典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。
鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
典型鸡兔同笼问题详解
例1鸡兔同笼是我国古代的著名趣题。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载着“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成通俗易懂的内容如下：
鸡兔共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？经梳理，对于这一类问题，总共有以下几种理解方法。
（1）站队法
让所有的鸡和兔子都列队站好，鸡和兔子都听哨子指挥。那么，吹一声哨子让所有动物抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）那么再吹一声哨子，然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24
兔：24÷2=12（只）；鸡：35-12=23（只）
（2）松绑法 由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个，因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚。 那么，兔子就成了2只脚。则捆绑后鸡脚和兔脚的总数：35×2=70（只）
比题中所说的94只要少：94-70=24（只）。 现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，不断地一个一个地松开绳子，总的脚数则不断地增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，
因此兔子数：24÷2=12（只）从而鸡数：35-12=23（只）
（3）假设替换法
实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似，只不过是换种方式进行理解。
假设笼子里全是鸡，则应有脚70只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一只兔子替代鸡，则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。
兔子数=（实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）
与前相似，假设笼子里全是兔，则应有脚120只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。每一只鸡替代兔子，则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量，即2只。
鸡数=（每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）
将上述数值代入方法（1）可知，兔子数为12只，再求出鸡数为23只。
将上述数值代入方法（2）可知，鸡数为23只，再求出兔子数为12只。
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
鸡的只数 50-35=15 （只）
由计算值可知，两种替代方法得出的答案完全一致，只是顺序不同。由替代法的顺序不同可知，求鸡设兔，求兔设鸡，可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤。
（4）方程法
随着年级的增加，学生开始接触方程思想，这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。
解：设兔有x 只，则鸡有（35-x ）只
4x+2（35-x ）=94
4x+70-2x=94
x=12
注：方程结果不带单位
从而计算出鸡数为35-12=23（只）
以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法，在没有接触方程思想之前，用前三种方式进行理解。在接触方程思想之后，则可以用第四种方法进行学习。
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量
关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式 （部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各
数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应
给数 最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度
从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，
则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为 ，汽车从乙
地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为
2 ÷ =75 （千米）
（2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，
其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一
问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为
标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）
总数量÷单一量=份数（反归一）
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少
天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）
（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位
数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，
和反比例算法彼此相通。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量×单位个
数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归
总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单
一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）
（4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题
叫做和差问题。
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另
