勾股定理基础和例题应用(含解答)

第17章 勾股定理

点击一：勾股定理

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2 = c2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．

因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：

（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；

（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；

（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理

拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．

如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．

如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×

1

ab = 2ab．

2

（2）

（3）

由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2 =（b－a）2＋2ab，则a2＋b2 = c2问题得证．

请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数

将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用

直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边，S为面积，于是有：

1

(ab)2a22abb2，a2b2c2，2ab4ab4S，

2

1

所以(ab)2c24S.即S[(ab)2c2].

4

也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用

该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．

如图2，在RtABC中,C900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2, 点击六：勾股定理的应用

（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．

（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、、的点，即作出长为n的线段． 针对练习:

1．下列说法正确的是（ ）

A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2

C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，则a2＋b2＝c2

A

D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，C90，则a2＋b2＝c2

2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A．斜边长为25 B．三角形周长为25

C．斜边长为5 D．三角形面积为20

3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

4．如图，数轴上的点A所表示的数为x

，则x2—10的立方根为（ ）

A．．．2 D．-2

5．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A． 2倍

B． 4倍

C． 6倍

D． 8倍

6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm

7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33

8．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） （Ａ）4

（Ｄ）55

（Ｂ）6

（Ｃ）16

l

9.已知直角三角形的周长为21，求它的面积.

10.

直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.

11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于 17cm，求CD的长.

类型之一：勾股定理

例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．

解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．

解：由勾股定理，得

13－5=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是

1

×12×5 = 30（cm2）． 2

2

2

B

例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( )

A．a B．(12)a C．3a D．a 解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．

解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a．

根据勾股定理得AB(2a)a5aa. 故选D．

类型之二：在数轴上表示无理数

例3

：在数轴上作出表示

2

2

2

A

图3⑴

B

A

C

图3⑵

出两直角边的长度后即可在数轴上作出．

解：

3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，

线段即可．

下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用

例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=„„=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．

解：2；；2；；6；7

；

22；3；这8条线段的长的乘积是72

例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么ab的值为（ ）

2

（A）13 （B）19 （C）25 （D）169

解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a2+b2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.

∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25. 因此，选C.

说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：

它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用 （一）求边长

例1： 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长. .

（二）求面积

例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积） ①观察图1－1.

正方形A中含有__________个小方格， 即A的面积是__________个单位面积； 正方形B中含有__________个小方格， 即B的面积是__________个单位面积；

正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积. ②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？

③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （2）做一做：

①观察图1－3、图1－4，并填写下表：

②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ （3）议一议：

①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ ②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？

解析： 注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案： ①9 9 9 9 18 18；

②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；

③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C. （2）①答案：

②答案：

.

（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）

；

②，

③成立. （三）作线段 例3 作长为

、

、

的线段．

.

解析： 作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）； 2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；

3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是

、

、

、

．

证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中， ∵AB>0， ∴AB=

．

其他同理可证．

点评 证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件. （五）实际应用

例5： 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.

（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

解析 （1）由点A作AD⊥BC于D， 则AD就为城市A距台风中心的最短距离 在Rt△ABD中，∠B=30º，AB＝220，

1

∴AD=AB=110.

2

由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响． 故该城市会受到这次台风的影响．

（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，

将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时， 该城市都会受到这次台风的影响.

由勾股定理得 ∴EF＝2DE＝60.

因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，

所以这次台风影响该城市的持续时间为

4小时. 15

11020

（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．

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