第4讲 函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象及应用
知 识 梳 理
1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.
一个周期内的图象．
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx＋φ) 在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象的两种途径
3．函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的物理意义
2π
当函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞) 表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝ω1
做周期，f ＝ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
T
辨 析 感 悟
1．对图象变换的认识
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样．
ππ⎛2x － (2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移3个单位，得到y ＝sin 的图象． 3⎝⎭
(3)(2013·湖北卷改编) 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0) 个单位长度π
后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是62．对函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ) 性质的认识
(4)函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ≠0) 的最大值为A ，最小值为－A .
(5)函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ) 的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．
*
⎛π⎫
(6))若函数y ＝cos ωx(ω∈N ) 的一个对称中心是 6，0⎪，则ω的最小值为3.
⎝⎭
考点一 函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象画法与变换
π⎛
【例1】 (1)已知f (x ) ＝sin ωx＋3(ω＞0) 的图象与y ＝－1的图象的相邻两交点间的距离为
⎝⎭π，要得到y ＝f (x ) 的图象，只需把y ＝cos 2x 的图象
( ) ．
ππ
A ．向左平移12个单位 B ．向右平移12 5π5π
C ．向左平移12 D ．向右平移12 π⎫⎛
(2)已知函数y ＝2sin 2x ＋3⎪.
⎝⎭
①求它的振幅、周期、初相；
②用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
π⎛
③说明y ＝2sin 2x ＋3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．
⎝⎭
π
【训练1】 (1)将函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0) 的图象向左平移2的图象与函数y ＝f (x ) 的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是
( ) ．
A ．2 B ．4 C ．6 D ．
10
π3⎛⎫⎛π⎫
(2)设函数f (x ) ＝cos(ωx＋φ) ω＞0，－2φ＜0⎪的最小正周期为π，且f 4⎪＝2.
⎝⎭⎝⎭①求ω和φ的值；
②在给定坐标系中作出函数f (x ) 在[0，π]上的图象．
考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的解析式
【例2】 函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象 如图所示，则函数f (x ) 的解析式为
________．
ππ
【训练2】 函数f (x ) ＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－2
ππ
A ．2，－3 B ．2，－6ππ
C ．4，－6 D ．4，3
考点三 函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的性质应用
π
【例3】 已知函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0
2π
π，直线x ＝6是其图象的一条对称轴． (1)求函数f (x ) 的解析式；
π⎛π⎛
(2)求函数g (x ) ＝f x －12－f x ＋12的单调递增区间．
⎝⎭⎝⎭
【训练3】 已知函数f (x ) ＝3sin(ωx＋φ) －cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0) 为偶函数，且函数π
y ＝f (x ) 图象的两相邻对称轴间的距离为2⎛π(1)求f 8的值；
⎝⎭
⎛π(2)求函数y ＝f (x ) ＋f x ＋4的最大值及对应的x 的值．
⎝⎭
( ) ．
易错辨析5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误
π
【典例】 将函数y ＝sin(2x ＋φ) 的图象沿x 轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为
( ) ．
3ππ3ππA. 4 B. 4 C. 8 D 4
【自主体验】
π
将函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向左平移4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是 ( ) ．
A ．y ＝cos 2x ＋sin 2x C ．y ＝sin 2x －cos 2x
B ．y ＝cos 2x －sin 2x D ．y ＝sin x cos x
基础巩固题组
一、选择题
1⎛π1．把函数y ＝sin x ＋6图象上各点的横坐标缩短到原来的2纵坐标不变) ，再将图象向右
⎝⎭π
平移3( ) ． ππππ
A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．x ＝8 D ．x ＝42．如果函数f (x ) ＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x ) 取得最大值，
那么( ) ．
A ．T ＝2，θ＝π
2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π
2
3．已知函数y ＝A sin(ωx＋φ) ＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线x ＝π
23是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) ． A ．y ＝4sin ⎛ π⎛
π⎝4x ＋6⎭ B ．y ＝2sin ⎝2x ＋3⎭＋2
C ．y ＝2sin ⎛ ⎝4x ＋π3⎭＋2 D ．y ＝2sin ⎛
π⎝4x ＋6⎭
＋2
4．函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ) ⎛ ⎝|φ|＜π2⎫⎪⎭π⎡
⎢π6个单位后是奇函数，则函数f (x ) 在⎣0，2⎦上的最
小值为( ) ．
A ．－3 B ．－113
22 C. 2 D. 25．如图是函数y ＝sin(ωx＋φ) ⎛ ⎝ω＞0，0＜φ＜π2⎫⎪⎡π5π⎤
⎭在区间⎢⎣6，6⎥⎦上的图象，将该图象向右平移m (m ＞0) 个单位后，所得图象关于直线x ＝π
4m 的最小值为( ) ． A. π B. πππ126 4 D. 3二、填空题
6. 函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0) 在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，
则ω＝________.