一个数。
解题规律：（和＋差）÷2 = 大数 大数－差=小数
（和－差）÷2=小数 和－小数= 大数
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，
这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9
4 － 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之
前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，
叫做和倍问题。
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标
准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）
与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。
解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车
和小汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与
（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。
列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所
剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙
绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…
乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）…剪去的长度。
（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问
题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，
了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律：相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
同时同地相背而行：路程=速度和×时间。
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。
同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。
例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几
小时追上乙？
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时）
（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速：船在静水中航行的速度。
水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。
解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2
流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）。
（9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。
（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树, 那么：
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树, 另一端不要植树, 那么：
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树, 那么：
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋
了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ）÷
（ 201-1 ） =75 （米）
（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，
平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或
两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏
问题。
解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求
两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配
者的数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，
如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多
出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷
（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。
（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄
问题”。
解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁
不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的
问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父
子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前
父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）
置换问题
题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。
例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。
列式：（2000－1880）÷（20－10） ＝120÷10 ＝12（张）→10分一张的张数
100－12＝88（张）→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。
小学六年级数学总复习归类
主要内容
求一个数比另一个数多（少）百分之几、纳税问题
考点分析
1、一个数比另一个数多（少）百分之几 = 一个数比另一个数多（少）的量÷另一个数。
2、应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率，应纳税额 = 收入 × 税
