高三数学复习——对数与对数函数
一、考纲要求:
1. 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2. 理解对数函数的概念, 理解对数函数的单调性, 掌握对数函数图象通过的特殊点, 会画底数为2,10, 对数函数的图象.
3. 了解指数函数y =a x (a >0, a ≠1) 与对数函数y =log a x (a >0, a ≠1) 互为反函数. 二．要点精讲
1、对数的概念：如果a b =N (a >0, 且a ≠1) ，那么log a N =b 。 ⑴基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）； ②log a 1=0； ③log a a =1； ④对数恒等式：a
log a N
1
的2
=N 。
⑵运算性质：如果a >0, a ≠0, M >0, N >0, 则①log a (MN ) =log a M +log a N ；
②log a
M
=log a M -log a N ；③log a M n =n log a M (n ∈R ）。 N
⑶换底公式：log a N =
log m N
(a >0, a ≠0, m >0, m ≠1, N >0),
log m a
n
log a b 。 m
常用结论：①log a b ⋅log b a =1； ②log a m b n =3
4. 反函数
指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 5. 第一象限中，对数函数底数与图象的关系 图象从左到右，底数逐渐变大. 二、双基自测
1．(2010·四川)2 log510＋log 50.25＝( ) ． A ．0 B．1 C ．2 D ．4
解：原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2.
2．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( ) ． A ．a ＜b ＜c B．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b
解:将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 3．函数f (x ) ＝log 2(3x ＋1) 的值域为( ) ．
A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解：设y ＝f (x ) ，t ＝3x ＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x ＋1，x ∈R . 由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x ) 的值域为(0，＋∞)． 4、（11江西理）若f (x ) =
11(2x +1)
2
，则f (x ) 定义域为
A. (-
111
, 0) B. (-, 0] C. (-, +∞) D. (0, +∞) 222
1⎧⎧2x +1>0x >-1⎪⎪
-0解得⎨，故212⎪⎪⎩2⎩x
5、函数f (x )=log 2x 的图象是
6．若log a
2⎛2⎫
>1，则a 的取值范围是________； ，）=1的解x =2 。 1⎪ 方程log （32x -133⎝⎭
三、典例解析 考点一：对数运算
1．计算：⑴(lg2)+lg2⋅lg50+lg25 ⑵ (log32+log 92) ⋅(log43+log 83) ； 1
2
5
4
⑶
lg 2+lg 5-lg 81324
-lg +lg 245 ； (4)lg
2493lg 50-lg 40
1
2
1 2、若2a ＝5b ＝m ，且
11
+=2，则m ＝10 a b
对数式的化简与求值的常用思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
考点二：对数函数的图象及应用 3、函数y ＝ln(1－x) 的图象大致为
解：由1－x>0，知x
4. （2013福建）函数f (x )=ln x +1的图象大致是A
2
( )
()
5．下列区间中，函数f (x ) ＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) ．
A ．(－∞，1] B.⎢-1, ⎥C. ⎢0⎪D ．[1,2)
32
⎡⎣
4⎤⎦⎡3⎫⎣⎭
解法一：当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x ) ＝|ln(2－x )|＝ln(2－x ) ， 此时函数f (x ) 在(－∞，1]上单调递减．
当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x ) ＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x ) ，此时函数f (x ) 在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x ) ＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x ) 在区间[1,2)上为增函数，故选D.
6、方程x -2=log 2x 的解有.
7、(2012新课标) 当0
1
时，4x
( )
A. 0⎛ ⎝⎛2⎫2⎫
⎪ B . ，1⎪C ．(12)D ．2，2) ⎪ ⎪2⎭⎝2⎭
解：构造函数f (x ) ＝4x 和g (x ) ＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0
，1⎪画出两个函数在 0, ⎥上的图像，可知f ⎪，所以a 的取值范围为 .
