高等数学（II ）试题（A ）
一 填空 （每小题3分 共15分 ） 1 曲面 z
=x 2+y 2-1 在点 (2,1,4) 的切平面的方程为___________。
z =z (x , y )
是由方程
2 设隐函数
e z +x z +e y =2
确定的，则
∂z
=_________。
∂x x =0, y =0
3 设∑是平面 x +
则 ⎰⎰(x +y +z ) dS =__________。 y +z =1在第一卦限部分，
∑
4 设
f (x ) 周期为2π，且
⎧e x ,0≤x
，s (x ) 是f (x ) 的Fourier 级数的f (x ) =⎨
⎩x , -π≤x
和函数，则 s (0)
∞
= ______________。
n
5 设幂级数
∑a n x
n =1
在
x =2处条件收敛，则幂级数
a n n
x ∑n
n =13
∞
的收敛半径
R =______。
二 选择（每小题2分 共10分 ）
1 设D 是平面区域，则下面说法正确的是（ ） （A ） 若（B ） 若（C ） 若
f (x , y ) 在D 上可微，则f (x , y ) 的一阶偏导在D 上一定连续； f (x , y ) 在D 上一阶偏导存在，则f (x , y ) 在D 上一定可微； f (x , y ) 在D 上一阶偏导存在，则f (x , y ) 在D 上一定连续；
f xy 与f yx 均连续，则 f xy (x , y ) =f yx (x , y ) 。
（D ） 若在D 上
2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ ）
n
（A ） ∑(-1) n
2n =1
n
∞
∞
1； （B ）∑ln(1+) ;
n n =1
∞
∞
1n n n
（C ） ∑(-1) sin ; （D ） ∑(-1) 。
n n +1n =1n =1
3 直线过点 (0,0,3)且与直线 x =y =z 垂直相交，则交点的坐标是（ ）
（A ） (2,2,-1) ； （B ）(1,1,1) ； （C ）(-1, -1,2) ；（D ）(0,0,0)。 4 方程
y 2+z 2-4x +8=0 表示。
(A) 单叶双曲面； （B ） 双叶双曲面 ； （C ） 锥面 ； （D ） 旋转抛物面。 5 一阶微分方程 x
2
ydx -(x 3+y 3) dy =0的类型是（ ）
（A ）全微分方程； （B ） 可分离变量方程；（C ）齐次方程； （D ）一阶线性微分方程。
2
∂u 三 （6分） 设u =
f (r ) 是具有二阶连续导数的函数，r =，求 。 2
∂x
四 （7分）计算 I
=⎰⎰
D
x 2
σ，其中D 是直线 x =2, y =x 及双曲线xy =1所围2y
区域。
五 （7分）修建一个容积为V 的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。 六 （7分）求微分方程 y ''-2y ' =e 七 （7分）计算 I
x
(x -3) 的通解。
=⎰⎰⎰zdv ，其中Ω是由曲面
z =x 2+y 2=3z
Ω
所围的空间区域。
(x +y ) dx +(x -y ) dy 22八（7分）求 ，其中L 是曲线 x +y =1，取逆时针方向。 22⎰L
x +y
九（7分）计算曲面积分
222(y cos α+x cos β+z cos γ) dS ，其中∑
是锥面⎰⎰∑
z =z =0, z =1之间的部分，而cos α,cos β,cos γ
处的外法线向量的方向余弦。
十 （7分）已知如下命题成立： 设{a n }是单调减少的正数列，级数
k
2∑a 2k k =1∞
∞
是∑在(x , y , z )
∑a
n =1
n
收敛当且仅当
收敛。
∞
1
1）请用此命题证明 ∑p 当0
1时收敛；
n =1n
2）证明所给的命题。
答案
一 填空 （每小题3分 共15分 ）
1
1 4x +2y -z -6=0； 2 0； 3
； 4 ； 5 6。
22
二 选择（每小题2分 共10分 ） D A B D C 三 （6分）解
∂u x
=f '(r ) ……………………………4 ∂x r
∂2u 1x 2x 2
=(-3) f '(r ) +2f "(r ) ………………………….2 2∂x r r r
四 （7分）解 D :1≤x ≤2,
1
≤y ≤x 。………………2 x
I =⎰x dx 1
1
x
2
2
x
1
dy ………………………………………2 2y
=⎰
=
2
1
1
x (x -) dx ……………………………………………2
x
2
9
……………………………………………………………1 4
五 （7分）解 设地面每个单位造价为1，则墙壁和仓顶分别为 2， 3。 设长宽高分别为x , y , z 。则现在的要求是 f (x , y , z ) =4xy +4xz +4yz 在 xyz =v 约束下的极值。……………………………………………………………1 考虑 F (x , y , z ) =xy +xz +yz +λ(xyz -v ) ，……………………..1 则条件极值点满足一下方程
⎧F x =y +z +λyz =0⎪F =x +z +λxz =0⎪y
…………………………………………………..3 ⎨
⎪F z =x +y +λxy =0⎪⎩xyz -v =0
由上述方程组可解得
(x , y , z ) =
根据实际情况可知，此时造价最小。………………………………………2 六 （7分）解 特征方程为 r -2r =0⇒r 1=0, r 2=2.
对应的齐次方程的通解为 Y =c 1+c 2e …………………………..2
2x
2
f (x ) =e x (x -3), λ=1不是特征根，于是可设特解为
y *=e x (ax +b ) …………………………….2
代入到原方程化简可 -ax -b =x -3
于是 y *=-e x (x -3) …………………………………………2 所求的通解为 Y =c 1+c 2e 2x -e x (x -3) ……………1 七 （7分）解
由z =
x 2+y 2=3z ，得
x 2+y 2=3，…………………………………………………..2
于是
I
=⎰⎰⎰zdv =⎰d ϕd ρρΩ
3
2πzdz …………….3
=
13
π……………………………………………………2 4
八（7分）解 原式＝
⎰(x +y ) dx +(x -y ) dy …………………..3
L
设D 的边界是L ，根据格林公式， 原式＝
⎰⎰(1-1) dxdy =0…………………………………………….4
D
222y dydz +x dzdx +z dxdy ，∑取外侧，……… 1 ⎰⎰∑
九 （7分）解 原式＝
设∑1
z =1, x 2+y 2≤1，取上侧，则
∑+∑1
⎰⎰y 2dydz +x 2dzdx +z 2dxdy =⎰⎰⎰2zdv …………………………2
Ω
＝
⎰
2π
d ϕ⎰ρd ρ⎰2zdz =
11
π
2
ρ
……………………………………….. 2
而
222
y dydz +x dzdx +z dxdy =⎰⎰dxdy =π……………………1 ⎰⎰∑1
∑1
于是 原式＝
π
2
-π=-
π
2
。………………………………………….1
∞
11k 1-p k
2a =(2) 十 （7分）1 设 a n =p ，则 ，于是由已知 ∑p 的敛散性2k
n n =1n
与等比数列
1-p k (2∑) 敛散性一致。…………………………………………1 k =1
∞
因此当0
1时收敛；…………………… 1 2 令 b k =
i =2k -1+1
∑
2k
a i ，当设{a n }是单调减少的正数列时，有
2k -1a 2k ≤b k ≤2k -1a 2k -1……………………………………….3
由比较判别法
∞
∑b
k =1
∞
k
收敛当且仅当
k
2∑a 2k k =1∞
k
2∑a 2k k =1
∞
收敛，
即
∑a n 收敛当且仅当
n =1
收敛。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2。