待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于一个任意的a 值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等.
待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解.
使用待定系数法,它解题的基本步骤是:
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.
如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: ① 利用对应系数相等列方程;
② 由恒等的概念用数值代入法列方程;
③ 利用定义本身的属性列方程;
④ 利用几何条件列方程.
比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程.
Ⅰ、再现性题组:
x -1+m ,f(x)的反函数f (x)=nx -5,那么m 、n 的值依次为_____. 2
5555A. , -2 B. - , 2 C. , 2 D. - ,-2 22221122. 二次不等式ax +bx +2>0的解集是(-, ) ,则a +b 的值是_____. 231. 设f(x)=
A. 10 B. -10 C. 14 D. -14
3. 在(1-x ) (1+x )310的展开式中,x 的系数是_____. 5
A. -297 B.-252 C. 297 D. 207
4. 函数y =a -bcos3x (b
正周期是_____.
5. 与直线L :2x +3y +5=0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________.
6. 与双曲线x 2y 2
-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是4
____________.
x -1+m 求出f (x)=2x -2m ,比较系数易求,选C ; 2
111122小题:由不等式解集(-, ) ,可知-、是方程ax +bx +2=0的两根,代入2323【简解】1小题:由f(x)=
两根,列出关于系数a 、b 的方程组,易求得a +b ,选D ;
3小题:分析x 的系数由C 10与(-1)C 10两项组成,相加后得x 的系数,选D ;
4小题:由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值,再代入求得答案55252π; 3
5小题:设直线L ’方程2x +3y +c =0,点A(1,-4)代入求得C =10,即得2x +3y +10=0;
x 2y 2y 2
6小题:设双曲线方程x -=λ,点(2,2)代入求得λ=3,即得方程-=1. 43122
Ⅱ、示范性题组:
mx 2+43x +n 例1. 已知函数y =的最大值为7,最小值为-1,求此函数式. x 2+1
【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m 、n 的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.
【解】 函数式变形为: (y-m)x -43x +(y-n) =0, x∈R, 由已知得y -m ≠0 ∴ △=(-4) -4(y-m)(y-n) ≥0 即: y-(m+n)y +(mn-12) ≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7),则-1、7是方程y -(m+n)y +(mn-12) =0的两根, 2222
代入两根得:⎨⎧m =5⎧m =1⎧1+(m +n ) +mn -12=0 解得:⎨或⎨ n =1n =5⎩⎩⎩49-7(m +n ) +mn -12=0
5x 2+43x +1x 2+43x +5∴ y=或者y = x 2+1x 2+1
此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7) ≤0, 即y -6y -7≤0,然后与不等式①比较2
⎧m +n =6系数而得:⎨,解出m 、n 而求得函数式y . mn -12=-7⎩
【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m 、n .两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m 、n 的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解