判别式在中学数学解题中的应用

判别式在中学数学解题中的应用

摘 要

本文主要研究了判别式在代数和几何上的应用.代数方面主要介绍了判别式判别一元二次方程根的情况、证明等式与不等式、判断二次三项式在实数范围内是否能进行因式分解和求函数的值域与最值等方面的应用；几何方面介绍了判别三角形的形状、作图和在解析几何方面的应用.另外，还讨论了三角判别式在代数、方程、三角、数列、复数和解析几何中的应用，不过它的运用更加广泛，更具有技巧性，但它们的共同之处都是构造一元二次方程或一元二次函数，再根据一元二次方程的判别式进行解题.本文主要通过例题来阐述其用法，进而归纳总结出判别式法解题的思路和步骤.

关键词：判别式；方程 ；几何；应用

Discriminant in Middle School Mathematics Problem Solving

Abstract：This thesis mainly focused on researching the applying in algebra and geometry. In aspect of algebra, it will mainly introduce to the apply in the root situations of discriminant, in the equation and inequation proving , in solving the problem about the range of values as well as the most value including maxima and minima. In aspect of geometry, it will mainly analyze the applying in proving the shape of triangle, construction and in the field of analytic geometry. Besides, it also discussed the triangle discriminant the applying in algebra, equation, triangle, series, complex number and analytic geometry. But its apply is broader and more technical, meanwhile, they have something in common, that is, they are constructed one by one by a quadratic equation or quadratic functions, based on the discriminant of a quadratic equation to solve problems. In this article, it mainly employed examples to illustrate its usage, and obtain the thought and steps for discriminant problem solving.

Key word：discriminant；equation；geometry； apply

目 录

1引言 .................................................................... 1

2文献综述 ................................................................ 1

2.1国内外研究现状 ........................................................ 1

2.2国内外研究现状评价 .................................................... 1

2.3提出问题 .............................................................. 2

3.预备知识 ................................................................ 2

3.1一元二次方程判别式 .................................................... 2

3.2 三角判别式 ............................................................ 2

4一元二次方程判别式的应用 ................................................ 3

4.1判别式在方程中的应用 .................................................. 3

4.2判断二次三项式在实数范围内是否能进行因式分解 .......................... 6

4.3 判别式在函数中的应用 .................................................. 7

4.4证明不等式和等式 ...................................................... 8

4.5判别式在几何中的应用 ................................................. 10

5三角判别式的应用 ....................................................... 14

5.1三角判别式在代数中的应用 ............................................. 14

5.2三角判别式在方程中的应用 ............................................. 15

5.3三角判别式在三角中的应用 ............................................. 15

5.4三角判别式在数列中的应用 ............................................. 15

5.5三角判别式在复数中的应用 ............................................. 16

5.6三角判别式在解析几何中的应用 ......................................... 17

6结论 ................................................................... 17

6.1主要发现 ............................................................. 17

6.2启示 ................................................................. 18

6.3局限性 ............................................................... 18

6.4努力方向 ............................................................. 18

参考文献 ................................................................. 20

1 引言

大约在公元前480年，古巴比伦人、中国古人就会使用配方法求得一元二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法；公元前300年左右，欧几里德提出一种更抽象的几何方法求解二次方程；7世纪印度的仕伽罗是第一位懂得使用代数方程，同时容许正负根的数学家；阿拉伯的花拉子独立地发展了一套公式以求方程的正数解，第一次提出二次方程的求根公式，判别式也就随之被广泛运用在解一元二次方程上.

实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R，且a≠0）根的判别式在中学数学中占有重要地位，由于它与方程的系数和根都有密切的联系，因此涉及方程的根和系数的问题或能够转化成方程的根和系数的问题，都可以尝试用判别式法打开解题思路.这种用一元二次方程根的判别式解答数学问题的方法称为“判别式法”.

判别式法是数学解题中的一种常用方法，判别式通常是利用一元二次方程

，它不仅能直接用于判定一元二次方程的根的情况，而且还可以ax2+bx+c=0（a≠0）

根据一元二次方程根的情况确定方程中字母的取值范围或字母间的关系以及应用判别式证明方程根的情况，而且在二次三项式、几何等发面有着重要的应用.另外，判别式法作为一种数学解题方法，在解题过程中若能正确巧妙的运用，就能给人们一种简单明快、耳目一新的感觉.但是，若不能把握好使用判别式法解题的条件和本质特征，就会造成错误解法或优美解法在你眼皮底下悄悄溜走，因此熟练掌握它的各种方法，也可以提高解题能力和知识的综合应用能力.