⎪2⎝2⎦⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
法二：∵0
1
2
⎛1⎤⎛1⎫⎛1⎫2
⎛2⎫
111，∴14x >1，∴0
则有4=2，log 1
2
1
＝1，显然4x
8. （15北京）如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集是
A ．{x |-1
-1
小结：
1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间) 、值域(最值) 、零点时，常利用数形结合求解．
2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．
考点三：利用对数性质比较大小 9、若0＜x
B.0＜log a (xy ) ＜1C.1＜log a (xy ) ＜2
2
D. loga (xy ) ＞2
10、（11天津）设a =log 54，b =(log 53)，c =log 45，则（ ）． Ａ．a 所以b =(log 53)11．（2013新课标Ⅱ）设a =log 36, b =log 510, c =log 714, 则
2
（ ）
A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c
解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72， 因为y=log2x 是增函数，所以log 27＞log 25＞log 23， 因为
，
，
所以log 32＞log 52＞log 72，所以a ＞b ＞c ，故选D ．
⎛1⎫log 3.4log 3.612、（2011天津）已知a =52, b =54, c = ⎪
⎝5⎭
log 30.3
, 则( ) ．
A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b
解：a =5
log 23.4
, b =5
log c =5
log 3
103
, 再由f (x ) =
5x
为单调递增函数，因为log 2
log 23.4>log 22=1，log 3
13. （2014辽宁）已知a =2
101010>log 33=1，且log 3c >b ． 333
13
-
，b =log 2
11
, c =log 1，则（ ） 323
A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a
111
解： a =2∈(，1), b =log 23∈(-2，-1), c =log 13∈(1, 2). ∴c >a >b . 选C .
22
-1
3
⎪ 14、已知f (x ) 是定义在(－∞，＋∞) 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a =f (log 47)，b =f log 13⎪，
⎝
2
⎛⎫⎭
c =f 0. 2-0. 6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) ．
A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．a ＜b ＜c
()
解：log 13＝－log 23＝－log 49，b =f log 13⎪＝f (－log 49) ＝f (log49) ，log 47＜log 49,
⎪
2
⎛⎝
⎫⎭
2
0. 2-0. 6＝＞32＝2＞log 49，又f (x ) 是定义在(－∞，＋∞) 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
故f (x ) 在[0，＋∞) 上是单调递减的，∴f (0.2
－0.6
55
) ＜f log 13⎪＜f (log47) ，即c ＜b ＜a .
⎪
⎛⎝
⎫⎭
2
15. 设函数f （x ）=loga |x |在（－∞，0）上单调递增，则f （a +1）与f （2）的大小关系是 A. f （a +1）=f （2） B . f （a +1）＞f （2） C. f （a +1）＜f （2）
D. 不能确定
⎧log a (-x ), x ∈(-∞, 0),
解：由f （x ）=⎨且f （x ）在（－∞，0）上单调递增，易得0＜a ＜1. ∴1＜a +1＜2.
log x , x ∈(0, +∞), ⎩a
又∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减. ∴f （a +1）＞f （2）. 考点四：利用对数性质解不等式
⎧21-x , x ≤1
16、（11辽宁理）设函数f (x ) =⎨，则满足f (x ) ≤2的x 的取值范围是 D
⎩1-log 2x , x >1
A ．[-1，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞]
D ．[0，+∞]
17．已知函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,+∞) 单调递增，若实数a 满足1
f (log2a ) +f (log2) ≤2f (1), 则a 的取值范围是（ ）
a
⎛1⎤⎡1⎤
A ．[1,2] B ． 0, ⎥ C ．⎢,2⎥ D ．(0,2]
⎝2⎦⎣2⎦f (log 2a ) ≤f (1)
log x , x >0⎧⎪2
18、（11天津理）；设函数f (x )=⎨log -x , x f (-a )，则实数a 的取值范围是（ ）．
)1(⎪⎩2
Ａ．(-1, 0)U (0, 1) Ｂ．(-∞, -1)U (1, +∞) Ｃ．(-1, 0)U (1, +∞) Ｄ．(-∞, -1)U (0, 1) 解法一: 若a >0，则log 2a >log 1a ，即2log 2a >0，所以a >1，
2
若a log 2(-a )，即2log 2(-a )2
所以实数a 的取值范围是a >1或-1
19. 函数y =loga （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是
A. （0，1）
B. （0，2） C. （1，2） D. （2，+∞）
解：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数. ∴y =loga u 应为增函数，且u =2－ax
⎧a >1,
在［0，1］上应恒大于零. ∴⎨∴1＜a ＜2.
