数列高考题
8. (湖北卷)设等比数列
{an}的公比为q,前n项和为S,若S,S,S成等差数列,则q的值为 .
nn+1nn+2
827
9. (全国卷II) 在3和2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______
10. (上海)12、用n个不同的实数
a1,a2,,an可得到n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵。
n
a,a,,aba2a3a(1)nain,i1,2,3,,n!。例如:用1,2,3可得数阵i1i2ini1i2i3对第i行,记i
如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,用1,2,3,4,5形成的数阵中,
b1b2b61221231224,那么,在
b1b2b120=_______。
n
(nN), 11. (天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且an2an1(1)
则
S100
=_______
1
anan121a1
n412.(北京卷)设数列{an}的首项a1=a≠4,且
(I)求a2,a3;
n为偶数n为奇数
, 记
bna2n1
1
4,n==l,2,3,…·.
(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求n
lim(b1b2b3bn)
.
13.(北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,
an1
1
Sn
3,n=1,2,3,……,求
(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式; (II)
a2a4a6
a2n的值.
14.(福建卷)已知{(Ⅰ)求q的值; (Ⅱ)设{理由.
an
}是公比为q的等比数列,且
a1,a3,a2
成等差数列.
bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为S,当n≥2时,比较S与b的大小,并说明
n
n
n
1
a15. (福建卷)已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+n我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1
3511
1,2,,,;当a时,得到有穷数列:,1,0.
2322时,得到无穷数列:
(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;
1
(nN)
(Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1, bn+1=bn1,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷
数列{an};
3
an2(n4)
(Ⅲ)若2,求a的取值范围.
16. (湖北卷)设数列
{an}的前n项和为S=2n2,{bn}为等比数列,且a1b1,b2(a2a1)b1.
n
(Ⅰ)求数列
{an}
和
{bn}
cn
的通项公式; (Ⅱ)设
an
bn,求数列{cn}的前n项和Tn. a13,a39.
17. (湖南卷)已知数列
{log2(an1)}nN*)
为等差数列,且
111
1.
{an}an1an
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)证明a2a1a3a2
18. (江苏卷)设数列{an}的前项和为
Sn
,已知a1=1, a2=6, a3=11,且
(5n8)Sn1(5n2)SnAnB,
n1,2,3,,其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列; (Ⅲ)
1对任何正整数m、n都成立
a1
.
19. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列
an的首项
1
1010
2,前n项和为Sn,且2S30(21)S20S100。
(Ⅰ)求
an的通项; (Ⅱ)求nSn的前n项和Tn。
20. (全国卷Ⅰ) 设等比数列
an的公比为q,前n项和Sn0 (n1,2,)。
(Ⅰ)求的取值范围;
q
(Ⅱ)设
bnan2
3an1
SbTT2,记n的前n项和为n,试比较n与n的大小。
21. (全国卷II) 已知
an是各项为不同的正数的等差数列,lga1、lga2、lga4成等差数列.又
bn
1a2n
,
n1,2,3,
.
(Ⅰ) 证明bn为等比数列;
7
ab(Ⅱ) 如果数列n前3项的和等于24,求数列n的首项a1和公差d.
8. (湖北卷)-2 9.
数列高考题答案
(全国卷II) 216 10. (上海)-1080 11. (天津卷)2600
11111
12.(北京卷)解:(I)a2=a1+4=a+4,a3=2a2=2a+8; 113113(II)∵ a4=a3+4=2a+8, 所以a5=2a4=4a+16,
11111111
所以b1=a1-4=a-4, b2=a3-4=2(a-4), b3=a5-4=4(a-4), 1
猜想:{bn}是公比为2的等比数列·
111111
证明如下: 因为bn+1=a2n+1-4=2a2n-4=2(a2n-1-4)=2bn, (n∈N*)
11
所以{bn}是首项为a-4, 公比为2的等比数列·
b1lim(n)
n
b1b2
bn)lim
1(1
n
b12(a11114)(III)
212.
a113.(北京卷)解:(I)由a1=1,
n1
3Sn
,n=1,2,3,……,得
a12
3S111141116
13a13a3S2(a1a2)a,43S33(a1a2a3),33927,
a11由n1an3(SnSn1)3an
a4
11(n≥2),得n13an(4)n2(n≥2),又a2=3,所以an=33(n≥2),
n1a
1
n14n2
3()n≥2
∴ 数列{an}的通项公式为
3;
1
(42
(II)由(I)可知
a2,a4,
,)na是
2首项为3,公比为3项数为n的等比数列,1(4
)2n13[(4)2naa3
1]1(4)2732a4a6
2n=3
2a3a1a2,即2a1q2a1a1q,
2
14.(福建卷)解:(Ⅰ)由题设
a10,2qq10.
q1或1
2.
∴
n(n1)n23n
q1,则Sn2n1.
22(Ⅱ)若
n2时,SnbnSn1
(n1)(n2)
0.
Sbn. 2 故n
当
1n(n1)1n29n
q,则Sn2n().