2.文献综述

2.1国内外研究现状

近几年来许多人对判别式进行了研究。在查阅到的文献中，肖云瑞在文[1]中用集合和映射的方法对判别式在求值域方面进行了研究，得到了圆满的结果；唐覃在文[2]中归纳总结出判别式在求值范围、解方程、解方程组、证明等式与不等式、求极值上的运用；冉光华在文[3]中从判别式自身表现的不同特征探究其用方法，提出了直接法、极端用法、构造法、逆用法等；之后还有杨允泰、廖国卿、曾祥红、夏雨良、许连生、范长如、邓子良、李庆独等都对此问题进行了研究.

2.2国内外研究现状评价

在查到的文献中，不同作者从不同的方面对判别式的应用进行了研究，综合起来，不同作者在判别式的应用方面也提出了自己不同的见解，如肖云瑞用集合和映射的方法对判别式在求值域方面进行了研究等.虽然他们也得到了一定的研究成果，但在研究得到的结果涉及的方面过于狭窄，大多都只局限于判别式在方程的根的判别、代数、几何等方面的研究，没能把它的应用价值扩展到更为广泛的领域.这方面还需进一步完善.

2.3提出问题

本文借助前人的思想和方法着重研究了判别式在代数和几何上的应用.代数方面主要介绍了判别式在一元二次方程根的判别、证明等式与不等式和求函数的值域与最值等发面的应用.几何方面是判别三角形的形状、作图和在解析几何方面的应用；另外还讨论了三角判别式的应用.本文主要通过例题来阐述其用法，进而归纳总结出判别式法解题的思路和步骤.

3.预备知识

3.1一元二次方程判别式

定义1 任意一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）均可配成b2b2-4ac2(x+)=,因为，由平方根的意义可知，b-4ac的符号可决定一元a≠022a4a

二次方程根的情况,其中∆=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，则 （1）当∆>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当∆=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当∆

另外，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当x∈R时，当且仅当∆=b2-4ac≥0，方程有两实数根.

判别式法在数学解题中有着广泛应用，但学生往往忽视它成立的三个条件，否则将会出现错误：条件一：x∈R；条件二：二次项系数a≠0；条件三：系数a、b、c为实数.

3.2 三角判别式

定义2 三角方程asinx+bcosx+c=0(a、b不同时为零)

即a2+b2-c2≥0.若记∆=a2+b2-c2，并称其为“三角判别式”. ≥0，

定理1 对于三角方程asinx+bcosx+c=0(0≤x0时，方程有两个不同解；

②∆=0时，方程有唯一解；

③∆

4 一元二次方程判别式的应用

根的判别式在一元二次方程的解题中具有极其重要的地位，其主要用途有两个方面：一是不用解方程，根据判别式的值判断方程的实数根的情况；二是根据判别式的值证明方程根的情况；三是根据方程有无实数根的情况（通常涉及到根与系数的关系）确定方程中某一待定系数的取值范围，如果二次项系数中含有字母时，要特别注意加上二次项系数不为零这一限制条件.

4.1判别式在方程中的应用

（1）不解方程判别一元二次方程根的情况

思考方法：先算出∆的值，然后按下列三个结论作出判断，若有字母系数，则应该适当对字母系数的取值分类讨论：

①当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；

②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；

③当∆

例1 不解方程，判断下列方程根的情况：

223x+4x-1=0； （1）（2）mx+nx=0

解：（1）∵a=3 b=4 c=-1

22∆=b-4ac=4-4⨯3⨯(-1)=28>0 ∴

∴方程有两个不相等的实数根

（2）分两种情况：

①当m≠0时，方程是一元二次方程，常数项为零

2222∵∆=n-4⋅m⋅0=n且无论n取任何实数，n均为非负数（n≥0）

∴∆≥0，∴方程有两个实数根.

②当m=0时，方程为一元一次方程，此时若n≠0时，则方程有一个实数解；若n=0时，则方程有无数个实数解.

