用公式法求二面角的平面角
大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定．它们之
间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角，的平面角为 ，则有
略证：如图，
．在
△ ，
又在△ 在△
中， 中，
．证毕
，
中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）．
；（2）此公式与
， 中，
．故
，则 ，
． ， ①
． ②
．令
．同理，
，
．
，
，
，二面角
由①，②得 同理可证，当
由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了 ， ， ，即可求平面角
三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理． 例1 已知正三棱锥侧面与底面的夹角为
，任两侧面的夹角为，求证
．
略证：如图2，设
的平面角为
由公式得:
为正棱锥， ，
构成三面角．又设 ．
的平面角为
，
，故
． ①
又
由①，②得
，故
．
． ②
例2 如图，在梯形
，
高考题）．
中， 平面
， ，求以
， 为棱的二面角
， ，
，
的大小（1994年上海
略解：
构成三面角，令
，则
，cos
， 设 ， ， ， ．
由 又在 在
，
△ △
，
中，由
， ．令
，知 ，得
，则
， ．
．
中，
，
．
由公式得 ， ．
∴
．
例3 如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1，若 略解：
，求以
为棱的二面角
，交
为
的中点，（1）求证：AB1// 平面BDC1；（2） 的大小．（1994年上海高考题）
为三面角，连结 于 ．连结 ．
11AB1BC1
22DBE是等腰直角三角形．
AB1BC1DEBC1
DE
令 ，则 ， ．
由 ，得 ．
设 ， ， ，
由公式得
， ， ．
即
∴
C1
，
．
．
1
A
数学测试题—空间角和距离
b为异面直线，1．二面角Ma、
—N的平面角为，则a，
C
D例3图
—l—N，aM，bN，如果二面角M—lb所成的角为 （ ）
A． B． C．或 D．
2．在空间，如果x、y、z表示直线与平面，“若xy，xz，则y∥z”成立，那么x，y，z所
分别表示的元素正确的是 （ ） A．x，y，z都是直线 B． x，y，z都是平面
C．x，y为平面，z为直线 D． x为直线，y，z为平面
3．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是 （ ）
A．相等
B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
4．二面角M—l—N的平面角是60，直线a平面M，a与棱l所成的角是30，则a与平面N所成的角
的余弦值是
A．
B．
（ ）
42
2
C．
4
D．
1 2
5. 正三棱柱ABC—A1B1C中，D是AB的中点， CD等于，则顶点A1到平面CDC1的距离为（ ）．
A．
1
2
B．1
C．
2
D．2
6．在长方体ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D 与底面所成的角分别为60°和 45°，则异面直线 B1C和C1D所成角的余弦值为（ ）
A．
4
B．
6 3
C．
2 6
D．
6
7．7．二面角α－l－β的棱l上有一点P，射线PA在α内，且与棱l成45°角，与面β成30°角则二面
角α－l－β的大小为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90°
8．一条直线与平面成60°角，则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是 （ ）
A．［0°，90°］ B．0,45
C．［60°，180°］ D．［60°，90°］
9．球面上A、B两点的球面距离是，过这两点的半径的夹角是60°，则这个球的体积为（ ） A．48 B．36 C．24 D．18 10．已知A（1，1，1），B（－1，0 ，4），C（2 ，－2，3），则〈，〉的大小为（ ）
A．
6
B．
5
6
C．
3
D．
2 3
11．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，
若CD = 2AB = 4，EF⊥BA，则EF与CD所成角为 （ ）
A．900 C．600
B．450 D．30
12．由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体.正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数
值不同的k个锐角，k的数值是 （ ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．圆锥和一个球面相交，球心是圆锥的顶点，半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面积被球与圆锥侧面的交
线所平分，则圆锥母线与底面所成角的大小为__________. 14． 一个锐角为30，斜边为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后斜边两
端点的距离等于_______.
15．如图，将两邻边长分别为a、b 的矩形，
按图中的实线折叠剪裁而折成的正四棱 锥，则
a
的取值范围是 . b
16．把地球看作半径为R的球，A、B是北纬a度圈上的两点，它们的经度差为b，则A、B两点间的球面
距离为___________. 三、解答题（共计74分）
17．（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3a，BC=CD=a．将△BCD沿BD折起，使得C到C′，且C－BD－A为60°的二面角，求A、C′的距离．
18．（本小题满分12分）若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20，平面α外一点
P到A,B,C,三点距离都是25,求点P到平面的距离．
19．（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，
M是BC中点.在直线CC1上求一点N，使MN⊥AB1．
20．（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD-A1B1C1D
1中，AB=AD， ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD．
（Ⅰ）求证：平面B1D1DB⊥平面A1C1CA；
（Ⅱ）当A1B1=2，且直线A1A到平面B1D1DB的距离为1时，求∠BAD的大小.
21．（本小题满分12分）三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥面PAB，M、N分别在PC、AB上，且PM=MC，
AN=3NB （I）求证：MN⊥AB； (II) 当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长．
22. （本题满分14分）
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点.
（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角； （II）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值； （III）求二面角N—EF—M的平面角的正切值.