7．已知函数y ＝g (x ) 的图象由f (x ) ＝sin 2x 的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则
φ＝
________.
π⎫⎛
8．设函数f (x ) ＝sin 2x ＋6⎪，则下列命题：
⎝⎭
π⎛π⎫
①f (x ) 的图象关于直线x 3对称；②f (x ) 的图象关于点 60⎪对称；③f (x ) 的最小正周期为π，
⎝⎭ππ⎡
且在⎢0，12上为增函数；④把f (x ) 的图象向右平移12
⎣⎦其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上) ． 三、解答题
π⎛
其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜ 9．已知函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ) 的周期为π，且图象上有一个2⎝⎭⎛2π⎫
最低点为M 33⎪.
⎝⎭(1)求f (x ) 的解析式；
3
(2)求使f (x ) ＜2x 的取值集合．
10．已知函数f (x ) ＝23sin x cos x ＋2sin 2 x －1，x ∈R . (1)求函数f (x ) 的最小正周期和单调递增区间；
1
(2)将函数y ＝f (x ) 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的2π⎡ππ图象向左平移6y ＝g (x ) 的图象，求函数y ＝g (x ) 在区间⎢－612上
⎣⎦的值域．
能力提升题组
一、选择题
⎪sin 2x cos 2x ⎪π⎪a 1 a 2⎪
⎪＝a 1a 4－a 2a 3，⎪，1．定义⎪若函数f (x ) ＝⎪则将f (x ) 的图象向右平移3个
⎪a 3 a 4⎪⎪1 3⎪单位所得曲线的一条对称轴的方程是( ) ． πππ
A ．x ＝6 B ．x ＝4 C ．x ＝2 D ．x ＝π
2．函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0) 的部分图象如图所示，下列结论：
①最小正周期为π；
π
②将f (x ) 的图象向左平移6个单位，所得到的函数是偶函数； ③f (0)＝1； ⎛12π⎛14π⎫④f 11＜f 13⎪； ⎝⎭⎝⎭⎛5π⎫
⑤f (x ) ＝－f 3x ⎪.
⎝⎭其中正确的是( ) ． A ．①②③ B ．②③④ C ．①④⑤ D ．②③⑤ 二、填空题
ππ⎫⎛
ω＞0，－≤φ≤ 3．已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ) 的图象上的两个相邻的最高点和最低点22⎪⎝⎭1⎛
的距离为2，且过点 2，－2，则函数解析式f (x ) ＝________.
⎝⎭三、解答题
4．已知函数f (x ) ＝3sin ωx·cos ωx＋ 1π
cos 2ωx－2ω＞0) ，其最小正周期为2. (1)求f (x ) 的表达式；
π
(2)将函数f (x ) 的图象向右平移8再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐π⎡
标不变) ，得到函数y ＝g (x ) 的图象，若关于x 的方程g (x ) ＋k ＝0在区间⎢0，2上有且只有
一个实数解，求实数k 的取值范围．
三角函数及三角函数的图象与性质 一、选择题
1．若角α的终边经过点P (1，－2) ，则tan 2α的值为( ) ． A ．－43 B. 43 C. 34 D ．－3
42．函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x ) 是( ) ．
A ．奇函数且在⎡⎢⎣0，π2⎦上单调递增 B ．奇函数且在⎡⎢π⎤
⎣2π⎥⎦上单调递增C ．偶函数且在⎡⎢π⎡⎣0，⎦上单调递增 D ．偶函数且在⎢π2⎣2π⎤
⎥⎦上单调递增3．) 函数f (x ) ＝sin x sin ⎛ π⎝x ＋2⎭的最小正周期为( ) ．
A ．4π B ．2π C ．π D. π
2
4．要得到函数y ＝sin ⎛
⎝2x －π4⎭的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( A ．向左平移π B ．向右平移π
4单位4 C ．向右平移π D ．向左平移π
88 5.