例2 已知关于二的方程了x2-2x-m+1=0没有实数根，试判断关于x的方程x2-(m+2)x+(2m+1)=0的根的情况.

解：∵方程x2-2x-m+1=0没有实数根

∴∆1=(-2)2-4(-m+1)=4m

当m

∆2=[-(m+2)]-4(2m+1)=m(m-4)>0 2

故此方程有两个不相等的实数根.

注：（1）根的判别式是指∆=b2-4ac≥0；（2）是用判别式之前一定要先把方程变为一般形式，以便正确找到a,b,c的值；（3）如果说方程有实根，即应当包括有两个不等实根或有两个相等的实根两种情况，此时∆≥0，切勿丢到等号；（4）跟的判别式b2-4ac的使用条件是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，有时要注意隐含条件a≠0.

（2）证明方程根的情况

例3 已知a，b，c是△ABC的三边长，求证关于x的一元二次方程c2x2+(a2-b2-c)2x+b2=0的根的情况.

证明：∵∆=(a2-b2-c2)-4b2c2 2

=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)

22=⎡a2-(b-c)⎤⎡a2-(b+c)⎤ ⎣⎦⎣⎦

=[a+b-c][a-b+c][a+b+c][a-b-c]

又a，b，c是△ABC的三边长,

∴a+b-c>0，a-b+c>0，a+b+c>0，a-b-c

∴∆

∴一元二次方程c2x2+(a2-b2-c2)x+b2=0没有实数根.

注：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式 ∆>0；有两个相等的实数根，则判别式 ∆=0；没有实数根，则判别式 ∆

（3）确定方程中参数的取值范围或参数的关系

例 4 若关于x的方程4x+a⋅2x+a+1=0有实根，求实数a的取值范围.

错解：方程可变为4x+a⋅2x+a+1=0，则

①．令t=2x，则t>0，原方程变形为t2+at+a+1=0

②．原方程①有实根，方程t2+at+a+1=0有正实根.由∆及根与系数关系得之⎧-a>0⎪⎨a+1>0，解不等式得-1

⎪∆≥0⎩

分析：方程①有实根，即方程②有正实根，也即方程②有一个正实根或两个正实根，并不要求方程②一定要有两个正实根.当a=-1时，方程②变为t2-t=0，方程②有正实根t=1，方程①有实根x=0.因此以上解法是错误的，还应考虑有一个正实根的情况，即方程②有一正一负两根，或一正根，另一根为0，此时a+1≤0，即a≤-1，所以正确

结果应为-1

1，即a≤2-本题还可采用分离参数的方法求实数a的取值范围.解法如下： 4x+1将方程变形为a=x，令t=2x，则t>0， 2+1

t2+12⎤⎡=-⎢(t+1)++2 故 a=-⎥t+1t+1⎣⎦

∵ t>0，∴ (

t+1)+2≥（当t=1时，取到“=”号）, t+

1

∴ 实数a的取值范围是

a≤2-.

4.2判断二次三项式在实数范围内是否能进行因式分解

我们知道,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根为x1、x2时，则二

次三项式ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内能进行因式分解，且有

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

反之，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则二次三项式ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内不能进行因为分解.因此，要判断二次三项式ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内能否进行因式分解，只需看相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式∆的符号即可.具体如下：

(1) ∆>0⇔二次三项式ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内可分解为两个一次因式的积；

(2) ∆=0⇔可按完全平方公式分解得ax2+bx+c=a(x-x1) （x1为相应方程的两

个等根中的一个）；

(3) ∆

(1) 3x2++2；

(2) x2+x-1

解：(1)

∵∆=-2(2-4⨯3⨯2=0

∴原式在实数范围内能因式分解，即

3x-+2=

(2)∵∆=12-4⨯1⨯(-1)=5>0 2 2

∴原式在实数范围内能因式分解

又方程x2+x-1=

0的两个根是：x1=

2，

x2=,

⎛∴x+x-1= xx. ⎝⎭⎝⎭

4.3 判别式在函数中的应用

（1）求函数的值域

a．求分式函数的值域

判别式法是求函数值域的主要方法之一，是方程思想在函数问题上的应用.它的理论依据是：函数的定义域是非空数集，将原函数看作是以y为参数的关于x的二次方程，若方程有实数解,必须判别式∆≥0，从而求得函数的值域.

x2-x+1例6 求函数y=2的值域. 2x-2x+3

解：原式变形为(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)

1时，方程(*)无解； 2

12（2）当y≠时，因为x∈R，所以∆=(2y-1)-4(2y-1)(3y-1)≥0, 2

31解得 ≤y

⎡31⎫由（1）、（2）得,此函数的值域为⎢⎪. ⎣102⎭

注:要注意判别式存在的前提条件，即需对方程的二次项a系数加以讨论.

b. 注意函数式y=f(x)变形中y的取值范围

例7 求函数

y=y=2x+的值域.

