圆的直径式方程推理

圆的直径式方程推理 圆的直径式方程，若圆直径两端点为A(a,b)，B(c,d),则圆方程为（x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0

这可以用向量证明。

假设P(x,y)是圆上一点,那么向量[(x-a),(y-b)]表示A到P的向量，

[(x-c),(y-d)]表示B到P的向量。

因为AB是直径，所以对于圆上的任意非A，B点，∠APB=90°

所以有两向量内积为0，即(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0

当P为A或B点时，有两向量之一为0向量，因为0向量与任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圆上的点都在(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0内。

又因为由平面几何知识知道所有满足向量[(x-a),(y-b)]垂直向量

[(x-c),(y-d)]的点都在圆上，所以(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0就是该圆的方程。