多变的影子不变的高度

河北张家口市第十九中学贺峰

学习了相似三角形以后，九年级（2）班的同学们跃跃欲试，都想借助三角形的相似测量一下学校的一棵大树的树高，因此他们分成了四个小组，分别在不同的时段去测量树高，下面我们就随着这四个小组的同学看看他们是如何测量、如

何解决问题的。

小组A ：

时间：上午11∶00，工具：标志杆（长度1米）、皮尺

测量试验：竖直放置标志杆，测得标志杆的影长为0.5米，同时测

得该大树的影长为3米（如图1）。 1m 图1 3m

分析与解：根据同一时刻，太阳光下的物体的影子与物高成正比，

杆高树高1树高即，因此6（米）。 0.53杆影树影

小组B ：

时间：下午2∶00，工具：标志杆（长度1米）、皮尺

测量试验：竖直放置标志杆，测得标志杆的影长为0.8米，同时测量树的

影长，可同学们在测量一棵树的影长时，发现树的影子不全落在地面上，

有一部分影子落在校院院墙上，其影长为1.2米，落在地面上的影长为4

米（如图2）。图2 分析与解：如图3，树高为AB ，树落在地面上的影长为BC ，树落在墙上的影长为CD ，作CE ∥AD ，则四边形AECD 是平行四边形，AE ＝CD ，

求树高即求BE ＋AE 即可。而BC 又可看做是BE 在地面上的影长，可由

BC 0.8同一时刻物高和影长成正比例得，BC ＝4，因此BE ＝3，又由AE BE 1C ＝CD ＝1.2，BC ＝4，AB ＝AE ＋BE ＝1.2＋4＝6.2，所以树高＝6.2≈6（米）。图3 小组C ：

时间：下午4∶00，工具：标志杆（长度1米）、皮尺

测量试验：竖直放置标志杆，测得标志杆的影长为1.2米，同时测量树的

影长，结果树影爬过校院院墙，伸出院墙影子外3.6米，小组同学测得院

墙高为2米。同时测得树与院墙相距1.2米（如图4）。

物高图

4 分析与解：在同一时刻，太阳光下的物体的影子与物高成正比，即影长

物高1杆高墙高杆高树高＝，结合测量结果可得，院墙影子的长度为2. 4米，影长1杆影墙影杆影树影

由于树的影子爬过院墙伸出院墙外，因此树影子顶端到树底端的距离为树的影子的长度，

1树高即1.2＋2.4＋3.6＝7.2(米) ，因此，解得，树高＝6（米）。 1.27.2

小组D ：

时间：次日上午8∶00，工具：标志杆（长度1米）、皮尺

测量试验：

竖直放置标志杆，测得标志杆的影长为1.5米，同时测量树的影长，

结果树影落在距离大树6.5米处的台阶上，其影子的前端正好到达台6.5米阶的第4阶处（如图5），经测量台阶的高度与深度皆为30厘米。图5 分析与解：根据图象，影子覆盖的阶梯正好达到第4阶，从纵的方向

看有4阶，横的方向有3阶，所以CD ＝4×30＝120（厘米）

C ＝1.2（米），DE ＝3×30＝90（厘米）＝0.9（米），根据在同

CD 1E 一时刻，太阳光下的物体的影子与物高成正比，＝F DF 1.5B 6.5米 D 1树高图6 以DF ＝1.8，因此BF ＝6.5＋0.9＋1.8＝9.21.59.2

解得，树高≈6（米）。

点评：利用影子测量物体的高度是相似三角形的主要应用之一，在测量过程中，必须考虑周边的环境，要学会数学建模的思想，画出示意图，必要时设辅助未知数列方程（组）求解。 A