分析:方程①中隐含着条件4-x2≥0，虽定义域没发生变化，但y的允许取值范围

22⎧⎪(y-2x)=4-x扩大了.事实上，y受条件y≥2x约束,原函数等价于⎨，即y值属于值

⎪⎩y≥2x

x2)，域的充要条件是方程①有根(设由y值所确定的两根为x1、且y至少大于或等于2x1、

2x2中的一个.

解：由∆≥0,得

-y≤①

由求根公式得

x=

所以

y≥2即

≥-y,

解得

-4≤y≤②

综合①、②得函数值域为y∈⎡⎣-4,.

（2）求最值

例8 已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a2+4a-2=0 的两实根，那么 m2+n2 的最小值是分析：∵ m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，

2

∴∆=（2a）-4（a2+4a-2）≥0，解得 a≤12

根据根与系数的关系得 m+n=-2a，mn=a2+4a-2, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=(-2a)2-2(a2+4a-2)=2(a-2)2-4, 当 a=21 时，m2+n2 有最小值 21 .

注：利用根与系数的关系解题的前提条件是有实根，即判别式非负.

4.4证明不等式和等式

（1）证明不等式

例9 已知△ABC的面积是S，作一条直线l//BC且与AB，AC分别相交于D与E，设△BED的面积是k.

求证：k≤

1

S. 4

Al

B

证明：∵DE//BC

ADAE

==x（0

SAC

∴设

∴S△ABE=xS 又∵

kS△ABE

=

BDAB-AD

==1-x ABAB

∴S△ABE=

k 1-x

∴有等式k=(1-x)xS 即 Sx2-Sx+k=0（S≠0）

注意到此方程有实根，故∆=S2-4Sk≥0 ∵S>0 ∴k≤

1

S. 4

（2）证明等式

例10 如果a，b，c，d都是实数，且a2d2+b2(d2+1)+c2+2bd(a+c)=0. 求证：b2=ac.

证明：把整式整理成关于d的二次方程：

(a

∵d是实数

（1）当a2+b2≠0时，

2

+b2)d2+2b(a+c)+(b2+c2)=0

∆=4b2(a+c)-4(a2+b2)(b2+c2)

2

=-4(b2-ac)≥0

2

即 (b2-ac)≤0,

2

但 (b2-ac)≥0,

2

即 b2=ac.

（2）a2+b2=0时，由a=b=0，有b2=ac显然成立.

由此可见，判别式法的应用非常广泛.在解题过程中若能正确、巧妙的运用，会给人以简单明快的感觉，但若不能把握好判别式法解题的条件和本质特征，则会造成错误的解法或掉入“美丽”的陷阱，因此必须引起高度的重视.

4.5判别式在几何中的应用

（1）判别三角形的形状

已知关于三角形边长的代数式的一元二次方程有两个相等的实数根要求判定该三角形的形状，此类问题运用一元二次方程判别式进行判定时，可使题目化繁为简.利用从中求出三角形各边的关系，进而判定三角形的形状. ∆=0列出关于三角形边长的等式，

例11 已知三角形三边的长为a，b，c，且方程(c-b)x2+2(b-a)x+a-b=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.

解：由方程(c-b)x2+2(b-a)x+a-b=0有两个相等的实数根得

∆=⎡⎣2(b-a)⎤⎦-4(c-b)(a-b)=0,

2

即 4(a-c)(a-b)=0, 所以 a-c=0或a-b=0,

于是 a=c或a=b, 又二次项系数 c-b≠0，得c≠b, 所以a=c≠b或a=b≠c,

所以三角形为等腰三角形，而且不可能是等边三角形.

注：根据方程根的情况判定三角形的形状，一般从边的角度进行判定.