⎣⎦) ．
已知f (x ) ＝2sin(ωx ＋φ) 的部分图象如图所示，则f (x ) 的表达式为( ) ． ⎛3π⎛35πA ．f (x ) ＝2sin 2＋4 B ．f (x ) ＝2sin 2＋4
⎝⎭⎝⎭⎛42π⎛425⎫
C ．f (x ) ＝2sin 3＋9 D ．f (x ) ＝2sin 3＋18⎪
⎝⎭⎝⎭
ππ⎛
6．将函数f (x ) ＝3sin 4x ＋6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6⎝⎭位长度，得到函数y ＝g (x ) 的图象，则y ＝g (x ) 图象的一条对称轴是( ) ． πππ2π
A ．x ＝12 B ．x ＝6C ．x ＝3 D ．x ＝3
7．已知函数f (x ) 3sin ωx＋cos ωx(ω＞0) ，y ＝f (x ) 的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x ) 的单调递增区间是( ) ．
π5π⎤5π11π⎡⎡
A. ⎢k π－12k π＋12⎥，k ∈Z B. ⎢k π＋12k π＋12，k ∈Z ⎣⎦⎣⎦ππ⎤π2π⎡⎡
C. ⎢k π－3，k π＋6⎥，k ∈Z D. ⎢k π＋6k π＋3，k ∈Z ⎣⎦⎣⎦
π⎛
2x ＋8．设函数f (x ) ＝|sin |，则下列关于函数f (x ) 的说法中正确的是( ) ． 3⎝⎭A ．f (x ) 是偶函数 B ．f (x ) 的最小正周期为π
⎛π⎫⎡π7πC ．f (x ) 的图象关于点 －60⎪对称 D ．f (x ) 在区间⎢312上是增函数
⎝⎭⎣⎦
πx ＋9．函数y ＝cos 4的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a ＞0) ，所得图象关于y 轴对称，⎝⎭
2⎛
则a 的最小值为( ) ． 3πππ
A ．π B. 4 C. 2 4
π
10．已知函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2的图象在y 轴上的截距为1，在相邻3⎛⎫
两最值点(x 0, 2) ， x 0＋2，－2⎪(x 0＞0) 上f (x ) 分别取得最大值和最小值．若函数g (x ) ＝af (x )
⎝⎭＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为( ) ．
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
二、填空题
11．函数y ＝sin(x ＋10°) ＋cos(x ＋40°)(x ∈R ) 的最大值＝________.
12.
π⎛如图所示的是函数y ＝A sin(ωx＋φ) A ＞0，ω＞0，|φ|＜2图象的一部分，则其函数解析式⎝⎭
是________．
13．已知函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象与直线y ＝b (0＜b ＜A ) 的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x ) 的单调递增区间是________．
14．下面有五个命题：
①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.
②终边在y ⎧⎪⎪k π轴上的角的集合是⎨α⎪α＝2k ∈Z ⎪⎩⎪ ⎫⎪⎬. ⎪⎭
③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点．
ππ⎛④把函数y ＝3sin 2x ＋3的图象向右平移6个单位得到y ＝3sin 2x 的图象． ⎝⎭
⎛π⑤函数y ＝sin x －2在(0，π)上是减函数． ⎝⎭
其中真命题的序号是________．
三、解答题
π⎡15．设向量a ＝3sin x ，sin x ) ，b ＝(cos x ，sin x ) ，x ∈⎢0，2. ⎣⎦
(1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x ) ＝a ·b ，求f (x ) 的最大值．
16．已知函数f (x ) ＝1＋sin x cos x .
(1)求函数f (x ) 的最小正周期和单调递减区间；
(2)若tan x ＝2，求f (x ) 的值．
17．已知函数f (x ) ＝m sin x ＋2m －1cos x .
(1)若m ＝2，f (α) ＝3，求cos α；
π⎡(2)若f (x ) 的最小值为－2，求f (x ) 在⎢－π，6上的值域． ⎣⎦
⎛π18．已知m ＝(a sin x ，cos x ) ，n ＝(sin x ，b sin x ) ，其中a ，b ，x ∈R . 若f (x ) ＝m ·n 满足f 6⎝⎭
π＝2，且f (x ) 的导函数f ′(x ) 的图象关于直线x ＝12对称．
(1)求a ，b 的值；
π⎡(2)若关于x 的方程f (x ) ＋log 2k ＝0在区间⎢0，2上总有实数解，求实数k 的取值范围． ⎣⎦