第35卷 第8期
岩石力学与工程学报 V ol.35 No.8
2016年8月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Aug . ，2016
考虑桩反作用力和设计安全系数的滑坡推力计算
方法—传递系数隐式解法
赵尚毅12，郑颖人1，敖贵勇3
，
(1. 后勤工程学院 土木工程系，重庆 401331；2. 后勤工程学院 岩土力学与地质环境保护重庆市重点实验室，重庆 401311；
3. 中国中铁二院工程集团有限责任公司，四川 成都 610031)
摘要：目前采用的滑坡推力计算公式(传递系数法) 中缺少了抗滑桩的支护抗力参数，造成计算误差。在基于强度折减安全系数的传递系数隐式解法基础上，考虑桩与滑坡体的相互作用，在条块的受力体系中加入抗滑桩的水平反作用力，然后按照设计安全系数对滑面强度参数进行折减，使得最后一个条块的剩余下滑力刚好等于0，此时对应的水平反作用力就是作用在桩上的水平滑坡推力设计值，按此水平滑坡推力加固滑坡后的稳定性系数正好等于设计安全系数。
关键词：边坡工程；抗滑桩；水平滑坡推力；不平衡推力传递系数法，强度折减法；安全系数 中图分类号：P 64 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2016)08–1668–09
Calculation method of landslide thrust considering the reaction force of piles and
factor of safety—implicit solution using transfer coefficient
ZHAO Shangyi
1，2
，ZHENG Yingren1，AO Guiyong3
(1. Department of Civil Engineering，Logistical Engineering University，Chongqing 401311，China ；2. the Chongqing Key Laboratory of Rock and Soil Mechanics and Geological Environment Protection，Logistical Engineering University，Chongqing ，
401311，China ；3. China Railway Eryuan Engineering Group Co. ，Ltd. ，Chengdu ，Sichuan 610031，China )
Abstract ：A simplified method for estimating the landslide lateral loads acting on the stabilizing piles，called unbalanced lateral load transfer method，has been used for decades in China. However，the method do not consider the reaction force of piles in the force components acting on a typical slice，which may result in calculation errors. This paper presents a modified formula based on the unbalanced lateral load transfer method. The horizontal reaction force of pile is added into the force components acting on a typical slice. In this way，the horizontal lateral loads acting on the stabilizing piles can be estimated through the strength reduction(the reduction method is equal to the target factor) based on the force equilibrium analysis. As a result，the estimated stability factor of safety of landslide reinforced by stabilizing piles is equal exactly to the target factor of safety. Key words：slope engineering；anti-slide piles；horizontal landslide thrust；unbalance lateral load transfer method；strength reduction method；factor of safety
