应用
解三角形的的常用定理:
(1) 内角和定理:A +B +C =π结合诱导公式可减少角的个数.
a b c
===2R （R 指△ABC 外接圆的半径） sin A sin B sin C 111
(S =ab sin C =bc sin A =ac sin B )
222
(2) 正弦定理:
(3) 余弦定理: a 2+b 2-2ab cos C =c 2及其变形. (4) 勾股定理: Rt ∆ABC 中a +b =c
[例1]在∆ABC 中，已知a =80，b =100，∠A =450，试判断此三角形的解的情况。
[例2]在∆ABC
中，已知a
=c B =600，求b 及A
[例3]在∆ABC 中，A =600，b =
1
2
2
2
a +b +c 的值
sin A +sin B +sin C
[例4]如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
[例5]如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B, 然后从B 出发, 沿北偏东32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C. 如果下次航行直接从A 出发到达C, 此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离?(角度精确到0.1, 距离精确到
0.01n mile)
︒
︒
︒