（2）用于几何作图

例12 已知上、下底边长分别为AD=a，BC=b，高EF=h的等腰梯形. ①在梯形的对称轴EF上求作点P，使上DP⊥PC； ②在什么样的情况下，P点的作图可以实现? 解：

B

C

①如图1，以CD为直径作半圆交EF于点P，则P点即为所求, ②设P点到BC的距离PF=x，则

DC2=PD2+PC2

=(ED2+EP2)+(PF2+PC2)

2⎛a⎫⎛b⎫

= ⎪+(h-x)+x2+ ⎪,

⎝2⎭⎝2⎭

2

2

⎛b-a⎫⎛b-a⎫2

=h+又 DC=EF+ ⎪ ⎪, 22⎝⎭⎝⎭

2

2

22

11212222

b-a=a+h-x+x+b, ()()444

1

整理 2x2-2hx+ab=0,

2

所以 h2+

求作P点的作图是否可以实现，显然取决于判别式∆=4h2-4ab=4(h2-ab), 若h2>ab，∆>0，则可以作出两点； 若h2=ab，∆=0，则可以作出一点； 若h2

注：综上所述，解题的关键是充分利用已知条件构造相应的一元二次方程，然后用根的判别式解决问题.

（3） 用于探究某些几何存在性问题

给定几何图形，探究满足某种条件的几何元素是否存在，此类问题应先假设满足某种条件的几何元素存在，再根据条件列出一元二次方程，如果方程有实数根就存在；否则就不存在.这样，此类几何问题就转化在了一元二次方程根的判别问题上，从而应用判别式就可轻松解决.

例13 如图所示，在矩形ABCD中，AD=a，CD=b，在AB上找一点E，使E点与C，D的连线将此矩形分成的是三个三角形相似.设AE=x，则这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？请说明理由.

解：要使Rt△ADE，Rt△BEC，Rt△ECD彼此相似，点E必须满足

∠ADE+∠BEC=

π

2

，为此，可假设在AB上存在满足条件的点E，使得

Rt△ADE～Rt△BE，C

于是

ADAE

=

BEBCax=， b-xa

而AE=x，于是BC=b-x， 所以

整理得x2-bx+a2=0,

因为∆=(-b)-4a2=(b+2a)(b-2a)，而b+2a>0，所以，当b-2a

2

∆=0，方程有两个相等的实数根，此时符合条件的点E存在，并且只有一个；当b-2a>0，即b>2a时，∆>0，方程有两个不相等的实数根，此时符合条件的点E存在，并且有两个.

综上所述，当b2a时，满足条件的点E有两个.

注：用判别式法探究几何存在性问题，关键是根据题意建立一元二次方程数学模型，然后通过讨论方程的根的个数来确定符合条件的几何元素是否存在及存在的个数. （4）在圆锥曲线中的应用

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于1点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.这3种位置关系的判定条件可归纳为:

设直线l：Ax+By+C=0，圆锥曲线c：F(x,y)=0，则

⎧Ax+By+C=0由⎨，消去y (或消去x)得：

F(x,y)=0⎩

ax2+bx+c=0 (*)

(1)当a≠0时,则∆=b2-4ac，此时∆>0 相交；∆=0 相切；∆

=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有1个公共点，求实数a的值. 例14 已知直线y　⎧=(a+1)x-1⎪y　解：由⎨2，得

⎪⎩y=ax

(a+1)y2-ay=0 ①

（1）当a+1=0，即a=-1时，方程①化为：y=-1，此时x=-1适合条件；

⎧a≠-14

（2）当a+1≠0时,由⎨，得a=0或a=-，

5⎩∆=0

4⎧⎫

综合（1）（2）知a∈⎨0,-,-1⎬时，直线和曲线只有1交点.

5⎩⎭

注：直线与抛物线、双曲线有1个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.

此外，如果已知所求的圆锥曲线到其对称轴上某定点的最近（远）距离，求圆锥曲线的标准方程，可以考虑判别式来求解.