率
典型例题
例1、（解决“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题）
向阳客车厂原计划生产客车5000辆，实际生产5500辆。实际比计划多生产百分之几？
分析与解：要求“实际比计划多生产百分之几”，就是求实际比计划多生产的辆数占计划产量的百分之
几，把原计划产量看作单位“1”。两者之间的关系可用线段图表示。
计划产量
5000辆 实际比计划多的
实际产量 解答：方法1：
5500 – 5000 = 500（辆） …… 实际比计划多生产500辆
500 ÷ 5000 = 0.1 = 10％ …… 实际比计划多生产百分之几
方法2：
5500 ÷ 5000 = 110％ …… 实际产量相当于原计划的110％
110％ - 100％ = 10％ …… 实际比计划多生产百分之几
答：实际比计划多生产10％。
例2、（解决“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题）
向阳客车厂原计划生产客车5000辆，实际生产5500辆。计划比实际少生产百分之几？
分析与解：要求“计划比实际少生产百分之几”，就是求计划比实际少生产的辆数占实际产量的百分之
几，把实际产量看作单位“1”。两者之间的关系可用线段图表示。
计划产量5000辆计划比实际少的
实际产量
5500辆
解答：方法1：
5500 – 5000 = 500（辆） …… 计划比实际少生产500辆
500 ÷ 5500 ≈ 9.1％ …… 计划比实际少生产百分之几
方法2：
5500 ÷ 5500 ≈ 90.9％ …… 计划产量相当于实际的90.9％
100％ - 90.9％ ≈ 9.1％ …… 计划比实际少生产百分之几
答：计划比实际少生产9.1％。
点评：想一想，在分数乘法应用题中的最基本的数量关系式：“单位1 × 分率 = 分率对应的量”，
如果和百分数应用题结合起来，求一种量比另一种量多（少）百分之几，实际上就是求分率。
就用“多（少）的量 ÷ 单位1”。
例3、（难点突破）
一筐苹果比一筐梨重20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻（）％
分析与解：苹果比梨重20％，表示苹果比梨重的部分占梨的20％，把梨的质量看作单位“1”；而梨比
苹果轻20％则表示梨比苹果轻的部分占苹果的20％，把苹果的质量看作单位“1”，两个单
位“1”不同，切忌将两个问题混为一谈。一筐苹果比一筐梨重20％，是把梨看作单位“1”，
梨有100份，苹果就是100 + 20 = 120份；一筐梨比一筐苹果轻百分之几 = 一筐梨比一
筐苹果轻的部分 ÷ 苹果 = （120 - 100）÷ 120≈16.7％
答：一筐苹果比一筐梨重20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻16.7％
点评：在求一个数比另一个数多（少）百分之几的百分数应用题中，关键还是要找准单位“1”的
量。从结论可以得出“一个数比另一个数多百分之几，另一个数就比一个数少百分之几。”这
句话是错的。为什么呢？把两个百分之几比较一下，就可以得出这两个百分之几对应的量是
一个数比另一个数多的量或另一个数比一个数少的量，而这两种说法是相同的，也就表示的
是同一个量；而单位“1”一个是梨，一个是苹果，所以这两个百分之几是不可能相等的。
例4、（考点透视）
一种电子产品，原价每台5000元，现在降低到3000元。降价百分之几？
分析与解：降低到3000元，即现价为3000元，说明降低了2000元。求降价百分之几，就是求降低的
价格占原价的百分之几。
5000 – 3000 = 2000（元）
2000 ÷ 5000 = 40％
答：降价40﹪。
例5、（考点透视）
一项工程，原计划10天完成，实际8天就完成了任务，实际每天比原计划多修百分之几？
1分析与解：根据“原计划10天完成”，可以得到：原计划每天完成这项工程的；根据“实际8天完110成”，可以得到：实际每天完成这项工程的。用“实际比原计划每天多完成的量 ÷ 原计8划每天完成的量”，就可以求出实际每天多修百分之几。
111（ - ） ÷ = 25％ 81010
答：实际每天比原计划多修25％。
点评：找准解决问题的数量关系式是解答好这一题的关键，题目中要求的是每天完成的任务量，
而不能用10和8去求，因为10和8是工作时间，在解答时容易发生错误。
例6、（应纳税额的计算方法）
益民五金公司去年的营业总额为400万元。如果按营业额的3％缴纳营业税，去年应缴纳营业税多少万元？
分析与解：如果按营业额的3％缴纳营业税，是把营业额看作单位“1”。 缴纳营业税占营业额的
3％，即400万元的3％。求一个数的百分之几是多少，也用乘法计算。计算时可将百分数化
成分数或小数来计算。
3400×3％ = 400× = 12（万元） 100或400×3％ = 400×0.03 = 12（万元）
答：去年应缴纳营业税12万元。
点评：在现实社会中，各种税率是不一样的。应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分之几是
多少。
例7、（和应纳税额有关的简单实际问题）
王叔叔买了一辆价值16000元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳10％的车辆购置税。王叔叔买这辆摩托车一共要花多少钱？
分析与解：王叔叔买这辆摩托车所需的钱应包含购买价和10％的车辆购置税两部分，而车辆购置税是
占摩托车购买价的10％，可先算出要缴纳的车辆购置税。也可以这样想：车辆购置税占购
买价的10％，把购买价看作单位“1”，王叔叔买这辆摩托车所需的钱相当于购买价的（1 +
10％），即求16000元的110％是多少，也用乘法计算。
方法1：16000 ×10％ + 16000 = 1600 + 16000 = 17600（元）
方法2：16000 ×（1 + 10％） = 16000 ×1.1 = 17600（元）
答：王叔叔买这辆摩托车一共要花17600元钱。
例8、扬州某风景区2007年“十一”黄金周接待游客9万人次，门票收入达270
万元。按门票的5％缴纳营业税计算，“十一”黄金周期间应缴纳营业税0.45万元。
分析与解：营业税是按门票的5％缴纳，是占门票收入的5％，而不是占游客人数的5％
答：“十一”黄金周期间应缴纳营业税13.5万元。
（二）
主要内容：
应用百分数解决实际问题：利息、折扣问题
考点分析
1、存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息占本金的百
分率叫做利率。
2、利息=本金×利率×时间。
3、几折就是十分之几，也就是百分之几十。
4、商品现价 = 商品原价 × 折数。
四、典型例题
例1、
％。
税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间
500 × 5.22％ × 3 = 78.3（元）
答：到期后应得利息78.3元。
例2、（解决税后利息）
根据国家税法规定，个人在银行存款所得的利息要按5％的税率缴纳利息税。例1中纳税
后李明实得利息多少元？
分析与解：从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。