而得到广泛应用。如何确定抗滑桩承担的荷载是抗
1 引 言
抗滑桩作为一种安全可靠的滑坡治理支挡结构
收稿日期：2015–09–06；修回日期：2015–10–20
滑桩设计中的一个重要问题。目前，应用最多的是极限平衡法。1975年，日本学者T. Ito和T. Matsui[1]提出了一种基于塑性流动理论的抗滑桩侧向荷载计
作者简介：赵尚毅(1969–) ，男，博士，1992年毕业于重庆大学采矿专业，现任副教授，主要从事岩土工程数值分析及其应用等方面的研究工作。E-mail ：36283162@qq.com
DOI ：10.13722/j.cnki.jrme.2015.1229
第35卷 第8期 赵尚毅等：考虑桩反作用力和设计安全系数的滑坡推力计算方法—传递系数隐式解法 • 1669 •
算方法，这种方法假定土体从桩间挤出，并满足莫尔–库仑屈服准则。1981年，T. Ito 等[2]提出了用瑞典条分法来确定抗滑桩加固后的边坡稳定安全系数，桩提供的支护抗力则通过T. Ito和T. Matsui[1]方程来计算。1992年，美国学者L. C. Reese等[3]提出了一种类似的方法，该方法采用简化Bishop 法来搜索抗滑桩加固后的临界滑动面，加固后的稳定安全系数由抗滑桩提供的支护力确定。1995年，澳大利亚学者H. G. Poulos[4]提出了一种抗滑桩的设计方法，该方法包括2个步骤。第一步，通过进行常规的稳定性分析(比如Bishop ，Janbu ，Spencer 和Morgenstern-Price 法等) 来确定究竟需要多大的支护抗力才能使得加固后的边坡的稳定安全系数达到目标值。第二步，根据需要的支护抗力来设计桩，使桩有能力提供这个需要的支护抗力，包括确定桩的截面尺寸，嵌固段长度等。2002年，S. Zeng 和R. Liang [5]基于条块间力的平衡提出了一种类似于中国普遍采用的传递系数法计算公式，该方法认为桩与桩之间的土体存在土拱效应，由此提出了一种能考虑桩间土拱效应的侧向荷载计算方法。目前，美国俄亥俄州交通运输部的抗滑桩加固滑坡的设计规范(GB7：Drilled Shaft Landslide Stabilization Design—2014) 就推荐了这种方法(被称为Liang 法) [6-7]。
可见，国际上目前的做法主要是基于稳定性分析来确定作用在抗滑桩上的侧向荷载，稳定性分析方法趋向于采用严格条分法[8]。由于历史原因，中国国内普遍采用不平衡推力传递法来计算滑坡剩余推力，该方法也称为传递系数法。该方法作了许多假定，只满足力的平衡，是一种非严格条分法。由于该法计算简单，能够进行稳定性分析、滑带参数反算和滑坡推力计算，在水利、铁路、交通以及三峡库区的工程中得到了广泛应用，在国家规范和行业规范中都将其列为推荐方法在使用[9-13]。沈尧亮等[14-15]认为滑坡推力计算的传递系数法最早是在新建宝鸡－成都铁路时，由我国最著名的滑坡专家徐邦栋于1954年提出。1973年开始编写的《工业与民用建筑工程地质勘察规范》采用了传递系数法计算滑坡稳定系数，顾宝和等[16-17]均为此进行了研究。美国俄亥俄州交通运输部2014年推荐的Liang method 也是传递系数法。
传递系数法有增大下滑力安全系数的显式解法和降低抗滑力的强度折减安全系数隐式解法。显式解由于方法简单，不需迭代，可以手算，而被长期采用。现行规范[10-11]仍然采用了显示解法。传递系数法显式解被长期采用，与我国计算机的普及较晚
有直接关系。现在，计算机和相关软件已经普及，采用隐式解已经具备了条件[18-24]。
规范[9，12]
已经采用了
基于强度折减安全系数的隐式解法。美国俄亥俄州交通运输部推荐的Liang Method也是传递系数隐式解法。
抗滑桩承担的水平滑坡推力计算的基本原则是按照计算结果对滑坡加固后的稳定安全系数要求达到设计目标安全系数值。然而，不管是传递系数法显式解法还是隐式解法，如果将计算得到的抗滑桩承担的水平滑坡推力作为支护力加到滑坡模型进行稳定性计算，得到加固后的稳定安全系数并不等于设计要求达到的安全系数值，由此造成，设计规范要求滑坡加固后的稳定性系数目标值就无法体现。
本文对造成这个问题的原因进行了分析，指出造成这个问题的原因是没有考虑桩与条块的相互作用，计算公式中缺少了抗滑桩的支护抗力参数。本文在基于强度折减安全系数的传递系数隐式解法基础上，对传递系数隐式解法进行了局部改进，按照改进后的公式计算得到的水平滑坡推力加固滑坡后的稳定安全系数正好等于设计安全系数目标值。