2224若
n2时,SnbnSn1
(n1)(n10)
,
4
当
故对于
nN,当2n9时,Snbn;当n10时,Snbn;当n11时,Snbn.
a1a,an11
1
,an
15. (福建卷)(I)解法一:
a21a41
11a112a1
1,a31a1aaa2a1
13a22.故当a时a40.a32a13
1
0,a31.a3
解法二:a40,1a31
11122
,a2.a21,a.故当a时a40.a22a33
b1
,bn1.bn1bn1
(II)解法一:b11,bn1
a取数列{bn}中的任一个数不妨设abn.abn,a21a31an1
1an1
1
1
b11.b2
111bn1.a1bn
111bn2.a2bn1
an10.
故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}
16. (湖北卷)
解:(1):当
n1时,a1S12;
的等差数列.
当n2时,anSnSn12n22(n1)24n2,
故{an}的通项公式为
an4n2,即{an}是a12,公差d4
q,则b1qdb1,d4,q
1
.4
设{bn}的通项公式为
bn12
12
故
nb1q4
n1
,即{bn}的通项公式为bn4n1.
cann
b4n2(2n1)4n1n
2,
(II)
4n1
Tnc1c2c1n[134542(2n1)4n1],4Tn[14342543(2n3)4n1(2n1)4n]
两式相减得
3T12(4142434n1)(2n1)4n1
n3
[(6n5)4n5]
T1
n9[(6n5)4n5].
17. (湖南卷) (I)解:设等差数列{log2(an1)}的公差为d.
由
a13,a39得2(log22d)log22log28,即d=1.
所以log2(an1)1(n1)n,即an2n1.
1(II)证明因为a11
n1nn
n1ana22,
111111112所以a2a1a3a2
aa3n
n1n2222 111
n
111.112n 2
18. (江苏卷)
解:(Ⅰ)由a11,a26,a311,得S11,S22,S318.
AB把n1,2分别代入(5n8)Sn1(5n2)SnAnB
28,,得2AB48
解得,A20,B8.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,5n(Sn1Sn)8Sn12Sn20n8,即5nan18Sn12Sn20n8, ①
又5(n1)an28Sn22Sn120(n1)8. ②
②-①得,5(n1)an25nan18an22an120,即(5n3)an2(5n2)an120.
③
又(5n2)an3(5n7)an220.
④
④-③得,(5n2)(an32an2an1)0, ∴an32an2an10, ∴an3an2an2an1因此,数列
a3a25,又a2a15,
an是首项为1,公差为5的等差数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,an5n4,(nN).考虑
5amn5(5mn4)25mn20.
1)2aman1„amanaman125mn15(mn)9
.
∴即
5amn1)2厖15(mn)295amn
1)21
1522910
.
1
.
.
19. (全国卷Ⅰ)
解:(Ⅰ)由 即
210S30(2101)S20S100
得
210(S30S20)S20S10,
210(a21a22a30)a11a12a20,
可得
210q10(a11a12a20)a11a12a20.
1010
a02q1, 解得n因为,所以
q
11
ana1qn1n,n1,2,.
2,因而 2
(Ⅱ)因为
{an}
是首项
a1
11
q
2、公比2的等比数列,故
11
(1n)
11,nSnn.Snn12n2n12
12n
Tn(12n)(2n),
{nSn}的前n项和 222 则数列
Tn112n1n(12n)(23nn1).222222
Tn1111n
(12n)(2n)n1
22222 前两式相减,得 2
11(1n)
n(n1)n
n(n1)1n142n1
Tnn1n2.1
2222 即
20. (全国卷Ⅰ) 解:(Ⅰ)因为
当
{an}是等比数列,Sn0,可得a1S10,q0.
q1时,Snna10;
a1(1qn)1qn
当q1时,Sn0,即0,(n1,2,)
1q1q 1q0,
,(n1,2,)n
1q0上式等价于不等式组: ①
1q0,
,(n1,2,)n
1q0或 ②
解①式得q>1;解②,由于n可为奇数、可为偶数,得-1
333
bnaa2an1bnan(q2q),Tn(q2q)Sn.
222(Ⅱ)由得
31
TnSnSn(q2q1)Sn(q)(q2).
22于是
又∵
Sn
>0且-10
1q
当
1
2或q2时TnSn0即TnSn
1
q2
TSn0即TnSn q当2且≠0时,n
q
当
1
2或q=2时,TnSn0即TnSn
21. (全国卷II)
(I)证明:∵lga1、lga2、lga4成等差数列
2aa1a4lgalgalga22=1+4,即∴2
又设等差数列
an的公差为d,则(a1-d)2=a1(a1-3d)
这样
d2a1d
,从而d(d-
a1)=0
∵d≠0 ∴d=
a1≠0
111na2nd2
a2na1(2n1)d2ndbn
∴
11
bb∴n是首项为1=2d,公比为2的等比数列。
b1b2b3
1117
(1)2d2424
(II)解。∵
∴d=3 ∴
a1d
==3