高2016届数学（理科）第二轮专题复习
专题（2）解三角形中的不等与最值问题
一、 解三角形中的不等问题
例1、已知锐角三角形的边长分别为1,3, a ，则a 的取值范围是 ____ .
解：设1,3, a 所对的角分别为A , B , C ，由三角形三边关系有1+3>a ,1+a >3且3+a >1，故2
12+a 2-3212+32-2a B >A ，要保证∆ABC 为锐角三角形，只需cos B >0,cos C >0，即>0且>0，解
2⋅1⋅a 2⋅1⋅3
得
变式：在∆ABC 中，若A >B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．
①sin A >sin B ； ②cos A sin 2B ； ④cos 2A
解：A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B ，故①正确；
cos A
2-B ) ⇔A>B，故②正确（或由余弦函数在(0,π) 上的单调性知②正确）；
22由cos 2A sin B ⇔A >B ，故④正确．
二、 解三角形中边长的最值问题
例2、在锐角∆ABC 中，A =2B ，AC =1，则BC 的取值范围是 ____ .
解：由题知 π
6
π
4，由正弦定理BC =AC sin A sin 2B ==2cos B ∈ sin B sin B
变式1、若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是 .
答案：(2,+∞) .
变式2、在锐角∆ABC 中，A =2B ，则 c 的取值范围是 ____ . b
解：由0
2且0
2得π
6
4，所以
c sin C sin 3B sin 2B cos B +cos 2B sin B ====4cos 2B -
1，又cos B ∈ b sin B sin B sin B 2所以c =4cos 2B -1∈(1,2) . b
说明：①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“∆ABC 是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。
变式3、已知∆ABC 中，a =1, b =2．
（1）求最小内角的最大值；
（2）若∆ABC 是锐角三角形，求第三边c 的取值范围．
⎧1+2>c ⎪解：（1）由三角形三边关系得第三边c 满足⎨1+c >2解得1
⎪2+c >1⎩
b 2+c 2-a 2c 2+3131又cos A =（当且仅当c =，==c +) ≥
⨯=2bc 4c 4c 4所以A ≤30，即最小内角的最大值为30．
（2）因为∆ABC 是锐角三角形，即A ，B ，C 三个角均为锐角，又因为a
A
⎧1+c 2-40
4
变式4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知函数f (x ) =sin(2x -) 满足： 6
对于任意x ∈R , f (x ) ≤f (A ) 恒成立．
（1）求角A 的大小；
（2
）若a =BC 边上的中线AM 长的取值范围．
解（1）由题意，∵对于任意x ∈R , f (x ) ≤f (A ) 恒成立， ∴f (x ) =sin(2x -) 的最大值为f (A ) ， 6
当f (x ) 取得最大值时，2x -
∴A =k π+πππ6=2k π+π2, k ∈Z ，即x =k π+π3, k ∈Z ， ． 33
（2）∵AM 是BC 边上的中线，
3cos ∠AMB =c 2， ① ∴在△ABM
中，AM 2+-2AM 43cos ∠AMC =b 2， ② 在△ACM
中，AM 2+-2AM 4又∵∠AMB =π-∠AMC ，∴cos ∠AMB =-cos ∠AMC ，
b 2+c 23π2①＋②得 AM =-．由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos =b 2+c 2-bc =3， 324
b 2+c 2
22∵0
339
244π, k ∈Z ，又∵A 是三角形的内角，即0
三、解三角形中角度的最值问题
例3、在∆ABC 中，a =2, c =1，则∠C 的取值范围为 ____ .