2 传递系数显式解法
传递系数显式解的出现是由于当时计算机不普及，对传递系数作了一个简化的假设，将传递系数中的安全系数值假设为1，从而使计算简化，但增加了计算误差。同时对安全系数做了新的定义，在这一定义中当荷载增大时只考虑下滑力的增大，不考虑抗滑力的提高，这也不符合力学规律。
如图1所示，滑块i 的重力G i ，N i 为垂直于滑面的正压力，T i 为滑面上总的下滑力，R i 为第i 条块总的抗滑力。当只有一个条块i 时，条块的稳定安全系数表示为
F S =
抗滑力下滑力=R i
T (1)
i
由式(1)变换得到考虑了安全系数的抗滑力为
R i =F S T i (2)
滑坡体原来的抗力为R i
考虑安全系数后的抗滑力为R F ，
i =S T i ，于是认为需要桩提供的抗滑力为
P i =F S T i −R i
(3)
当滑坡划分为n 个条块时，P i －1，P i 分别为第i －1条块和第i 条块的剩余下滑力，θi －1和θi 分别为
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图1条块受力模型
Fig.1 Force acting on a typical slice
第i －1条块和第i 条块滑面的倾角。假设剩余的条间作用力平行于对应的这个条块的滑面。那么第i 条块的剩余下滑力为
P i =F S
T i +P i −1ψi −1−R i
(4)
第i 条块自重引起的下滑力：
T i
=G i sin θi (5) 第i 条块抗滑力，包括自重分力在滑面引起的摩擦阻力和黏聚阻力：
R i
=c i L i +G i cos θi tan ϕi (6) 传递系数：
ψi −1=cos(θi −1−θi ) −sin(θi −1−θi ) tan ϕi
(7) 式(4)就是折线形滑坡剩余推力计算的传递系数显式解法计算式。从式(4)中可以看出，传递系数显式解法将把下滑力增大一个系数再减去抗滑力得到沿着滑面方向的剩余下滑力，然后将剩余下滑力乘以cos θ得到水平方向的剩余下滑力P 。2015年新颁布的规范[10]就采用了这种方法，并强调F S 为设计要求达到的稳定安全系数。然而，研究表明，用以上方法计算得到的滑坡水平推力加固滑坡后的稳定安全系数并不等于F S ，下面用一个算例来说明。
算例1：如图2所示，一顺层滑动的岩石滑坡，垂直高度20 m，
滑面倾角30°，滑体重度24 kN/m3，软弱滑面黏聚力c = 50 kPa，内摩擦角ϕ=18°，设计安全系数F S = 1.35。
图2 算例1模型示意图(单位：m)
Fig.2 Diagram of example 1(unit：m)
滑体沿着滑面的下滑力为：T i =G i sin θi = 4 330
kN ；滑体沿着滑面的抗滑力为：R i =c i L i +
G i cos θi tan ϕi = 4 437 kN；支护前的稳定性系数为：F S = 1.02。
按照式(3)计算得到沿着滑面的剩余下滑力为
P i =1 409 kN，按目前的习惯做法，转换成水平力P ： P = 1 409cos30°= 1 220 kN。
采用边坡稳定分析软件GEO-SLOPE/W，将
1 220 kN的水平集中力施加到边坡模型(见图3) ，得到加固后的稳定系数为1.416(Morgenstern- Price) ，大于滑坡推力计算安全系数1.35。可见，增大下滑力的传递系数法计算得到滑坡推力加固边坡后的稳定安全系数并不等于设计安全系数。
F = 1 220 kN
F S = 1.41
图3 算例1 GEO-SLOPE/W计算模型 Fig.3 GEO-SLOPE/W model of example 1
3 传递系数隐式解法
传递系数法隐式解法也称为强度折减安全系数法。2014年新颁布的《建筑边坡支护技术规范》
(GB50330—2013)就采用了传递系数隐式解法。隐式解法在进行稳定性分析时，将滑面强度参数折减
F S 倍，直到最后一个条块的剩余下滑力为0，此时的强度折减安全系数就是滑坡的稳定性系数，具体计算公式表述如下：
P n =0 (8)
第i 条块的剩余下滑力为
P i =P i −1ψi −1+T i −R i /F S
(9)
式(9)中，安全系数除在抗滑力上，此时的传递
系数也要作相应的折减：
ψi −1=cos(θi −1−θi ) −sin(θi −1−θi ) tan ϕi /F S
(10)
其余参数不变。
应用上述公式进行稳定性计算，是可行的，但计算作用在桩上的水平滑坡推力时存在缺陷。
规范[9]附录A.0.3条说：在计算滑坡推力时，将式(8)和(9)中的F S 取安全系数值，以此计算得到的
P n 即为滑坡推力。规范[12]也采用上述类似的计算方法，先采用基于强度折减安全系数的传递系数隐式