税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（1 - 5％）
500 × 5.22％ × 3 = 78.3（元） …… 应得利息
78.3 × 5％ = 3.915（元） …… 利息税
78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39（元） …… 实得利息
或者 500 × 5.22％ × 3 × （1 - 5％） = 74.385（元）≈ 74.39（元）
答：纳税后李明实得利息74.39元。
例3、方明将1500元存入银行，定期二年，年利率是4.50％。两年后方明取款时要按5％缴纳 利
息税，到期后方明实得利息多少元？
正确解答：1500 × 2 × 4.50％ ×（1 - 5％） = 128.25（元）
答：到期后方明实得利息128.25元。
点评：求利率根据实际情况有时要扣掉利息税，根据国家规定利息税的税率是5％，所以利息分税
前利息和税后利息，在做题时要注意区分。但也有一些是不需要缴利息税的，比如：国家建设债券、教育储蓄等。
例4、（求折扣）一本书现价6.4元，比原价便宜1.6元。这本书是打几折出售的？
分析与解：打了几折是求实际售价是原价的百分之几，只要用实际售价除以原价。
6.4 + 1.6 = 8（元）
6.4 ÷ 8 = 80％ = 八折
答：这本书是打八折出售的。
点评：几折就是百分之几十，几几折就是百分之几十几，同一商品打的折数越低，售价也就越低。
在折数的题目中，打几折就是按原价的百分之几十出售，它并不代表增加或减少的数额。 例5、（已知折扣求原价）
“国庆”商场促销，一套西服打八五折出售是1020元，这套西服原价多少元？
分析与解：打八五折出售，即实际售价相当于原价的85％。已知原价的85％是1020元，要求原价
是多少，可以列方程解答。
原价 × 85％ = 实际售价
解：设这套西服原价ｘ元。
ｘ × 85％ = 1020
ｘ = 1020 ÷ 85％
ｘ = 1200
检验：（1）用现价除以原价看是否打了八五折。
1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85％
（2）看原价的85％是不是1020元。
1200 × 85％ = 1020（元）
经检验，答案符合题意。
答：这套西服原价1200元。
例6、一台液晶电视6000元，若打七五折出售，可降价2000元。
分析原因：6000元为原价，打七五折出售，要先算出实际售价再相减，或者先算出降价部分占原
价的25％。
正确解答：6000 - 6000×75％ = 1500（元）
或6000×（1 - 75％） = 1500（元）
答：可降价1500元。
例7、（和应纳税额有关的简单实际问题）
一批电冰箱，原来每台售价2000元，现促销打九折出售，有一顾客购买时，要求再打九折，如果能够成交，售价是多少元？
分析与解：“促销打九折出售”就是按原价的百分之九十出售，用“原价×90％”，“再打九折”是
在促销价的基础上打九折，要用促销价乘90％。
2000× 90％ × 90％
= 1800× 90％
= 1620（元）
答：如果能够成交，售价是1620元。
点评：题目的关键是“再打九折”表示的意思是在促销价的基础上再打九折，单位“1”的量
是促销价，即原价打九折后的价钱，这是易错点，要多加注意。
例8、（考点透视）
商店以40元的价钱卖出一件商品，亏了20％。这件商品原价多少元，亏了多少元？
分析与解：以40元的价钱卖出，说明实际售价是40元；亏了20％，即亏了原价的20％，因此实
际售价相当于原价的（1 - 20％）。
解：设这件商品原价ｘ元。
ｘ × （1 - 20％） = 40
ｘ × 80％ = 40
ｘ = 50
50 × 20％ = 10（元）
答：这件商品原价50元，亏了10元。
例9、（考点透视）
某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件盈利20％，另一件亏本20％。这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？
分析与解：盈利20％，即售出价是成本价的（1 + 20％）；亏本20％，即售出价是成本价的（1 - 20％）。
两件商品的售出价都是30元，可分别算出两件商品的成本价。
30 ÷（1 + 20％）= 25（元）
30 ÷（1 - 20％）= 37.5（元）
25 + 37.5 = 62.5（元）
62.5 – 60 = 2.5（元）
答：这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本2.5元。
（三）
主要内容
列方程解稍复杂的百分数实际问题
考点分析
1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。
2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。根据求一个数的
百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。 3、“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间的相
等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。 4、灵活运用本单元所学知识，、解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分数应用题之间的
联系。 典型例题 例1、（列方程解答和倍问题）
一根绳子长48米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的60％。甲、乙两绳各长多少米？ 分析与解：乙绳长度是甲绳的60％，把甲绳长度看作单位“1”。
ｘ米
甲绳
（ ）米米
乙绳乙绳是甲绳的60％
等量关系式：甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答：设甲绳长ｘ米，则乙绳长60％ｘ米。 ｘ + 60％ｘ = 48 1.6ｘ = 48 ｘ = 30
60％ｘ = 30 × 60％ = 18
答：甲绳长30米，则乙绳长18米。 检验：30 + 18 = 48（米），符合甲、乙两绳共长48米。
18 ÷ 30 = 60％，符合乙绳长度是甲绳的60％。 例2、（列方程解答差倍问题）
体育馆内排球的个数是篮球的75％，篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个？ 分析与解：排球的个数是篮球的75％，是把篮球个数看作单位“1”。
ｘ个
篮球
6个
排球
排球的个数是篮球的75％
等量关系式：篮球 – 排球 = 6个
解答：设篮球有ｘ个，则排球有75％ｘ个。 ｘ - 75％ｘ = 6 0.25ｘ = 6 ｘ = 24
75％ｘ = 24 × 0.75 = 18 答：篮球有24个，排球有18个。
你会自己检验吗？ 检验：24 - 18 = 6（个），符合篮球比排球多6个。
18 ÷ 24 = 75％，符合排球的个数是篮球的75％。
