第一章部分课后习题参考答案
16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p ∨(q∧r) ⇔ 0∨(0∧1) ⇔0
（2）（p r ）∧(﹁q ∨s) ⇔（01）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.
（3）（⌝p ∧⌝q ∧r ）(p∧q ∧﹁r) ⇔（1∧1∧1） (0∧0∧0) ⇔0
(4)（⌝r ∧s ）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔1
17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”
答：p: π是无理数 1
q: 3是无理数 0
r: 2是无理数 1
s: 6能被2整除 1
t: 6能被4整除 0
命题符号化为： p ∧(q→r) ∧(t→s) 的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：
（4）(p→q) →(⌝q →⌝p)
（5）(p∧r) (⌝p ∧⌝q)
（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)
答： （4）
p q p →q ⌝q ⌝p ⌝q →⌝p (p→q) →(⌝q →⌝p)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1
所以公式类型为永真式
（5）公式类型为可满足式（方法如上例）
（6）公式类型为永真式（方法如上例）
第二章部分课后习题参考答案
3. 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ⌝(p∧q →q)
(2)(p→(p∨q)) ∨(p→r)
(3)(p∨q) →(p∧r)
答：(2)（p →(p∨q) ）∨(p→r) ⇔(⌝p ∨(p∨q)) ∨(⌝p ∨r) ⇔⌝p ∨p ∨q ∨r ⇔1 所以公式类型为永真式
(3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式
4. 用等值演算法证明下面等值式：
(2)(p→q) ∧(p→r) ⇔(p→(q∧r))
(4)(p∧⌝q) ∨(⌝p ∧q) ⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)
证明（2）(p→q) ∧(p→r)
⇔ (⌝p ∨q) ∧(⌝p ∨r)
p ∨(q∧r)) ⇔⌝
⇔p →(q∧r)
（4）(p∧⌝q) ∨(⌝p ∧q) ⇔(p∨(⌝p ∧q)) ∧(⌝q ∨(⌝p ∧q)
⇔
⇔
⇔(p∨⌝p) ∧(p∨q) ∧(⌝q ∨⌝p) ∧(⌝q ∨q) 1∧(p∨q) ∧⌝(p∧q) ∧1 (p∨q) ∧⌝(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值
(1)(⌝p →q) →(⌝q ∨p)
(2)⌝(p→q) ∧q ∧r
(3)(p∨(q∧r)) →(p∨q ∨r)
解：
（1）主析取范式
(⌝p →q) →(⌝q ∨p)
⇔⌝
⇔
⇔
⇔(p∨q) ∨(⌝q ∨p) (⌝p ∧⌝q) ∨(⌝q ∨p) (⌝p ∧⌝q) ∨(⌝q ∧p) ∨(⌝q ∧⌝p) ∨(p∧q) ∨(p∧⌝q) (⌝p ∧⌝q) ∨(p∧⌝q) ∨(p∧q)
⇔m 0∨m 2∨m 3
⇔∑(0,2,3)
主合取范式：
(⌝p →q) →(⌝q ∨p)
⇔⌝
⇔(p∨q) ∨(⌝q ∨p) (⌝p ∧⌝q) ∨(⌝q ∨p)
⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p)) ∧(⌝q ∨(⌝q ∨p)) ⇔1∧(p∨⌝q)
⇔(p∨⌝q) ⇔ M1
⇔∏(1)
(2) 主合取范式为：
⌝(p→q) ∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q) ∧q ∧r ⇔(p∧⌝q) ∧q ∧r ⇔0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为 0
(3)主合取范式为：
(p∨(q∧r)) →(p∨q ∨r)
⇔⌝(p∨(q∧r)) →(p∨q ∨r)
⇔
⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r)) ∨(p∨q ∨r) (⌝p ∨(p∨q ∨r)) ∧((⌝q ∨⌝r)) ∨(p∨q ∨r))
⇔1∧1
⇔1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为 1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案
14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：
(2)前提：p →q, ⌝(q∧r),r
结论：⌝p
(4)前提：q →p,q s,s t,t ∧r
结论：p ∧q
证明：（2）
①⌝(q∧r) 前提引入
②⌝q ∨⌝r ①置换
③q →⌝r ②蕴含等值式
④r 前提引入
⑤⌝q ③④拒取式
⑥p →q 前提引入
⑦￢p （3） ⑤⑥拒取式
证明（4）：
①t ∧r 前提引入
②t ①化简律
③q s 前提引入
④s t 前提引入
⑤q t ③④等价三段论
⑥（q →t ）∧(t→q) ⑤ 置换
⑦（q →t ） ⑥化简
⑧q ②⑥ 假言推理
⑨q →p 前提引入
⑩p ⑧⑨假言推理
(11)p∧q ⑧⑩合取
15在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理：
(1)前提：p →(q→r),s →p,q
结论：s →r
证明
①s 附加前提引入
②s →p 前提引入
③p ①②假言推理
④p →(q→r) 前提引入
⑤q →r ③④假言推理
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P 中用归谬法证明下面各推理：
(1)前提：p →⌝q, ⌝r ∨q,r ∧⌝s
结论：⌝p
证明：
①p 结论的否定引入
②p →﹁q 前提引入
③﹁q ①②假言推理
④￢r ∨q 前提引入
⑤￢r ④化简律
⑥r ∧￢s 前提引入
⑦r ⑥化简律
⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取
由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式, 所以推理正确.