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解法计算沿着滑面方向的剩余下滑力，然后乘以
cos θ (θ为滑面倾角) 得到水平方向的滑坡推力。然而，研究表明，将上述方法计算得到水平滑坡推力加到滑坡模型上进行稳定性计算，得到的稳定安全系数仍然不等于设计安全系数。下面通过一个算例来说明。
算例2：计算模型尺寸和力学参数与算例1相同，取设计安全系数F S = 1.35，按照式(9)得到沿着滑面方向的剩余下滑力为：P i =1 043 kN，换算到水平力：P =1 043cos30°
=903 kN。 将903 kN的水平集中力施加到边坡模型，进行稳定性计算，得到加固后的稳定系数为F S = 1.29，小于滑坡推力计算式采用的1.35。可见，按现行规范推荐的传递系数隐式解法计算得到的剩余下滑力加固后边坡后，其稳定安全系数仍然不等于设计安全系数。造成此问题的原因是：(1) 上述公式中缺少了桩的水平抗力参数；(2) 计算得到沿着某一滑面方向的剩余下滑力后，不能直接乘以cos θ(θ为设桩处滑面的倾角) 得到水平滑坡推力。严格的做法是在条块平衡计算的力系中加入桩的水平支护抗力参数，并根据稳定性计算求解这个参数。
4 改进后的传递系数隐式解法
假设抗滑桩加固滑坡时承担水平剩余推力设计值为P ，根据力的作用与反作用原理，条块也要受到P 的作用。
因此，在对条块进行力的平衡分析时，要把参数P 考虑进去。在条块的力平衡体系中加入
P 后，将滑面强度折减F S 倍，使得最后一个条块的剩余下滑力刚好为0，此时的P 就是抗滑桩承担的水平滑坡推力设计值。
假设抗滑桩布置在第i 和i +1条块之间，如图4所示，基于以上计算思路，改进后的滑坡水平推力计算公式表述如下：
P n =0 (11)
第i 条块的剩余下滑力为
P i =P i −1ψi −1+T i −R i /F S
(12)
第i 条块的下滑力为
T i =G i sin θi −P cos θi (13)
第i 条块抗滑力为
R i =c i L i +(G i cos θi +P sin θi ) tan ϕi
(14)
传递系数也要作相应的折减，与式(10)相同。
图4 设桩后的条块受力模型 Fig.4 Forces acting on a typical slice
式(12)，(13)中的P 即为满足设计安全系数F S
时桩承担的水平剩余下滑力设计值。与现行规范推荐的计算公式中的不同之处在于条块抗滑力和下滑力计算公式中出现了桩的水平支护抗力P 。
对于前面的算例2，按照上述改进后的计算公式，当F S = 1.35时，计算得到的水平滑坡推力P = 1 058 kN，而现行规范推荐的隐式解法得到的是903 kN 。将P = 1 058 kN施加到边坡稳定分析模型，得到的基于力平衡的稳定安全系数刚好等于1.35
(Morgenstern-Price法) 。
本算例为一个简单的直线滑面，也可以用库仑公式进行手算。将算例2模型的强度参数折减1.35倍后，用库仑公式计算得到的侧向岩石压力为1 058
kN ，与本文改进后的公式计算结果相同。这是因为，库仑土压力理论中，在力的平衡体系中考虑了挡土墙提供的水平力抗力，基于严格的力平衡分析得到库仑土压力计算公式，而不是先计算沿着滑面的剩余下滑力再乘以cos θ。
那么，本文对隐式解法改进后的计算结果与改进前的计算结果有多大差别呢？下面通过一组算例来进行对比分析。
算例3：边坡模型的计算参数与算例1相同。不同设计安全系数条件下不同方法计算得到的滑坡水平推力及加固后的稳定系数计算结果见表1。
从以上计算数据可以看出，对于本例，显式解法得到的加固后的稳定性系数大于设计安全系数，增大幅度1%～5%。隐式解法得到的加固后的稳定性系数小于设计安全系数，降低幅度3%～4%。本文改进后的隐式解法得到的加固后的稳定安全系数正好等于设计安全系数。
在设计安全系数相同的情况下，显示解法计算得到的滑坡推力最大，隐式解法得到的最小，本文公式得到的结果介于二者之间。
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表1 算例3的不同方法计算结果 Table 1 Estimated results of example 3
计算方法 传递系数显式解法 传递系数隐式解法 改进后的隐式解法 传递系数显式解法 传递系数隐式解法 计算安全 系数F S
水平滑坡 推力P /kN
加固后的 稳定性系数
在设计安全系数F S 取值相同的情况下，显示解法得到的滑坡推力刚好是隐式解法的F S 倍，见表4。
表4 改进前的隐式解法计算结果和显示解法结果对比 Table 4 Comparison of estimated results by unmodified
