爱因斯坦场方程推导过程的逻辑梳理
———纪念广义相对论发表１００周年
钟双金
（华东师范大学物理系 上海 ２０１１００）
（收稿日期：２０１４０７１０）
摘
要：爱因斯坦用了１０年时间分５步从狭义相对论提升到广义相对论及引力场方程，本文对此过程进行了
逻辑梳理并辅助解释推导过程．
关键字：爱因斯坦场方程 张量 等效原理
从狭义相对论到广义相对论，爱因斯坦经历了１０年的科研探索，写下爱因斯坦场方程标志了广义相对论的完成，爱因斯坦场方程逻辑结构严谨，形式完美，但是推导过程非常复杂，以至许多学生在学完广义相对论后，不能整体理解其逻辑推导主线．本文尝试把这１０年的推导过程总结成５步，清晰呈现该理论的逻辑结构．１ 相对性原理的历史
相对性原理最初由伽利略提出，其发展经过３个阶段．
首先是伽利略相对性原理．在古典时空观（时间和３维空间独立）和伽利略变换下，物理定律在所有惯性参考系下具有相同形式．伽利略变换是指在两个以恒定相对运动速度的参考系下（ｔ，ｘ，ｙ，ｚ）和（ｔ′，ｘ′，ｙ′，ｚ′）分别为同一事件在两个坐标系Ｓ和Ｓ′中的坐标，ｖ为相对运动速度．其坐标变换满足
ｔ′＝ｔ
ｘ′＝ｘ－ｖｔ
ｙ′＝ｙ（１）
ｚ′＝ｚ
牛顿力学规律在伽利略变换下具有不变性，比如在Ｓ系中有Ｆ＝ｍａ，各物理量经伽利略变换后，在满足伽利略变换Ｓ′系中方程形式不变，麦克斯韦方程预言，即Ｆ′＝ｍａ′．然而电动力学不
，真空中光速是一个普适常量ｃ，其不满足伽利略变换．这样就开启了狭义相对论之路．
其次是狭义相对性原理．爱因斯坦提出所有物理定律（力学和电动力学）都满足该原理．这时引入—３４
—
了光速常量ｃ和替换伽利略变换的洛伦兹变换
ｔ－２
ｔ′＝２ｘ
１－２
２
ｘ′＝２
１－（２）
２
ｙ′＝ｙｚ′＝ｚ
后来是广义相对性原理．爱因斯坦在改造引力理论为协变形式时发现，引力和非惯性系有深刻关联．进而把物理定律推广到在一切参考系中都具有相同的形式，这就是广义相对性原理．下面就来分５步来说明这一推导过程．２ 引入四维时空以及洛伦兹变换
１９０５年，爱因斯坦考察电动力学时提出光速不变以及洛伦兹变换后，１９０７年闵可夫斯基赋予新时空观以数学结构，即四维时空的连续体，从而大大简
化了狭义相对论．时空的性质使物理学家放弃伽利略变换下不变的空间距离和时间间隔，而取代之以洛伦兹变换下不变的四维间隔２
２
２
ｄｙ（ｄｓ＝ｄｔ－ｄｘ－２－ｄｚ２
）．在假设运动方程是线性的和时空的均匀性以及空间的各向同性后，如果让两坐标系之间的相对运动速度ｖ沿着ｘ轴方向（令ｃ＝１），考虑最一般的线性变换
［１］
ｔ′＝αｔ＋βｘ
ｘ′＝γｔ＋σｘｙ′＝ｙ（３）
ｚ′＝ｚ
这里的α，γ和σ只依赖于ｖ．如果ｘ＝ｖｔ，则ｘ′＝０．β，于是有
ｘ′＝σ（ｘ－ｖｔ） σ（０）＝１根据相对性原理
ｘ＝σ（－ｖ）（ｘ′＋ｖｔ′）可以得到方程
ｘ′＝σ（ｘ－ｖｔ）ｔ′＝α（ｔ－
ｅｘ）
解出ｘ并与式（３）做比较得出σ＝α，ｖ＝ｅ．最后利用４ 引入等效原理将引力几何化
１９０７年爱因斯坦认识到需要推广狭义相对论：一为了把相对性原理从惯性系推广到非惯性系，二是无法直接改写牛顿引力方程为其协变形式．１９１１年爱因斯坦首次提出，到现在，等效原理有很多不同程度的版本表述．