点评：在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况下设单位“1”
的量为ｘ，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出另一个量，最后根据它们的和或差列出方程。 例3、六年级男生比女生少40人，六年级女生人数相当于男生人数的140％，六年级男生有多少人？ 错误解法：设：女生有ｘ人，男生就有140％ｘ人。
140％ｘ - ｘ = 40
0.4ｘ = 40
ｘ = 100 140％ｘ = 100 × 1.4 = 140 分析与解：根据“六年级女生人数相当于男生人数的140％”，可以把男生人数看作单位“1”的量，
设男生人数为ｘ人，女生人数就是140％ｘ人，再根据“六年级男生比女生少40人”，可以得出数量关系式：“女生人数 – 男生人数 = 40”，根据此数量关系式列出方程。
正确解答：设男生有ｘ人，女生就有140％ｘ人。
140％ｘ - ｘ = 40
0.4ｘ = 40
ｘ = 100答：男生有100人。
点评：解错此题的原因是单位“1”的量找错了，要记住找单位“1”的量时候，首先要去找分率（百
分率），因为没有分率就没有单位“1”的量，就不能看到“比”，而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。 例4、（列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题）
白兔有36只，比灰兔少20％。灰兔有多少只？ 分析与解：白兔比灰兔少20％，把灰兔看作单位“1”。
? 只
灰兔
¦
¦
白兔比灰兔少20％
等量关系式：灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答：设灰兔有ｘ只。 ｘ - 20％ｘ = 36 0.8ｘ = 36 ｘ = 45 答：灰兔有45只。
检验：45 – 45 × 20％ = 36 或 （45 – 36）÷ 45 = 20％，符合题意。
例5、（列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题） 白兔有48只，比灰兔多20％。灰兔有多少只？
分析与解：白兔比灰兔多20％，把灰兔看作单位“1”。
只
灰兔
¦比灰兔多20％
白兔48只
等量关系式：灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答：设灰兔有ｘ只。 ｘ + 20％ｘ = 48 1.2ｘ = 48 ｘ = 40 答：灰兔有40只。
检验：40 + 40 × 20％ = 48 或 （48 – 40）÷ 40 = 20％，符合题意。
点评：和前面例题一样，都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量，看问
题求什么，确定用什么方法计算。 例6、（难点突破）
某商品如果按现价18元出售，则亏了25％，原来成本是多少元？如果想盈利25％，应按多少元出售该商品？
分析与解：不管是亏25％，还是盈利25％，单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品
的成本。18元亏25％，说明18元比成本少25％，即是成本的（1 - 25％）。盈利25％，说明盈利的是原来成本的25％，实际售价是原来成本的（1 + 25％）。
解答：设原来成本是ｘ元。 ｘ - 25％ｘ = 18 0.75ｘ = 18 ｘ = 24
24 × （1 + 25％） = 30（元）
答：原来成本是24元，应按30元出售该商品。
点评：通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定好单
位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。 例7、（考点透视）
水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的22％，第二次运进1.5吨，两次共运进这批水果的62％，这批水果一共有多少吨？
分析与解：根据题意可以画出下面的线段图：
62％
第一次22％ 1.5吨
“1”? 吨
从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5吨，单位“1
”的量是这批水
果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了62％ｘ吨，第一次运进了22％ｘ吨。 解：设这批水果一共有ｘ吨。
62％ｘ - 22％ｘ = 1.5
40％ｘ = 1.5 ｘ = 3.75
答：这批水果一共有3.75吨。
点评：在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件变得简洁，找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候，要先找准单位“1”的量，用一根线段表示出单位“1”的量之后，再去表示其他的量。
（四）主要内容圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积
考点分析1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面还有一个曲面，叫做圆柱的侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高
5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 典型例题 例1、（圆柱和圆锥的特征）圆柱和圆锥分别有什么特点？
分析与解：长方体和正方体的六个面都是平面图形（长方形或正方形），而圆柱和圆锥除了底面是
平面图形（圆）外，都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。
例2、求下面立体图形的底面周长和底面积。
3厘米 直径10米
分析与解：根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。
圆柱：底面周长 3.14 × 3 × 2 = 18.84（厘米）
底面积 3.14 × 3 ² = 28.26（平方厘米） 圆锥：底面周长 3.14 × 10 = 31.4（米）
底面积 3.14 ×（10÷2）² = 78.5（平方米）
点评：圆柱和圆锥的底面都是圆，在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算公
式进行计算。
例3、判断：圆柱和圆锥都有无数条高。
正确解答：错误
点评：圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有无数条
高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点，所以圆锥只有一条高。 例4、（圆柱的侧面积）体育一个圆柱，底面直径是5厘米，高是12厘米。求它的侧面积。 分析与解：
高
沿着圆柱侧面的一条高剪开，将侧面展开，就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。因此，用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方形的面积，即圆柱的侧面积。