implicit method and explicit method
安全系数
滑坡推力P 1 (显式解法)/kN
657 滑坡推力P 2 (改进前的隐式解法)/kN
548 P 1/P 21.201.20 657 1.21 1.20 548 1.17 1.20 632 1.20 1.25 845 1.27 1.25 676 1.21 1.20 改进后的隐式解法 1.25 784 1.25 传递系数显式解法 1.30 1 032 1.34 传递系数隐式解法 1.30 794 1.25 改进后的隐式解法 1.30 925 1.30 传递系数显式解法 1.35 1 220 1.42 传递系数隐式解法 1.35 903 1.29 改进后的隐式解法
1.35 1 058 1.35
在设计安全系数F S 取值相同的情况下，改进后的传递系数法隐式解法得到的结果和改进前的隐式解法相比，水平滑坡推力计算值增大了15%～17%，见表2。
表2 改进后的隐式解法计算结果和改进前结果对比 Table 2 Comparison of estimated results by unmodified
implicit method and modified implicit method
安全 滑坡推力P 2/kN 滑坡推力P 3/kN
增大百分比
系数 (改进前的隐式解法)
(改进后的隐式解法) (P 3－P 2)/P 2/%
1.20 548 632 15 1.25 676 784 16 1.30
794
925
16
1.35 903
1 058
17
在设计安全系数F S 取值相同的情况下，改进后的传递系数法隐式解法得到的结果和显式解法相比，水平滑坡推力计算值降低了4%～13%，见表3。
表3 改进后的隐式解法计算结果和显示解法结果对比 Table 3 Comparison of estimated results by modified
implicit method and explicit method
安全系数 滑坡推力P 1/kN
滑坡推力P 3/kN
降低百分比
显式解) (改进后的隐式解) (P 3－P 1)/P 1/%
1.20 657 632 4 1.25 845 784 7 1.30 1 032 925 10 1.35
1 220
1 058
13
1.25
845
676
1.25
1.30 1 032 794 1.301.35 1 220
903 1.35
算例4：前面的算例过于简单，只有一个直线
滑面，下面对一个折线形滑坡进行一组算例对比分析。模型的几何尺寸见图5，滑体容重21 kN/m3，
滑面黏聚力13 kPa，内摩擦角
13°。
(a) 滑面转角处没有倒圆角时的几何模型
(b) 滑面转角处倒圆角后的几何模型
图5 算例3计算示意图(单位：m) Fig.5 Diagram of example 3(unit：m)
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根据郑颖人等[18-20]的研究结论，相邻条块滑面的倾角变化超过10°时，会造成较大的计算误差。此时需要对滑面转角进行倒圆角处理，如图5(b)所示。计算过程与前面相同，分别对设计安全系数F S 取1.2，1.25，1.3，1.35进行计算，结果见表5。
表5 算例4的计算结果 Table 5 Estimated results of example 4
计算方法 设计安全 滑坡推力 加固后的 系数F S
P /kN
稳定性系数
传递系数显式解法 1.20 676 1.25 改进前的隐式解法 1.20 575 1.20 改进后的隐式解法 1.20 572 1.20 传递系数显式解法 1.25 829 1.33 改进前的隐式解法 1.25 679 1.25 改进后的隐式解法 1.25 676 1.25 传递系数显式解法 1.30 982 1.42 改进前的隐式解法 1.30 774 1.30 改进后的隐式解法 1.30 772 1.30 传递系数显式解法 1.35 1 136
1.53
改进前的隐式解法 1.35 863 1.35 改进后的隐式解法
1.35 860 1.35
表5的计算结果表明，显式解法得到的加固后的稳定性系数大于设计安全系数，增大幅度3%～
12%。隐式解法得到的加固后的稳定性系数等于设计安全系数。本文改进后的隐式解法得到的加固后的稳定安全系数也等于设计安全系数。
表6为显式解法的计算结果和隐式解法的计算结果对比数据。从表6可以看出，在设计安全系数
F S 取值相同的情况下，折线形滑坡的显示解法推力计算结果并不是隐式解法的F S 倍。这个结论在只有一个直线滑面情况下才成立。
表6 算例4改进后的隐式解法计算结果和显示解结果对比 Table 6 Comparison of estimated results of example 4 by
