第二讲：集合
●知识点归纳
一、集合的相关概念
1．集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合. 说明：常用大写的字母A,B,C...表示集合，小写的字母a,b,c...表示元素.
2. 集合的三要素：元素的确定性；元素的互异性；元素的无序性.
说明：要构成一个集合，那么必须满足以上3个性质，缺一不可.
3．元素与集合的关系----属于（∈）或不属于（∉）
说明：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A；
4.数学中常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R；
二、集合的表示方法
1．列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的
方法叫做列举法. 如：A={1,2,3,4,5,6},A={(1,2),(2,1)}等.
2．描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法.如：A={x∈R|x2-1=0}等.
3
Venn图）：用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为Venn图.
三、集合间的基本关系
（一）集合与集合之间的 “包含”关系；
1.子集：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合
不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人！
B中的元素，那这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“B包含A(或A包含于B)”.
2.真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B,且x∉A，称集合A为集合B的
真子集，记作A B（或B A）.
3.空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅.
说明：（1）规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（2）任何一个集合是它本身的子集.
（二）集合与集合之间的 “相等”关系；
A⊆B且B⊆A，则A=B中的元素是一样的，因此A=B
⎧A⊆B即 A=B⇔⎨ B⊆A⎩
四、集合间的基本运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B
不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人！
的交集（intersection）.
记作：A∩B
读作：“A交B” 即： A∩B={x∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：（1）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元
素组成的集合.
（2）当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
A
3.全集：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U.
4.补集
对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA
即：CUA={x|x∈U且x A}
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
.
不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人！