解答： 3.14 × 5 × 12 = 188.4（平方厘米） 答：它的侧面积是188.4平方厘米。
点评：圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化的
思想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面积就是这个圆柱的侧面积。 例5、（圆柱的表面积）
做一个圆柱形油桶，底面直径是0.6米，高是1米，至少需要多少平方米铁皮？（得数保留整数）
分析与解：求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的和。
解答：底面积：3.14 ×（0.6÷
侧面积：3.14 × 0.6 × 1 = 1.884（平方米）
表面积：0.2826 × 2 + 1.884 = 2.4492（平方米）≈ 3（平方米） 答：至少需要铁皮3平方米。
点评：这里不能用四舍五入法取近似值。因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多一些。
因此这儿保留整数，十分位上虽然是4，但也要向个位进1。
例6、（辨析）一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是30厘米，高是50厘米。做这样一个水桶，
至少需用铁皮6123平方厘米。
分析与解：题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶，只有一个底面。在计算铁皮面积时只要用圆柱的
侧面积加上一个底面的面积。
解答：底面积：3.14 ×（30÷2）² = 706.5（平方厘米）
侧面积：3.14 × 30 × 50 = 4710（平方厘米） 表面积：706.5 + 4710 = 5416.5（平方厘米） 答：做这样一个水桶，至少需用铁皮5416.5平方厘米。
例7、（考点透视）一个圆柱的侧面积展开是一个边长15.7厘米的正方形。这个圆柱的表面积是多
少平方厘米？
分析与解：圆柱的侧面积展开是一个正方形，即圆柱的高和底面周长都是15.7厘米。根据圆柱的
底面周长可以算出底面积。
解答：底面半径：15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5（厘米） 底面积：3.14 × 2.5 ² = 19.625（平方厘米）
侧面积：15.7 × 15.7 = 246.49（平方厘米）
表面积：19.625 × 2 + 246.49 = 285.74（平方厘米）
答：这个圆柱的表面积是285.74平方厘米。 例8、（考点透视）一个圆柱形的游泳池，底面直径是10米，高是4米。在它的四周和底部涂水泥，
每千克水泥可涂5平方米，共需多少千克水泥？
分析与解：要求水泥的质量，先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥，涂水泥
的面积是一个底面积加上侧面积。
解答：
侧面积：3.14 × 10 × 4 = 125.6（平方米） 底面积：3.14 × （10 ÷ 2）² = 78.5（平方米） 涂水泥的面积：125.6 + 78.5 = 204.1（平方米） 水泥的质量：204.1 ÷ 5 = 40.82（千克）
答：共需40.82千克水泥。
例9、（考点透视）把一个底面半径是2分米，长是9分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段圆
柱形木头，表面积增加了多少平方分米？
分析与解：锯圆柱形木头，表面积增加的部分是若干个相同的底面积。锯成三段，要锯两次，每锯
一次增加两个面，锯了两次增加了四个面。 3.14 × 2 ² × 4 = 50.24（平方分米）
答：表面积增加了50.24平方分米。 点评：这是一道在实际生活中应用的题目，对于这一类题目，它的规律就是每切一次就增加两个面。
但切的方式不同，增加的面也不同。如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分，增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。
（六）主要内容比例的意义和基本性质
考点分析1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。
典型例题 例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）
C
（1）长方形A 的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B 的长是3厘米，宽是2厘米。这两个长方
形的长有什么关系？宽呢？
（2）如果要把长方形A 按 1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？
分析与解：（1）长方形B 的长是长方形A 的2倍，宽也是长方形A 的2倍。或者说长方形B 和长方
形A 长的比是2:1，宽的比也是2:1。
把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:1，就是把长方形A 的长和宽按2:1的比进行放大。
1
（2）把长方形A 按1:2的比缩小后为长方形C ，长、宽缩小为原来的，图C 的长是0.75
2
厘米，图C 的宽是0.5厘米。
由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。
例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按3:2的比画出长方形A 放大后的图形B ，再按1:2的比画出长方形A 缩小后的图形C 。（1）
分析与解：（1）按3:2的比将长方形A 放大，即将长方形A 的长与宽分别扩大1.5倍，那么图B
的长为6×1.5 = 9格，宽为4×1.5 = 6格。（2）按1:2的比将长方形A 缩小，即将长
1
方形A 的长与宽分别缩小到原来的，那么图C 的长为6÷2 = 3格，宽为4÷2 = 2格。
2
（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。
点评：按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的
长度，画出图形就行了。
例3、（将两个相等比写成一个等式）
图B 是由图A 放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个比，你有什么发现？
3厘米
厘米
分析与解：（1）图A 中长与宽的比是4:3；图B 中长与宽的原始比是8:6，而8:6化简后就是4:3。
（2）这两个比化简后都是4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即
48
4:3 = 8:6或 = ，都读作：4比3 等于 8比6。
36
例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）