modified implicit method and explicit method
安全系数
滑坡推力P 1 滑坡推力P 2 (显式解法)/kN
(改进前的隐式解法)/kN
P 1/P 2
1.20 676 575 1.18
1.25 829 679 1.22
1.30 982 774 1.27 1.35 1 136
863 1.31
在设计安全系数相同的情况下，对于本例，改进后隐式解法计算结果和改进前的结果很接近，二
者误差不到1%，见表7。
表7 算例4改进后的隐式解法计算结果和改进前结果对比 Table 7 Comparison of estimated results of example 4 by
modified implicit method and unmodified implicit method
安全 滑坡推力P 2(改进前的滑坡推力P 3(改进后的 二者的误差
系数
隐式解法) /kN
隐式解法) /kN
(P 3－P 2)/P 2
1.20 575 572 0.006 1.25 679 676 0.005 1.30 774 772 0.004 1.35 863
860 0.003
从表7的对比数据可以看出，对于算例3，改进前和改进后的滑坡推力计算结果非常接近，二者误差小于1%。分析其原因，主要是本算例最后一个条块滑面倾角比较平缓，只有8.75°。对于一个给定的条块，改进前和改进后的水平滑坡推力的关系，可以通过一个解析公式来分析。假设条块沿着滑面方向的剩余下滑力为P θ，滑面倾角θ，改进前的隐式解法得到的水平推力为
P 2=P θcos θ (15)
基于力的平衡分析，按本文改进后的隐式解法得到的水平推力P 3与沿着滑面方向的P 2推力具有如下解析关系[24-25]。只有一个条块时，条块受力示意图如图
6所示。
滑面线
图6 一个条块时的受力 Fig.6 Forces acting on a typical slice
在滑面方向，根据力的平衡，下滑力等于抗滑力，所以有 W sin θ=N tan ϕi
F +c
F L +P 3cos θ (16) S S
N i =W cos θ+P 3sin θ (17) 将式(17)代入式(16)得
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W sin θ−W cos θtan ϕc
P F −L S F S
3=
sin θ
tan (18)
F +cos θS
式(18)中的分子就是传递系数隐式解法中的剩余下滑力P θ，所以有
P P θ
3=
(19) sin θtan F +cos θ
S
所以P 3和P 3的误差可表示为
E =P 3
−P 2P =1
2⎛⎜sin θtan ϕ−1 (20) θ⎞⎝F +cos ⎟⎠cos θ
S 可见，二者的比值与滑面倾角、滑面摩擦因数、设计安全系数都有关，与滑面黏聚力无关。
在算例4中，当F S = 1.2时，根据式(17)计算得到E =−0.006，与表6中的结果一致。
当取F S = 1.35，对滑面内摩擦角13°和25°两种情况，不同滑面倾角情况下的E 值见图7。从图7可知，改进前和改进后的隐式解法得到的水平剩余滑坡推力的误差在－3%～21%。改进后计算得到的水平滑坡推力比改进前的大，偏于安全。当滑面倾角增大时，二者相差越大。当滑面倾角小于15°时，二者的误差小于3%。当滑面倾角越小，二者越接近，当滑面倾角等于0时，P 2=P 3。
0.
2P /) 2P －3P (－0. －滑面倾角θ/(°)
图7 不同滑面倾角时2种方法的误差 Fig.7 Errors of two methods with different dip angles
考虑地震水平荷载、地面超载、水压力，改进后的抗滑桩承担的水平滑坡推力设计值传递系数法隐式解表述如下(见图8) ：
P n =0 (21)
P i =P i −1ψi −1+T i −R i /F S (22)
第i 条块的下滑力：
T i =(G i +G bi )sin θi +Q i cos θi +
D i cos(θi −βi ) −P cos θi (23)
坡面线
G b i
地下水位线
桩i i －
1 Q i +1i
P G i P i －1
P i
R
i
θi －1
滑面线
θi+1
θi N i
(a) 滑坡条块模型
G b i
Q i
W 1i
P i －1
桩水位线
θi －1
βi
D i
P
滑面线
P i
W 2i
θ i－1
θi
R i
θi
N i
θi －1
(b) 一个条块的受力模型
图8 滑坡推力计算示意图 Fig.8 Forces acting on a typical slice
