高等数学A （1）复习题
一、函数与极限
1．判断下列每个命题是否正确
（1）若数列{x n }满足lim x n =a ，则数列{x n }在a 的任一ε邻域之外（其中ε>0），数列
n →∞
中的点至多只有有限多个。
+
（2）若数列{x n }满足:x n >0, n ∈N ，且lim x n =a ，则a >0。
n →∞
（3）设lim x n =a ，且a >0，则存在N >0，当n >N 时，有x n >
n →∞
x →x 0
a 。 4
（4）若函数f (x ) 的极限lim f (x ) 存在，则f (x ) 在x 0的任一邻域内一定有界。 （5）若函数f (x ) 在x 0处没有定义，则极限lim f (x ) 一定不存在。
x →x 0
2．设极限 lim (
x →∞
x +2a x
) = 5，求a 。 x -a
3．求极限
3x 3+2cos 2x +x 2（1）lim ； （2
）lim x ； 3x →∞x →+∞2x -sin x +1x 11
（3）lim(x sin -sin x ) ； （4
）；
x →x →0x x 1
e x +ln(1-x ) -1
（5）lim ； （6）lim (cosx ) sin x ； +x →0x →0x -arctan x
x 20
⎰（7
）lim
x →0+
dt
⎰
x 0
t (1-cos t ) dt
⎰； （8）lim
x →0
x 0
(5t -3t ) dt
。
x ln(1+x )
4．当x →0时，下列无穷小量中哪些是与 x 等价的无穷小量
x -x
（Ａ）1-cos 2x ； （Ｂ）e +e -2；
2
（Ｃ）+x --x ； （Ｄ）
x
2
2
⎰
1
cos x
cos t 2dt 。
5．设当x →0时，e -ax -bx -1 是比 x 高阶的无穷小，求a , b 。 6．求函数的间断点，并说明类型
（1）f (x ) =
e -11x -3
f (x ) =arctan ； （2）。 1
x x 3-x 2-6x
e x +1
1x
x (1-x 2n )
7．设函数f (x ) =lim ，讨论函数f (x ) 的间断点。
n →∞1+x 2n
1⎧
⎪x arctan , x ≠0,
8．设函数f (x ) =⎨ 讨论函数f (x ) 在x =0处的连续性和可导性。 x
⎪x =0, ⎩0, ⎧1-cos ax
, ⎪
x ⎪
9．设函数f (x ) =⎨0
⎪b +x 2-1⎪
x ⎩
x
x =0 在x =0处连续、可导，求a , b 。 x >0
10．设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，f (a ) b ，证明：至少存在一点ξ∈(a , b ) ，
使f (ξ) =ξ。
11．设函数f (x ) 在区间[0, 1]上连续，且f (x )
⎰
x 0
f (t ) dt -3x +1=0 在区间[0，1]内有且仅有一个根。
二、导数与导数的应用
1．判断下列每个命题是否正确
（1）函数f (x ) 在点x =x 0处可导，则f (x ) 在点x =x 0处连续。
（2）函数y =f (x ) 在点x =x 0处导数为零是f (x ) 在点x =x 0取到极值的必要条件。 （3）设函数f (x ) 有三阶连续导数，且满足：f '(x 0) =0,
则f (x 0) 不是f (x ) 的极值。 2．设f '(x 0) =2，求lim 3．求导数 （1）设y =x e
3-x
f ''(x 0) =0, f '''(x 0) ≠0；
h →0
f (x 0+2h ) -f (x 0-3h )
。
ln(1+2h )
-2arcsin x ，求y '(x ) ，y ''(x ) ；
3x sec(1+x 2)
（2）设y =，求y '(x ) ； 2
x +cos x
（3）设y =(1+x )
2sin x
，求dy ；
（4）设f (x ) 为可导函数，y =f (x +arctan x ) ，求
2
2
dy ； dx
（5）设方程 x -y -sin y =1 确定了函数y =y (x ) ，求y '(x ) ，y ''(x ) ；
（6）设f (x ) =
x +x 2(x +cos x ) 2
，求f '(x ) ； 2x 3x
(e +1)
⎧x =arctan t dy d 2y
（7）设函数y =y (x ) 由 ⎨ 决定，求。 , 222
dx dx ⎩y =t -ln(1+t )
（8）设函数f (x ) =
1
，求f 5+2x
(n )
(x ) 。
-2t
4．已知物体的运动规律s (t ) =3sin t -e
3
3
（米），求这物体运动的速度和加速度。
5．求平面曲线2x +2y -9xy =0在点（1，2）处的切线方程和法线方程。 6．设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内二阶可导，且f (a ) =f (b ) =0，又
F (x ) =(x -a ) 2f (x ) ，证明：至少存在一点ξ∈(a , b ), 使F ''(ξ) =0.