如果把3.6 ：3 = 4.8 ：4改写成分数形式
结果也相等。
3. 64. 8
= ，等号两边的分子、分母分别交叉相乘，34
如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d，
那么这个规律可表示成ad = bc 或 bc = ad。
例6、（比例基本性质的应用）根据2 × 7 = 1.4 × 10这个等式写出几个比例。
分析与解：根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项，要
么同时是比例的内项。
1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10 10 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.4 2 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7 7 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2
点评：像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，
而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。
例7、（按比例放大的含义）
王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？
4厘米
5厘米
分析与解：按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段的厘
米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4
例8、（解比例）上图中宽是多少厘米？
分析与解：在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式的性质
来解答。
解：设宽是ⅹ厘米。 12.5 : 5 = ⅹ : 4
5ⅹ = 12.5 × 4 ┈┈ 根据比例的基本性质 5ⅹ = 50 ⅹ = 10
答：放大后图片的宽是10厘米。
点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。 （七） 主要内容
比例尺、面积变化、确定位置 考点分析
1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2、比例尺 =
图上距离
，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。
实际距离
1
3、把一个平面图形按照一定的倍数（n ）放大或缩小到原来的几分之一（）后，放大（或缩小）
n
后与放大（或缩小）前图形的面积比是n ²:1（或1:n²）。
4、知道 了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。
5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。
6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 典型例题： 例1、（认识比例尺）
王伯伯家有一块长方形的菜地，长40米，宽30米。把这块菜地按一定的比例缩小，画在平面图上长4厘米，宽3厘米。你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗？
分析与解：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。
40米 = 4000厘米 3厘米 = 0.03米
410. 0331
= = = [***********]
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离
图上距离 : 实际距离 = 比例尺或 = 比例尺
实际距离
图上距离和实际距离的比是1:1000，这幅图的比例尺是1:1000，也可写成
1
，仍读作1比1000
1000。
点评：求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的就是末尾0的问题：一
是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上2、5个0；二是在求比例尺的结果时要注意0的个数。多数一数、想一想，是不会有错的。
例2、（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）
比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？图上1厘米表示实际距离多少米？
1
分析与解：比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的，实际距离是图上距离的1000倍，图
1000
上1厘米的距离代表实际距离1000厘米，即10米。
像形如1:1000这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺1:1000还可以这样表示
0 10 20 30米
，这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表实际距离10米。
例3、一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是多少？ 错误解法：4厘米 = 40毫米 2 : 40 = 1 : 20 思路分析：无论什么样的图纸，比例尺始终是图上距离与实际距离的比，根据比例尺的定义，用“图
上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。
正确解答：4厘米 = 40毫米 40 : 2 = 20 : 1
点评：比例尺通常情况下都应该写成前项是1的比。但比例尺的作用除了把实际距离缩小，还可以
把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成1。在解答时，只要坚持好“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”，图上距离在前就可以了。
例4、（根据比例尺求图上距离或实际距离） 在比例尺是
1
的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.5厘米。两地的实际距离是多少米？ 60000
1
，说明实际距离是图上距离的60000倍。 60000
2.5×60000 = 150000（厘米） 150000（厘米）= 1500米
分析与解：方法1：比例尺是
方法2：比例尺是
1
，也就是图上1厘米的距离代表实际距离60000厘米，即60060000
米。
2.5×600 = 1500（米）
方法3：根据
图上距离
= 比例尺，可以用“图上距离 ÷ 比例尺”或“解比例”的方
实际距离
法来求实际距离。
1
= 2.5×60000 = 150000（厘米）= 1500米 60000
