第一章 算法初步
⑴ 算法的特点：明确、有限。
⑵ 画程序框图的规则：①完整的框图必须有终端框，用于表示程序的开始、结束；
②使用标准的图形符号；
③框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
④除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框具有超过一个退出点的唯一符号；
⑤图形符号内描述的语言要非常简练，清楚。
⑶ 框图的一般流程：▏开始→输入…→赋值…→计算…→判断…→结束 ▕
⑷ 算法的基本逻辑结构：顺序结构（由若干依次执行的步骤组成）；
条件结构（对条件的判断，根据条件是否成立有不同的流向）；
循环结构（从某处开始，按一定的条件反复执行某些步骤）。
⑸ 循环结构分为：①直到型循环结构〈UNTIL〉（执行一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。）
②当型循环结构〈WHILE〉（在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。）
⑹ 基本算法语句：①输入语句：INPUT “提示内容”（可省略）；变量
②输出语句：PRINT “提示内容” ；表达式
③赋值语句：变量=表达式
④条件语句：⒈ IF 条件 THEN
语句体
END IF ....
2.IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
⑤循环语句：⒈直到型循环结构--- DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
⒉当型循环结构---- WHILE 条件
循环体
WEND
⑺ 算法案例：①辗转相除法（欧几里得算法）
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤：
⒈用两个数中较大的数除以较小的，求得商和余数；
⒉用上一步中较小的数除以余数；
⒊依次写下去；
⒋直到除尽为止，则最后的除数为两个数的最大公约数；
②更相减损法
用更相减损法求
两个数的最大公约数的步骤：
⒈判断任意给定的两个数是否都是偶数，若是，用2简约，若不是，执行第二步；
⒉以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与简约的数
的乘积就是所求的最大公约数。
③秦九韶算法
秦九韶算法的步骤：
⒈把一个n次多项式f（x）＝ an·x^n﹢a﹙n﹣1﹚·x^﹙n－1﹚﹢…﹢a1·x﹢a0改写成如下形式：
f（x）＝ an·x^n﹢a﹙n﹣1﹚·x^﹙n－1﹚﹢…﹢a1·x﹢a0
＝（an·x^﹙n－1﹚﹢a﹙n﹣1﹚·x^﹙n－2﹚﹢…﹢a1）x﹢a0
＝ （（an·x^﹙n－2﹚﹢a﹙n﹣1﹚·x^﹙n－3﹚﹢…﹢a2）x﹢a1）x﹢a0
＝ .....
＝ （…（（an·x﹢a﹙n﹣1﹚）x﹢a﹙n﹣2﹚）x﹢…﹢a1）x﹢a0 ；
⒉求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
V1＝an·x﹢a﹙n﹣1﹚ ；
⒊然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
V2＝V1·x﹢a﹙n﹣2﹚
V3＝V2·x﹢a﹙n﹣3﹚
……
Vn＝V﹙n﹣1﹚·x﹢a0 ；
⒋这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值。
⑻ 进位制 ：①把K进制转化为十进制：把K进制所表示的不同位上数字与基数的幂的乘积相加。
如：110011‹₂›＝1×2^5﹢1×2^4﹢0×2^3﹢0×2^2﹢1×2^1﹢1×2^0
＝1×32﹢1×16﹢1×2﹢1
＝51
②把十进制转化为K进制：将十进制的数除以K，所得商继续除以K，直至商为0，将所除过的余数从下到上（从后往前）排列，所得记为K进制数。（除K取余法）。
③K进制转化为K进制：可以先转化为十进制的数，然后，再转化为K进制。
第二章 统计
⑴ 随机抽样：①简单随机抽样--⒈抽签法（抓阄法） 〈一般地，抽签法就是把总体中的N个 个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。〉
⒉随机数法〈利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。〉
②系统抽样〈一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，其步骤如下：
⒈将总体的N个个体编号；
⒉确定分段间隔k，对编号进行分段，当N/n是整数时，取K=N/n,若不是时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体
中剩余个体可被样本容量n整除；
⒊在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
⒋按一定的规则抽取样本，将l加上间隔k得到第二个个体编号（l﹢k）,再 加k得到第三个个体编号（l﹢2k）,依次进行下去，直到获取整个样本。 〉