2-a >0. ⎩
20．已知函数f (x )=⎨A ．(1,2)
⎧(a -2)x -1, x ≤1
，若f (x ) 在(－∞，＋∞) 上单调递增，则实数a 的取值范围为( )
⎩log a x , x >1
B ．(2,3)C．(2,3]
D ．(2，＋∞)
⎧a >1⎪
解：（数形结合）∵f (x ) 在R 上单调增，∴⎨a -2>0，∴2
⎪(a -2)⨯1-1≤log 1
a ⎩
21. （15福建）若函数f (x )=⎨围是．
⎧-x +6, x ≤2,
（a >0且a ≠1）的值域是[
4, +∞)，则实数a 的取值范
⎩3+log a x , x >2,
22．函数f (x ) ＝ln(x ＋1) －mx 在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m 的取值范围是( ) 11
A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞， D ．(－∞，22
解：∵f (x ) ＝ln(x ＋1) －mx 在区间(0,1)上恒为增函数， ∴f (x ) ＝ln(x ＋1) －mx 在区间[0,1]上恒为增函数，
111
∴f ′(x ) m ≥0在[0,1]上恒成立，∴m ≤(min ＝.
2x ＋1x ＋123、已知函数f (x )=log 4ax 2+2x +3． (1)若f (x ) 定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x ) 的单调区间；
(3)是否存在实数a ，使f (x ) 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为f (x ) 的定义域为R ，所以ax 2＋2x ＋3>0对任意x ∈R 恒成立．
()
⎧a >01⎛1⎫
显然a ＝0时不合题意，从而必有⎨，解得a >. 即a 的取值范围是 ，+∞⎪ 3∆
(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5) ＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )=log 4-x 2+2x +3． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1
则g(x)在(－1,1) 上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log4x 在(0，＋∞) 上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1) ，单调递减区间是(1,3)．
(3)假设存在实数a 使f (x ) 的最小值为0，则h (x ) ＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，
()
⎧a >0
11⎪
因此应有⎨3a -1, 解得a =. 故存在实数a =使f (x ) 的最小值为0.
22=1⎪⎩a
本例(1)中的条件“若f (x ) 的定义域为R ”改为“若f (x ) 值域为R ”，试求a 的取值范围． 解：当a ＝0时，ax 2＋2x ＋3＝2x ＋3， 显然f (x ) ＝log 4(2x ＋3) 值域为R ；
⎧a >01
当a ≠0时，必须真数ax ＋2x ＋3能取到一切正数，则⎨⇒0
3⎩∆≥0
2
说明：研究复合函数y ＝logaf(x)的单调性(最值) 时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数 u ＝f(x)及y ＝logau 的单调性(最值) 情况确定函数y ＝logaf(x)的单调性(最值)(其中a>0，且a ≠1) ． 四、考点演练：
1、已知a >0, 且a ≠1，函数y =a x 与y =log a (-x ) 的图象可能是 B
2、函数y =log a 3、函数y
x +b (a >0, a ≠1, ab =1)的图象只可能是( B )
=log 1x 的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度b -a 的最小值是
2
A 、3 B 、
33
C 、2 D 、 42
2
2
2
4、设函数f (x ) =log a x (a >0且a ≠1) ，若f (x 1x 2⋅⋅⋅x 2则f (x 1) +f (x 2) +⋅⋅⋅+f (x 2009) =8，009值等于
A 、4 B 、8 C 、16 D 、2log a 8
) 的
5、已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且满足f (x +2) =f (x ) ，又当x ∈(0, 1) 时，f (x ) =2-1，则
x
f (log16) 的值等于 （ ）
2
A ．－5 B ．－6 C ．-
51
D ．- 62
6、若函数f （x ）=loga x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于
A.
2 4
B.
2 2
C.
1 4
D.
1 2
7、函数f (x ) =log1(3－2x －x 2）的单调递增区间是
2
8、计算= （log 25+log 40.2）（⋅log 52+log 250. 5）9、方程lg x +lg（x +3）=1的解x =___________________.
解析：由lg x +lg（x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2. ∵x ＞0，∴x =2. 10、已知f (x )=⎨
⎧(3-a )x -a , x
是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值范围是( )
⎩log a x , x ≥1
B ．(1,3)C.⎢，3⎪ D. 1⎪
A ．(1，＋∞)
⎡3⎫
⎣2⎭⎛3⎫
⎝2⎭
11、设函数y =f (x ) 且lg(lgy ) =lg(3x ) +lg(3-x ) . ⑴求f (x ) 的表达式及定义域；⑵求f (x ) 的值域.
12、已知y =loga （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数. 依题意a ＞1，
又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0， ∴3－2a ＞0. ∴a ＜13、求函数y =2lg(x －2) －lg(x －3) 的最小值.
33. 故1＜a ＜. 22
(x -2) 2
解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg .
x -3
1(x -2) 2(x -3) 2+2(x -3) +1x 2-4x +4
又∵＝＝＝（x －3）＋＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.
x -3x -3x -3x -3