2016年成人高考高升专数学模拟题
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A ={x |-5
（A ）{x |-3
（B ）{x |-5
（C ）{x |-3
（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是
（A ）(x -1) 2+(y -1) 2=1
（B ）(x +1) 2+(y +1) 2=1
（C ）(x +1) 2+(y +1) 2=2 （3）下列函数中为偶函数的是
（A ）y =x 2sin x （C ）y =|ln x |
（D ）(x -1) 2+(y -1) 2=2
（B ）y =x 2cos x （D ）y =2-x
（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的
方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300
(5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为
（A ）3 （B ）4
(C)5
(D)6
6）设a , b 是非零向量，“a
b |a ||b |”是“a //b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为
（A ）1 （B
（C
（D ）2
8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻
两次加油时的情况。注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
（（（
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
（A ）6升
（B ）8升 （D ）12升
（C ）10升
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i (1+i ) 的实部为________________
（10）2,3,log 25三个数中最大数的是________________ （11）在△ABC
中，a =3, b =
-3
12
∠A =
2
2π
，则∠B =________________ 3
y 2
（12）已知（2，0）是双曲线x -2=1(b >0) 的一个焦点，则b =________________
b ∆ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x , y ) 为D （13）如图，
中任意一点，则z =2x +3y 的最大值为________________ （14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成
绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
________________
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________________ 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）
已知函数f (x ) =sin x -2
π
2
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期；
（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢0, （16）（本小题13分）
⎡2π⎤
上的最小值。 ⎥3⎣⎦
已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10, a 4-a 3=2. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 2=a 3, b 3=a 7. 问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ （17）（本小题13分）
某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
（18）（本小题14分）
如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，∆VAB 为等边三角形，AC ⊥
BC 且
AC =BC =O , M 分别为AB , VA 的中点。
（Ⅰ）求证：VB //平面MOC . （Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB （Ⅲ）求三棱锥V -ABC 的体积。
（19）（本小题13分）
x 2
-k ln x , k >0 设函数f (x ) =2
（Ⅰ）求f (x ) 的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若f (x ) 存在零点，则f (x
) 在区间上仅有一个零点。
(20)(本小题14分)
已知椭圆C :x 2+3y 2=3，过点错误！未找到引用源。且不过点错误！未找到引用源。的直线与椭圆C 交于A , B 两点，直线AE 与直线x =3交于点M .
（Ⅰ）求椭圆错误！未找到引用源。的离心率； （Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （5）B
（2）D （6）A
（3）B （7）C
（4）C （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）-1 （11）
（10）log 25 （12
（14）乙
数学
π 4
（13）7
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：
（Ⅰ）因为f (x ) =sin x x
=2sin(x +) 3
所以f (x ) 的最小正周期为2π （Ⅱ）因为0≤x ≤
π
2πππ
，所以≤x +≤π 333
π2π当x +=π，即x =时，f (x ) 取得最小值
33
2π
2π
]上的最小值为f () =所以f (x ) 在区间[0,33
（16）（共13分） 解：
（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d
因为a 4-a 3=2，所以d =2
又因为a 1+a 2=10，所以2a 1+d =10，故a 1=4 所以a n =4+2(n -1) =2n +2 (n =1,2,...)
（Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q
因为b 2=a 3=8, b 3=a 7=16 所以q =2, b 1=4 所以b 6=4⨯26-1=128 由128=2n +2得n =63 所以b 6与数列{a n }的第63项相等 （17）（共13分） 解：
（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购
买乙和丙的概率可以估计为
200
=0.2 1000
（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200为
顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
100+200
=0.3
1000
200
=0.2， 1000
100+200+300
=0.6， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
1000100
=0.1， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。 （18）（共14分） 解：
（Ⅰ）因为O , M 分别为AB , VA 的中点，
所以OM //VB
又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB //平面MOC
（Ⅱ）因为AC =BC ，O 为AB 的中点，
所以OC ⊥AB
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB 所以平面MOC ⊥平面VAB
（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB
中，AC =BC =
所以AB =2, OC =1
所以等边三角形VAB
的面积S ∆VAB 又因为OC ⊥平面VAB ，
所以三棱锥C -
VAB 的体积等于OC S ∆VAB =
13又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等， 所以三棱锥V -
ABC 的体积为
（19）（共13分） 解：
3
x 2
-k ln x (k >0) 得 （Ⅰ）由f (x ) =2
k x 2-k
f '(x ) =x -=
x x
由f '(x ) =
0解得x =
f (x ) 与f '(x ) 在区间(0,+∞) 上的情况如下：
所以，f (x
) 的单调递减区间是
，单调递增区间是+∞) ；
f (x
) 在x =
f =
k (1-ln k )
2
k (1-ln k )
， 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) 在区间(0,+∞
) 上的最小值为f =
因为f (x ) 存在零点，所以
k (1-ln k )
≤0，从而k ≥e 2
当k =e 时，f (x
) 在区间
上单调递减，且f =0，
所以x =
f (x
) 在区间上的唯一零点。
1e -k >0, f =
当k >e 时，f (x
) 在区间
上单调递减，且f (1)=所以f (x
) 在区间上仅有一个零点。
综上可知，若f (x ) 存在零点，则f (x
) 在区间上仅有一个零点。
（20）（共14分） 解：
x 2
+y 2=1
（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为3
所以a b =1, c =所以椭圆C
的离心率e =
c =
a （Ⅱ）因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴，所以可设A (1, y 1), B (1, -y 1)
直线AE 的方程为y -1=(1-y 1)(x -2) 令x =3，得M (3,2-y 1) 所以直线BM 的斜率k BM =
2-y 1+y 1
=1
3-1
（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行。证明如下：
当直线AB 的斜率不存在时，有（Ⅱ）可知k BM =1
又因为直线DE 的斜率k DE =
1-0
=1，所以BM //DE 2-1
当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =k (x -1)(k ≠1) 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则直线AE 的方程为y -1=
y 1-1
(x -2) x 1-1
令x =3，得点M (3,
y 1+x 1-3
)
x 1-2
⎧x 2+3y 2=3, 2222由⎨得(1+3k ) x -6k x +3k -3=0 ⎩y =k (x -1)
6k 23k 2-3
, x 1x 2=所以x 1+x 2=
1+3k 21+3k 2
直线BM 的斜率k BM
y 1+x 1-3
-y 2
x 1-2=
3-x 2
因为k BM -1=
k (x 1-1) +x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2) -(3-x 2)(x 1-2)
(3-x 2)(x 1-2) (k -1)[-x 1x 2+2(x 1+x 2) -3]
(3-x 2)(x 1-2)
=
-3k 2+312k 2
(k -1)(+-3) 22
= (3-x 2)(x 1-2) =0
所以k BM =1=k DE 所以BM //DE
综上可知，直线BM 与直线DE 平行。