③分层抽样〈一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按一定比例,从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层中取出的个体合在一起作为样本。〉
【注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均等 。】
⑵ 用样本估计总体：①用样本的频率分布估计总体分布:
【 得频率分布的具体步骤：
㈠求极差：即求一组数据中最大值与最小值的差；
㈡决定组距与组数：一般样本容量越大，组数越多，当样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组。为方便起见，组距应力求取整，即：组数=极差/组距；
㈢将数据分组：依据组距，将数据分组.....；
㈣列出频率分布表，须列出具体的分组、频数累计（“正”）、频数（出现次数）、频率（频数/样本容量）；
㈤画频率分布直方图：横轴依题而定，纵轴表示频率/组距，小长方形（S=组距×频率/组距=频率）的面积表示相应各组的频率，且各小长方形的面积总和为1；
㈥连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，所分组数增加，组距减小，则频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线。】
1.一表二图：频率分布表——数据详实；
频率分布直方图——分布直观；
频率分布折线图——便于观察总体分布趋势。
2.茎叶图：（适用于数据较少的情况）“茎”指数据的十位数，“叶”指数据的个位数，个位数按照从小到大写，相同的应重复写。
②用样本的数字特征估计总体的数字特征：
1.众数：出现次数最多的数；频率分布直方图中最高矩形的中点；只可表达样本数据中的少数信息。
2.中位数：将数据按大小顺序排列后，中间的数；根据矩形的面积来找中位数；不受少数极端值的影响。
3.平均数：数据之和/个体数量；频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；受极端值影响大。
4.标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，表示样本数据的分散程度的大小，一般用s表示。范围是［0，﹢∞），标准差为0的样本数据都相等，且都等于样本的平均数；标准差越大，则数据的离散程度越大,数据越不稳定，反之
，也成立；解决实际问题时常用。
〖假设样本数据是x1,x2,...xn,这组数据的平均数是x’bar（x上一横），xi到x’bar的距离是：｜xi﹣x’bar｜ （i=1,2,3，…，n）；于是，样本数据x1,x2,...xn到x’bar的“平均距离”是S=｜x1﹣x’bar｜﹢｜x2﹣x’bar｜﹢…﹢｜xn﹣x’bar｜/n
也就是：s=√1/n[（x1﹣x’bar）ˆ2﹢（x2﹣x’bar）ˆ2﹢…﹢（xn﹣x’bar）ˆ2] 〗
⒌方差：s^2=1/n[（x1﹣x’bar）^2﹢（x2﹣x’bar）^2﹢…﹢（xn﹣x’bar）^2
【推导①s^2=1/n（x1^2﹣x2^2﹣…﹣xn^2)﹣〈x’bar〉^2
「注意x’bar=1/n（x1﹣x2﹣…﹣xn)」
②若x1,x2,...xn的平均数x’bar，方差为s^2，
则x1﹢b,x2﹢b...xn﹢b的平均数x’bar﹢b,方差s^2；
若ax1,ax2...axn的平均数ax’bar，方差a^2·s^2,
则ax1﹢b,ax2﹢b...axn﹢b的平均数ax’bar﹢b,方差a^2·s^2】。
『注意：注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。』
⑶变量间的相关关系： ①变量之间的相关关系：确定关系、不确定关系。
②两个变量的线性关系：（通过散点图可总结）
⒈正相关（散布在从左下角到右上角的区域）
⒉负相关（散布在从左上角到右下角的区域内
③若散点图上点的分布之间具有线性相关关系，这条线叫做回归直线，根据此直线求出的方程，简称为回归方程。
『回归方程的推导：㈠假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xn,yn）,
若要表达这些点与一条直线y=bx﹢a之间的距离，可以用点（xi,yi）与这条直线上横坐标为xi的点之间的距离来刻画点（xi,yi）到直线的远近，即用｜yi﹣（bxi﹢a）｜﹙i=1,2,3，…n﹚
表示点（xi,yi）到直线的远近，这样，用这n个距离之和来刻画各点与此直线的“整体距离”是比较合适的，即可以用∑‹上：n，下：i=1›｜yi﹣（bxi﹢a）｜表示各点到直线y=bx﹢a的“整体距离”。由于绝对值使计算不方便，在实际应用中人们常用：
Q=﹙y1﹣bx1﹣a﹚^2﹢﹙y2﹣bx2﹣a﹚^2﹢…﹢﹙yn﹣bxn﹣a﹚^2. 由此，问题归结为了：当a、b取什么值时Q最小，即点到直线y=bx﹢a的“整体距离”最小，经过推导，a、b的值由下列公式给出：.....(参见《选修2﹣3》),那么回归方程的斜率为^b,截距为^a，即回归方程为：^y=^bx﹢^a。
这种通过求Q式的最小值而得的回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。［注意：回归方程中，^在y,b,a的上面］』