7．当 x > 0 时, 证明不等式: x 0 时，sin x +cos x >1+x -x 。 9．讨论函数f (x ) =
2
x
x
⎰
x
e
(1-
3
1
) dt 在区间(1, +∞) 的单调性并求极值。 ln t
2
10．讨论函数 f (x ) =x -6x +9x -5 的单调性、极值、函数曲线的凹凸性、拐点，并
描绘函数的图形。. 11．在抛物线段 y =x ,
线与直线 y =0,
2
(0≤x ≤8) 上求一点A (x 0, y 0) ，使抛物线 y =x 2在该点的切
x =8 所围成的三角形的面积最大。
12．每天生产x 台收音机的总成本为C (x ) =
12
x +3x +100，该收音机是独家经营，市场25
需求规律是：x (p ) =60-2p ，p 是每台收音机的价格（单位：元），问每天生产多少台时净收入最大？此时，每台收音机的价格应定为多少？
三、不定积分与定积分
1．设f (x ) 有连续的导函数，判别下列等式中哪些是正确的。
（A ）
d d x
； （B ）f (x ) dx =f (x ) f (x ) dx =f (x ) ； ⎰⎰a dx dx
b d b
（C ）f (x ) dx =f (x ) ； （D ）⎰f '(x ) dx =f (x ) 。 ⎰a a dx
2．求下列积分
21
； （1）⎰2dx ； （2
）x -2x -31+x 4arctan x
（3）⎰cos xdx ： （4）⎰dx ； 2-101+x
π
8
1
（5）x ln xdx ； （6）（7
）
⎰
3
⎰
2-12π0
e x -1dx ； ；
⎰
⎰
401
1) dx ； （8
）⎰
（9
）
； （10
）。
⎧1⎪
3．设f (x ) =⎨x
2⎪⎩4-x
4．讨论反常积分
x ≤0x >0
，求
⎰
30
f (x -1) dx ．
⎰
+∞2
1
dx 的收敛性。 p
x (lnx )
5．已知f (x ) 是
-x 2 的一个原函数，f (1) =π，求f (x ) 。
2
6．已知f (x ) 的一个原函数为ln(1+x ) ，求x f '(2x ) dx
⎰
113
7．已知连续函数f (x ) 满足方程f (x ) =+x ⎰f (x ) dx ，求f (x ) 。
01+x 2
8．设
⎰
x 0
f (t ) dt =cos x -x 2+1(x >0) ，求lim +f (x ) 。
x →0
四、定积分应用：
2
1．设平面图形由曲线 y =x 2 与直线 y =x 所围成，
3
求：（1）此平面图形的面积；
（2）此平面图形的周长。
3
⎧x =2cos 3t
2．设平面图形由星形线 ⎨ 所围成 3
y =2sin t ⎩
求：（1）此平面图形的面积；
（2）此平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。
3．计算由曲线 y =x 和 y =x 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所成的旋转体的体积。
4．求对数螺线ρ=e ，θ∈[0, 2π]的弧长；
5．求对数螺线ρ=e ，θ∈[0, 2π]和极轴θ=0所围图形的面积． 6．求由曲线ρ=2(1+cos θ) 与ρ=3所围公共部分的面积。 7．已知质点以速度 v (t ) =te 内所经过的路程。
8．一根直金属棒长5米，其密度函数ρ(x ) =e 的质量。
9．高为10米，顶园半径为5米的正圆锥形水池装满水，设水密度ρ=1；求将水池内的水全部抽出所作的功
10．半圆形闸门的半径为2（米），将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1；求闸门一侧所受的水压力。
五、空间解析几何
1．设a =2i -j +k ，b =i +3j -k ， 求：（1）与a ，b 均垂直的单位向量；
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
23
θ
θ
-t 2
（米/秒）作直线运动，求质点从时间t 1=1秒到时间t 2=3秒
-x
+2x （千克/米）（0≤x ≤5），求此金属棒
（2）(3a -2b ) ∙(a ⨯b ) ；
→
（3）向量a 的方向余弦。
2．已知三角形的顶点为A (3, -1, 2) 、B (4, 2, 2) 、C (1, 0, 3) ，求此三角形的面积。
→
3．平行四边形ABCD 的两边为AB =a +2b ，AD =a -3b ，其中a =3, b =2，并且
--→
a ⊥b ，
求：（1）a +b ；
（2）平行四边形ABCD 面积。
4．求由yOz 平面上曲线 z =3-2y 绕Oz 轴旋转一周所得的曲面方程。
5．求曲面 2x +4y +z =3 与 z =x +2y 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程。
2
2
2
2
2
2
6．求过点(1, -3, 2) 且平行于平面2x +3y -z =1的平面方程。 7．求过直线x -1=y +1=z -1和点O (0, 0, 0) 的平面方程。 8．求点P 0(1, -2, 2) 与平面5x +3y -4z =11的距离。
x +2y z -1x y +2z -2
与 L 2:= 的夹角。 ===
11-41-22x +3y +4z
10．判断直线 L 1:与平面4x -2y -2z =3的位置关系。 ==
27-3
9．求直线 L 1:
11．求过点(2, -3, 5) 且与平面 x +3y =1 垂直的直线方程。
⎧x -y +2z -1=0
（-1，4）12．求过点P 且与直线 l ： 平行的直线方程。 ⎨02，
x -2y -z -2=0⎩
13．求直线L :
x -1y z -1
在平面π:x -y +2z -1=0上的投影直线方程。 ==
11-1