例15 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x

轴上，离心率是

3

.已知点P(0,)到22

P

的点的坐标.

x2y2

解：设所求椭圆方程为2+2=1(a>b>0)，

abc2a2-b2

由e=2=，得a=2b，

aa2

2

∴x2=a2-4y2 （1）

3⎫⎛

又以P

x+ y-⎪=7 （2）

2⎭⎝

2

2

由题意可知，当椭圆①内切圆②时切点M,M1到点P的距离就是椭圆上的点到点

P的最大距离，由①、②可得3y2+3y-a2+

∵切点M,M1关于y轴对称

19

=0 （3） 4

19

∴M,M1的纵坐标相等，这相当于方程（3）有重根，由∆=9-12⨯(-a2)=0得

4a2=4

x2

+y2=1，由（2）∴所求椭圆方程为、（3）和a2=4可得M,M1的坐标为41⎫⎛

±,- ⎪.

2⎭⎝

5三角判别式的应用

5.1三角判别式在代数中的应用

例16 如果实数x、y满足(x-2)+y2=3,那么

1

（A）

2

2

y

的最大值是( ). x

解：由已，可设x=2+ 3cosθ， y= 3sinθ， 令

y

=k，则3sinθ- 3kcosθ-2k=0， x

由方程有解，则

∆=

(

2

+)

2

-(-2k)≥0，

2

解得≤k≤D）.

5.2三角判别式在方程中的应用

例17 若关于x的方程解：原方程可化为

3+2sinx+cosx

=k恒有实数解，求实数k的取值范围.

1+2sinx+3cosx

(3k-1)cosx+(2k-2)sinx+(k-3)=0

由关于x的方程恒有解，则

∆=(2k-2)+(3k-1)-(k-3)≥0

2

2

2

解得，k≥0 或 k≤-13.

5.3三角判别式在三角中的应用

例18 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值. 解：∵y=1+sin2x+2cos2x=2+sin2x+cos2x ∴sin2x+cos2x+(2-y)=0 又关于x的方程有解,则

∆=12+12-(2-y)≥0，

解得

2≤y≤2+

∴ymax=2+5.4三角判别式在数列中的应用

a2，例19 给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，a3，„，求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.

解：设a1=

cosθ，an+1=sinθ，（0

Sn=

n+1

(an+1+a2n+1) 2

n+1

(an+1+2

an+1-a1) 2n+1=sinθcosθ,

2n+1n+1

即有：⋅sinθ-cosθ-Sn=0,

22

=

()

2⎛n+1⎫⎛n+1⎫

⋅⎪+ -⎪-(-Sn)≥0, 又关于θ

的方程有解，则∆=

2⎝2⎭⎝⎭

22

即

Sn≤

(

n+1≤

n+1 22

所以S

n+15.5三角判别式在复数中的应用

例20 复平面上点A、B对应的复数分别为z1=2、z2=-3，点P对应的复数为z，

z-z1

的辐角主值为ϕ，当P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周(不含两个端点)上z-z2

运动时，求ϕ的最小值.

解：设z=cosθ+isinθ(0

z-z1cosθ+isinθ-2

= z-z2cosθ+isinθ+3

=

cosθ-55sinθ

+i， ①

10+6cosθ10+6cosθ

又 ϕ=arg故tanϕ=

z-z1

， z-z2

5sinθ

， ②

cosθ-5

故有5sinθ-tanϕcosθ+5tanϕ=0，

由方程有解，得 ∆=52+(-tanϕ)2-(5tanϕ)2≥0， 解得

≤tanϕ≤，

⎛π⎫

由①、②知ϕ∈ ,π⎪，故-≤tanϕ

122⎝⎭

∴π-≤ϕ

. 12

即ϕmin=π-arctan

5.6三角判别式在解析几何中的应用

例21 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1.在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解：设所求圆的方程为(x-a)+(x-b)=r2，

由①得r2=a2+1；由②得r2=2b2，消去r得 2b2-a2=1，

=secθ，a=tanθ，

又设圆心（a，b）到直线l的距离为d，则

d=

=

=

2

2

令t=

sinθcosθ=0，

2

因为方程有解，则∆=1+(

)(

2

-2

≥0，解得

t≥

，

故dmin

22⎧⎪2b-a=1

=，此时a-2b=1，由⎨， a-2b=1⎪⎩

解得 a=b=1或a=b=-1，从而r2=2，

故所求圆的方程为(x-1)+(y-1)=2或(x+1)+(y+1)=2.