第
三章 概率
⑴事件的分类（一般用大写字母A,B,C....表示）
①确定事件：⒈必然事件（在S条件下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。） ⒉不可能事件（在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。）
②随机事件（在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。）
⑵随机事件的概率：度量随机事件发生的可能性大小。(获得随机事件发生概率最直接的方法就是实验。)
①频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn‹A›=nA/n为事件A出现的频率，取值范围是［0,1］，必然事件出现的频率为1，不可能事件出现的频率为0.
②一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上，这个常数越接近于1，表明事件A发生的频率越大，频数就越多，也就是他发生的可能性越大；反之，事件发生的可能性越小，频数就越少，频率就越小，这个常数也就越小，因此，可用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小。
③对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn‹A›随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可用频率fn‹A›来估计概率P（A）
④概率的意义：㈠随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，使得我们可以比较准确的预测随机事件发生的可能性，随着试验次数的增加，会越来越接近于概率。
㈡预测概率时，试验是机会均等的，具有公平性。
㈢当面临从多个可选答案中挑选正确答案的决策时，应以“使得样本出现的可能性最大”为准则，这种判断法称为极大似然法，是统计中重要的统计思想方法之一。
㈣通过概率预测的随机事件，既可能发生，也可能不发生。例如，天气预报
⑤概率的基本性质：㈠事件的关系与运算：
⒈一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这是称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作A⊆B。
⒉不可能事件记作ф，任何事件都包含不可能事件。
⒊一般地，如果A⊆B，且B⊆A，那么称事件A与事件B相等，记作A=B。
⒋若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A＋B）。
⒌若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生
，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或A·B）。
⒍若A∩B为不可能事件（A∩B＝φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。
⒎若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
㈡概率的几个基本性质:
⒈0≤P（A）≤1
⒉概率的加法公式：（如果事件A与事件B互斥）P（A∪B）＝P（A）﹢P（B）
⒊（如果事件A与事件B互为对立事件）P（A∪B）=1 ，P（A）=1﹣P（B）
⑶古典概（率模）型：①基本事件的特点：⒈任何两个基本事件是互斥的；
⒉任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
②古典概型的特点：⒈试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
⒉每个基本事件出现的可能性相等。
③对于古典概型，任何事件的概率为：P（A）=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数
④用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的基本事件是否满足古典概率的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的。
⑷几何概(率模)型: ①如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
②P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
③如果随机事件所在的区域是一个单点，由于其长度、面积或体积为0，则出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则出现的概率为1，但它不是必然事件。
④均匀随机数的产生：由于计算机，计算器不能直接产生［a,b］的均匀随机数，只可通过线性变换得到，如果x是［0,1］区间上的均匀随机数，则（b﹣a）·x﹢a是[a，b]上的均匀随机数。