弱等效原理：考察了引力质量和惯性质量成正比，观测者不能在局部的区域内分辨出加速度所产（４）（５）
间隔不变－（Δｔ′）２
＋（Δｘ′）２
＝－（Δｔ）２
＋（Δｘ）２
．进而解出并由σ＝１－ｖ
２
，即得到洛伦兹变换公式（２）．
３ 用四维张量改写方程
在新的时空观下，之前的力学方程（比如Ｆ＝ｍａ）在不同惯性参考系中经过洛伦兹变换后的形式不一样．这时物理方程应该怎么写呢？
答案是用张量，因为张量的性质是，两个张量各分量在一个参考系相等后，那么它经过洛伦兹变换到任何参考系时都相等．所以用张量写出的方程能保证洛伦兹协变性，即满足相对性原理．相对论的做法是：取定其中一个参考系来度量有关的物理量，写成四维张量形式，然后经过实验推导总结出其中物理规律，发现基本方程．在这个过程中时空的几何性质应当不受有关物理过程影响．所以，基本方程只是物理量之间的一些关系，即“一些物理学张量＝另一些物理学张量”．
能量动量张量描述能量与动量在时空中的密度与通量．其为一个二阶张量Ｔα
β（希腊字母代表０，１，２，３．拉丁字母代表１，２，３），它表示四动量的第α分量通过坐标为参数ｘβ表面的通量，如Ｔ００
为能量密度（由质能方程可把静止坐标系中的能量密度看作物质密度ρ），Ｔ０ｉ
为能量通过ｘｉ
表面的通量，其等于Ｔｉ０
代表第ｉ动量的密度．在平直时空中，因为能量
守恒，由连续性方程可得
Ｔ
０α
，α
＝蜒・ｐ－
抄ｔ
＝０同样也可以应用到动量守恒，得到四动量守恒的张量表达式为（采用爱因斯坦求和符号）
Ｔαβ
，β
＝０（６）
生的惯性力或由物体所产生的引力．牛顿力学动力学方程为Ｆ＝ｍＩａ，牛顿万有引力定律为
ＦＧ＝Ｇ
２
＝ｍＧｇ由精确实验可认为ｍＩａ＝ｍＧｇ．得到
ａ＝Ｉ
ｇ
如果把有引力场的时空看作是几何上弯曲的时空，那么自由下落的粒子在引力场中沿着弯曲时空中的测地线方向运动．
爱因斯坦等效原理：在推广到所有自然定律是还需要假设，在弱等效原理基础上，假设在存在的局部惯性参考系中，非引力物理定律如麦克斯韦方程等同于狭义相对论形式．
强等效原理：在利用广义相对论方式（时空度规，时空曲率）去描述引力（引力场强、引力势）的需要在该原理．时空区域某一点内的引力场总可用相应的局部惯性参考系来描述，而狭义相对论在其局域惯性参考系中完全成立．这样，在地球局部惯性系上做引力实验（比如卡文迪什的关于引力的平方反比关系的测量）可以等同于无引力的形式．
引力场本身与引力源位置不同导致其在时空分布不均匀，所以不能用一个全局的加速度来描述，但每一点的引力场有一个引力场强可用一个与之相等加速度的局部加速参考系来描述．这样狭义相对论中的能量动量方程（６）可以改写成广义相对论中的形式
Ｔα
β
α
αβ
＝Ｔβ
β
＋ΓρβＴρβ＋ΓβρβＴ
ρ
α
＝０（７）
后面两项可以看做加速度或引力场对守恒定律的影响．
５ 根据弱场低速近似猜出引力场方程形式
具体的“物质怎么告诉时空弯曲．时空怎么告诉
—３５
—
物质运动”呢？在广义相对性原理下，其引力方程的形式需要经过一些探索得到．狭义相对论经过低速近似可以得到牛顿运动方程：当ｖ虫ｃ时，有１－洛伦兹变换公式（２）就变成伽利略２≈１２≈０，
２
６ 类比牛顿引力确定引力场方程系数
牛顿引力方程为
蜒φ＝４πＧρ（１０）