解：设两地的实际距离是ⅹ厘米。
2.5 ÷
1
60000
1ⅹ = 2.5 × 60000 ⅹ = 150000
150000（厘米）= 1500米
答：两地的实际距离是1500厘米。
例5、（平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍）
下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。
2. 5
=
分析与解：量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。
大长方形与小长方形长的比是7.5 : 2.5 = 3 : 1，宽的比是3 : 1。
37. 5⨯37. 5大长方形的面积
= = × = 9 : 1 = 3² : 1
12. 5⨯12. 5小长方形的面积
答：大长方形与小长方形面积的比是9 : 1。 正比例和反比例
1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 …… 因为单价 × 数量 = 总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。
2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X 页。
题中（ 纸的总页数 ）量一定，关系式：（ 每本页数 ） × （ 装订本数 ）＝（ 纸的总页数 ）（一定），（ 每本页数 ）和（ 装订本数 ）成（ 反 ）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y 块。
题中（ 会客室地面面积 ）量一定，关系式：（ 每块砖的面积 ）×（ 砖的块数 ）＝（ 会客室地面面积 ）（一定），（ 每块砖的面积 ）和（ 砖的块数 ）成（ 反 ）比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（ 侧面积 ）与（ 高 ）成（正）比例； 当高一定时，（ 侧面积 ）与（ 底面周长 ）成（正）比例； 当侧面积一定时，（ 底面周长 ）与（ 高 ）成（ 反 ）比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ 除数 ）一定时，（ 被除数 ）与（ 商 ）成正比例； 当（ 被除数 ）一定时，（ 除数 ）与（ 商 ）成反比例； 6、当 a × b ＝ c （ a 、b 、c 为三种量，且均不为0）。 ( c ) 一定，（ a ）与（ b ）成（ 反 ）比例； （ a ）一定，（ c ）与（ b ）成（ 正 ）比例； （ b ）一定，（ c ）与（ a ）成（ 正 ）比例； 解决问题的策略 典型例题 例1、（运用转化的策略巧算周长）求下面图形的周长。（单位：厘米）
分析与解：求这个图形的周长，就是求围成这个图形的所有线段的长度和。图中有的线段的长度不知道，可以将
其中的4条线段进行平移（如下图），平移之后形成一个长方形，长方形的周长和原来图形的周长是相等的。因此求原来图形周长的问题就转化成了求下图这个长方形的周长。
解答：（20 + 7 +3）× 2 = 60（厘米）
点评：通过相等面积的代换转化，把一些不规则的图形转化为规则的、容易判断的图形，这就是转化的优点，在解答时要灵活运用。
例2、（将复杂的图形转化成简单的图形后计算面积）
如图1是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形。草地部分的面积有多大？
图1 图2
分析与解：求草地部分的面积，可以用大长方形的面积减去两条道路的面积，但要考虑两条道路的
重叠部分，因此计算比较复杂。可以将图1转化成图2，两条道路转化到了长方形草地的边上，很明显，图2草地部分（阴影部分）的面积和图1相等，现在求草地的面积转化成了求长方形的面积，计算比较简单。
解答：（16 - 2 ）× （10 - 2） = 112（平方米）
答：草地部分的面积是112平方米。
例3、（辨析）下面图形的周长可以转化成长15厘米、宽9厘米的长方形来计算，
即周长是（15 + 9）× 2 = 48（厘米）。
正确解答：（15 + 9）× 2 + 3 × 2 = 54（厘米）
例4、（已知两个量之间的分率关系与它们的和，求这两个量）
3
，购进的科技书和故事书一共1500册。购进科技书多少册？ 7
3
分析与解：这类有关分数的实际问题可以用方程来解答。需要注意的是根据“购进的科技书的册数是故事书的”
7
学校图书馆购进的科技书的册数是故事书的
故事书是单位“1”的量，要设故事书有ｘ册，而不能直接设科技书有ｘ册。
解答：方法1：设故事书有x 册，科技书有
X +
3
ｘ册。 7
3
x = 1500 710
x = 1500 7
x = 1050
33
x = × 1050 = 450 77
答：购进科技书450册。
很显然，上面解答过程比较复杂。可以这样想：把总数看作单位“1”，根据“购进的科技书的册数是故事书
33
”，可以把故事书看成7份，科技书有这样的3份，一共有10份，科技书占总数的 ；可以看出科技书710
3
和故事书的比是3 :7，根据按比例分配问题的解法，可以知道科技书占总数的。
10
33
方法2：3÷（3 + 7）= 1500 × = 450 （册）
1010
的
答：购进科技书450册。 例5、（辨析）红花的朵数比蓝花多蓝花： 红花：
分析与解：如图，根据“红花的朵数比蓝花多
22
，蓝花的朵数就比红花少。 77
2
”，蓝花是单位“1”的量，平均分成7份，红花有这样的9份。7
反过来，把红花看作单位“1”，红花平均分成了9份，蓝花相当于这样的7份，蓝花的朵数比红花少
2。 9
22，蓝花的朵数就比红花少。 79
37
例6、（综合题） 小明读一本书，已读的页数是未读页数的。他再读30页，这时已读的页数是未读页数的。
23
正确解答：红花的朵数比蓝花多
这本书共多少页？
分析与解：本题中已读的页数和未读的页数均发生了变化，不变的量是一本书的总页数，即已
读的页数和未读页数的和没有变，把这本书的总页数看作单位“1”。“已读的页数是未读页数的可以转化为“已读的页数是这本书总页数的转化为“已读的页数是这本书总页数的
解答： 3 ÷ （3 + 2）=
3
”，2
37”；再读30页后“已读的页数是未读页数的”，可以53
7”。 10
3 57
7 ÷ （7 + 3）=
1037
30 ÷ （ - ）= 300（页）
510
42
，新学期转出了4名女生，这时女生占全班人数的。六95
答：这本书共300页。
例7、（综合题） 六（1）班原来女生占全班人数的
（1）班现在有女生多少人？
分析与解：本题中女生人数和全班人数均发生了变化，不变的量是男生的人数，因此把男生的人数看作单位“1”。
44
”，可以转化为“女生人数是男生人数的”；转出若干名女生后，“女生占全95
22
班人数的”，可以转化为“女生人数是男生人数的”。
53
4
解答：4 ÷ （9 - 4）=
52
2 ÷ （5 - 2）=
3
42
4 ÷ （ - ）= 30（人）┈┈ 男生人数
532
30 × = 20（人） ┈┈ 现有女生人数
3
“女生占全班人数的
答：现在有女生20人。
点评：分率的转化过程通常要借助于份数，可以先分析出单位“1”的份数，再根据关系分析出另外的量的份数，
再结合具体的条件进行分率的转化。