2

2

2

2

6 结论

6.1 主要发现

本文主要介绍了判别式法在几何和代数方面的运用，通过大量的例题具体阐述了判

别式在解题中的运用，利用判别式法解题不仅能达到化繁为简的效果，更能起到简便解法的良好作用.其中点明了注意事项、关键步骤以及使用的条件.一元二次方程判别式是数学中的一个重要基础知识，它不仅能直接判断一元二次方程根的情况，而且还在其他方面，如函数值域、取值范围、不等式证明的方面有着重要的应用.还有判别式对于判定解析几何中位置关系、求极值、最值的应用也特别重要，熟练掌握这些应用，可以提高解题能力和对知识的综合应用能力.

除此之外，就是三角判别式的运用，这与一元二次方程的运用类似，不过它的运用更加广泛，更具有技巧性，但是他们共同之处都是构造一元二次方程或一元二次函数，再根据一元二次方程的判别式进行解题.其宗旨就是两个字：构造，这既是关键又是难点.因此在遇到此类问题时应该特别注意看、思及做三位一体，看就是观察题目的特点，思就是思考问题的突破点，做就是着手解题.

6.2 启示

本文主要用例题列举的方法探讨了判别式的应用，从以上所举的例子中我们可以看到，有关“二次”问题，一方面要防止漏用、误用“判别式”，另一方面又要善于活用、巧用“判别式”，只要真正理解和熟悉“判别式”，才能正确、合理有效的应用判别式，由题目特征敏锐的发现两根之和和两根之积是构造一元二次方程的关键，通过判别式形式上的点构造一元二次函数和一元二次方程，体现了数学知识的交叉与迁移，以及三个“二次”之间珠联璧合的联袂，使得判别式法的应用灵活而自如.因此，在遇到此类问题时应该特别注意看、思及做三位一体，看就是观察题目的特点，思就是思考问题的突破点，做就是着手解题.

6.3 局限性

本文举例探讨了一元二次方程判别式在方程、函数、代数和几何等方面的应用，并对解题过程进行了分析说明，指出了应用判别式解题时应注意的一些问题.其中，能否合理构造一元二次方程和二次函数是本文的核心.本文的不足之处是对一元二次方程判别式的应用还不够系统、全面，而且本文中出现的方法仅仅是判别式解题中的一部分，它并不能代表所有的判别式的应用，真正要想熟练地利用判别式解决各类问题，还必须综合判别式各种性质和相关的数学知识，培养自己分析问题和解决问题的能力.

6.4努力方向

综上所述，一元二次方程判别式是数学中的一个重要基础知识，它不仅能直接判断一元二次方程根的情况，而且还在其他方面，如函数值域、取值范围、不等式证明的方面有着重要的应用.除此之外，判别式在解析几何中位置关系、求极值、最值的应用也特别重要，熟练掌握这些应用，可以提高解题能力和对知识的综合应用能力.

从这种意义上讲，本文仅仅提供了用判别式法解题的一点粗浅的体会，对判别式在解题中的应用远不止本文列举这些，若巧妙构思，揭发则简，所以当我们解完某题后，不要随便就结束，而应探求是否有更好的方法.利用判别式解题达到化繁为简的效果，有些问题用其他方法很难解决，但用判别式法来解就轻而易举了，当然判别式在中学的重要性众所周知，这值得大家予以足够的重视并进行深入的探讨.本文中出现的方法仅仅是判别式解题中的一部分，它并不能代表所有的判别式的应用，真正要想熟练地利用判别式解决各类问题，还必须综合判别式各种性质和相关的数学知识，培养自己分析问题和解决问题的能力.

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[18]王云峰.判别式法[J].初中生，2011，7：24～25.

致 谢

在此论文完成之际，我深深地感谢我的导师王坤老师，在他的悉心指导和亲切关怀下我的论文得以顺利的完成．同时，向关心和帮助我的老师、同学、父母致以我最诚挚的敬意!感谢你们!

导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远．王老师对我的论文要求严格、细致入微，不厌其烦的给我讲解、修改、补充、订正，使我的论文得以按时保质完成，在此向崔老师致以最诚挚的感谢和敬意！

论文的顺利完成，也离不开各位院系领导、老师、同学和朋友的关心与帮助．最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议、和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！祝愿老师们：身体健康，工作顺利！祝愿同学们：前途似锦，心想事成！