第i 条块的抗滑力：
R i =c i L i +[(G i +G bi )cos θi −Q i sin θi −
D i sin(θi −βi ) +P sin θi ]tanϕi (24) D i =γW h W i L i cos θi sin βi
ψi −1=cos(θi −1−θi ) −sin(θi −1−θi ) tan ϕi /F S (25)
式中：P i ，P i −1分别为第i ，i －1块滑体的剩余下滑力(kN)，当P i ＜0(i ＜n ) 时取P i =0；P 为每延米水
平滑坡推力设计值，假设抗滑桩布置在第i 条块的左侧；G i 为计算条块单位宽度自重(kN/m)，在浸润线以下采用浮重，G i = W 1i +W 2i ' ；c i 为第i 块滑体沿滑动面上的黏聚力(kPa)；ϕi 为第i 块滑体沿滑动面上的内摩擦角(°) ；θi 为第i 块滑体底面与水平面的夹角(°) ；L i 为第i 块滑体沿滑面的长度(m)；ψi −1为第i －1条块对第i 计算条块的传递系数；Q i 为第i 条块单位宽度水平荷载(kN/m)，方向指向坡外时取
正值，指向坡内时取负值，当Q i 为第i 计算条块的地震力时，Q i =KG i ，K 为综合水平地震系数；F
S
第35卷 第8期 赵尚毅等：考虑桩反作用力和设计安全系数的滑坡推力计算方法—传递系数隐式解法 • 1675 •
为滑坡抗滑设计安全系数。
条块划分时，要求θi −1−θi ＜10°。对于转折点处的倾角变化量超过10°时，应对滑面进行圆角处理，消除尖角效应。
根据上述公式，满足设计安全系数F S 条件下的P 即为抗滑桩需要承担的水平滑坡推力设计值。
上述改进后的计算公式，可在现行理正滑坡推力计算模块中变通实现。将基于显式解法的下滑力增大安全系数设置为1.0，然后对滑面强度参数按设计安全系数F S 进行折减，将折减后的参数作为输入参数，在模型的设桩条块处施加一个水平集中力P ，不断调整P 的值，使得最后一个条块的剩余下滑力刚好为0，此时的P 即为作用在桩上的水平滑坡推力设计值。
表8为对条块滑面转角过大的滑面进行倒圆角处理后的计算结果。计算结果表明，倒圆角后计算得到的滑坡推力比没有倒圆角时的大8%～12%，这表明当相邻条块的滑面倾角转角变化过大时，会造成较大误差，必须进行处理。
表8 倒圆角的几何模型的滑坡推力计算结果 Table 8 Estimated results of the geometric model with
smoothing slide surface
计算方法 设计安全不倒圆角时的倒圆角后的滑系数F 误差/%
S 滑坡推力/kN
坡推力/kN
传递系数显式解法 1.20 604 676 12 改进前的隐式解法 1.20 516 575 11 改进后的隐式解法 1.20 513 572 12
传递系数显式解法 1.25 753 829 10 改进前的隐式解法 1.25 619 679 10 改进后的隐式解法 1.25 616 676 10
传递系数显式解法 1.30 902 982 9 改进前的隐式解法 1.30 713 774 9
改进后的隐式解法 1.30 710 772 9 传递系数显式解法 1.35
1 050
1 136
8
改进前的隐式解法 1.35 801 863 8 改进后的隐式解法
1.35 799
860 8
5 结 论
抗滑桩加固滑坡后的稳定性系数应达到设计安全系数值，这是作用在抗滑桩上的水平滑坡推力计算需要遵循的原则，即基于稳定性分析来确定抗滑桩上的岩土作用荷载。我国国内普遍采用传递系数法来计算滑坡推力。然而，不管是传递系数显式解
法，还是隐式解法，用计算得到的水平滑坡推力加固后滑坡后的稳定性系数并不等于设计安全系数。如果滑坡加固后的稳定性系数不等于设计安全系数，那么各规范规定要求达到的安全系数设计标准就无法体现。造成这个缺陷的原因是没有考虑桩与条块的相互作用，计算公式中缺少了抗滑桩的支护抗力参数。
本文在基于强度折减安全系数的传递系数隐式解法基础上，考虑桩与滑坡体的相互作用，在条块的受力体系中增加了抗滑桩的水平反作用力，然后按照设计安全系数对滑面强度参数进行折减，使得最后一个条块的剩余下滑力刚好等于0，此时对应的水平反作用力就是作用在桩上的水平滑坡推力设计值。按此滑坡推力加固滑坡后的稳定性系数正好等于设计安全系数。
一系列的算例表明，改进后的推力计算结果和改进前的计算结果的误差为0%～20%。如果设桩位置滑面倾角越陡，滑面内摩擦角越大，二者的误差越大。当滑面倾角小于15°时，二者的误差小于3%。当滑面倾角接近于0时，二者的误差为0。 参考文献(References)：
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