分段函数的几个问题-人教版[整理]

分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：

1、 分段函数的含义

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：

（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、 求分段函数的函数值

x2(x0)

例1

已知函数f(x)x1),求f{f[f(a)]}(a

logx(x1)13

分析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。f(x)是分段函数，要求f{f[f(a)]}，需要确定f[f(a)]的取值范围，为此又需确定f(a)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。

解 ∵a

∴f(a)2a,

∵0

∴f[f(a)]=f(2a)=, ∵>1,

∴f{f[f(a

)]}=f

=log1－

31, 2

3、 求分段函数的解析式

例2 已知奇函数f(x)(xR)，当x>0时，f(x)=x(5－x)+1.求f(x)在R上的表达式。 解 ∵f(x)是定义域在R上的奇函数，

∴f(0)=0.

又当x＜0时，－x>0,

故有f(x)=－x[5－(－x)]+1=－x(5+x)+1。

再由f(x)是奇函数,

x(5x)1(x0)f(x)=－f(x)=x(5+x)－1.∴f(x)0(x0)

x(5x)1(x0)

例3 求函数f(x)=x2+(2－6a)x+3a2(0≤x≤1)的最小值。

解 f(x)=[x－(3a－1)]2－6a2+6a－1

∵0≤x≤1,

当3a－11时，f(x)的最小值为f(1)=3a2－6a+3。 因此函数f(x)的最小值可表示成关系于a的分段函数.

123a(a)312g(a)6a26a1(a)

33223a6a3(a)3

4、 求分段函数的最值

2x3(x0)例4 求函数yx3(0x1)的最小值

x5(x1)

方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。 当x≤0时,y=f(x)=2x+3,此时显然有y

当0

max当x>1时，y=f(x)=－x+5，此时y无最大值.比较可得当x=1时,y

方法2 利用函数的单调性 =4.

由函数解析式可知，f(x)在x∈(∞,0)上是单调递增的，在x∈(0,1)上也是递增的，而在x∈(1,+∞)上是递减的，

由f(x)的连续性可知f(x)当x=1时有最大值4 方法3 利用图像，数形结合求得

作函数y=f(x)的图像（图1），

显然当x=1时ymax =4.

说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.