通过牛顿近似，最后推导引力场方程（９）中的系数，这一部分涉及到一定量的数学计算．通过理想流体计算Ｔμ＝ρｕμｕ，采用相对介质静止的坐标系，计算静态、缓变弱场下的Ｒμν．经过一番计算，写出其００
ν
ν２
变换公式（１）．广义相对论是一个引力理论，在牛顿近似下应该回到万有引力理论．任意引力场中自由粒子的动力学方程是测地线方程
２
［２］
在弱引力场做低速运动的粒子可以做以下近似（１）引力场是弱场，即令ｇμν＝ημν＋ｈμν，则有
ｈμν虫１（２）引力场是静态的，即ｇμν，０＝ｈμν，０＝０（３）引力场是空间缓变的，即ｇμν，ｉ＝ｈμν，ｉ虫１（４）粒子的运动时低速的，即０虫１
ｉ
２
ｉ
β
μμ＝－Γαβ２
α
分量的方程，即可求出
［２］
ｈ００，ｉ，ｉ＝－κρ
结合公式（８）可得牛顿引力势
２
蜒φ＝２κρ
对比公式（１０）定出κ＝８πＧ．这样就得出四动量守恒的最简单版本的引力场方程———爱因斯坦场方程（１９１５年爱因斯坦和希尔伯特讨论得到的）
ｇμνＲ＝－８πＧＴμν２
（为牛顿引力势），
对比计算可得φ抄ｘ
φ＝－ｈ００
２形式确定为
Ｆμν＝Ｔμν
ｈ００，ｉ．
以上得出而牛顿力学为＝－２＝２
２２
ｉ
Ｒμν－７ 后记
（１１）
（８）
爱因斯坦场方程在一定假设基础合理上猜测出来的，以上是引力场方程形式的最小耦合形式版本，在此基础上很多人在寻找此形式以外的理论．比如，假设时空有挠率，加入宇宙常数等．可以得出更复杂形式的引力场方程．
参考文献
１ 爱因斯坦．相对论（第一版）．易洪波，等译．南京：江苏人
民出版社，２０１１．７０
２ 俞允强．广义相对论引论（第二版）．北京：北京大学出版
社，２００９．４８，４９
参照牛顿引力理论，我们把度规场方程的数学
按推测和数学定理Ｆμν最一般只能是Ｆμν＝
Ｂｉａｎｃｈｉ恒等式可得
Ｇμν＝Ｒμν
αＲμν＋βｇμνＲ＋γｇμν．爱因斯坦张量Ｇμν由里奇张量
Ｒμν和Ｒ组合成而成．根据能量动量守恒（７）．应用
－ｇμνＲ＝－κＴμν
２
（９）
Ｆｒｏｍｔｅｎｙｅａｒｓｔｏｆｉｖｅｓｔｅｐｓ
———ＴｈｅＩｎｄｕｃｔｉｖｅＬｏｇｉｃｏｆＲｅｄｕｃｔｉｏｎｆｏｒＥｉｎｓｔｅｉｎＦｉｅｌｄＥｑｕａｔｉｏｎ
ＳｈｕａｎｇｊｉｎＺｈｏｎｇ
（ＥａｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅＤｅｒｉｖｉｎｇｏｆｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｒｅｌａｔｉｖｉｔｙＥｉｎｓｔｅｉｎｆｉｅｌｄｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｆｉｖｅｓｔｅｐｓｗｉｔｈｔｈｅｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｅｉｎｓｔｅｉｎｆｉｅｌｄｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｔｅｎｓｏｒ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
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