对称矩阵的性质及应用

目 录

摘 要......................................................................................................... 错误！未定义书签。 关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。 Abstract ..................................................................................................... 错误！未定义书签。 Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。 前言 .............................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.对称矩阵的基本性质 ..................................................................... 错误！未定义书签。

1.1 对称矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………

错误！未定义书签。

2.对称矩阵的对角化 .......................................................................... 错误！未定义书签。

2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 ................... 错误！未定义书签。

3.对称矩阵的正定性 .......................................................................... 错误！未定义书签。

3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 3.2对称矩阵正定性的判别 ......................................................... 错误！未定义书签。

4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。 总结 .............................................................................................................. 错误！未定义书签。 参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。

对称矩阵的性质及应用

摘 要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对

称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等.

关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用

The Properties and Applications of Symmetry Matrix

Abstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive definiteness of symmetry matrices and applications in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc.

Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application

前言

矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重

要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.

1.对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1.1 对称矩阵的定义

定义1 设矩阵A(aij)sn，记AT(aji)ns为矩阵的转置.若矩阵A满足条件

AAT，则称A为对称矩阵.由定义知：

1.对称矩阵一定是方阵.

2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aijaji，对任意i、j都成

a11a12

立.对称矩阵一定形如

a1n

a12a22a2n

a1na2n

. ann

a10

0a2

定义2 形式为



0000

的矩阵，其中ai是数(i1,2,al

,l)，通常称为

对角矩阵.

定义3 若对称矩阵A的每一个元素都是实数，则称A为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A满足ATA，则称A为反对称矩阵.由定义知： 1.反对称矩阵一定是方阵.

2.反对称矩阵的元素满足aijaji，当ij时，aiiaii，对角线上的元素

0a12

都为零.反对称矩阵一定形如

a1n

a120a2n

a1na2n

. 0

下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明

性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 证 设A、B是n阶对称矩阵，即AAT,BBT.则：

AB

T

ATBTAB，ABATBATBTAB，

kC,kAkATkA.

T

TT

性质2 设A为n阶方阵，则AAT，AAT，ATA是对称矩阵.

证 因为AATATATATA，则AAT是对称矩阵.

T

T

因为AA

TT

A

TT

ATAAT，则AAT是对称矩阵，同理可证ATA也是对称矩阵.

性质3 设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则A1是对称矩阵（反对陈矩阵）.

证 （1）因为A可逆，AAT，A1ATA1，所以A1是对称矩阵.

T

1

（2）因为A可逆，ATA，(A1)T(AT)1(A)1A1，则A1是

对称矩阵.

性质4 任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 证 设A为nn矩阵，A1TTAA2

111

AATAAT，由性质2易证AAT222

111

ATAAAT，则AAT是反对称矩阵. 222

性质5 设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则XTAX是对称矩阵. 证 因为XTAXXTATXTXTATXXTAX,所以XTAX是对称矩

T

T

阵.

性质6 设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.

证 必要性：若AB为对称矩阵，则ABAB，又ABBTATBA，

ABBA，因此，A、B可交换.

T

T

充分性：若ABBA，则ABBTATBAAB，AB为对称矩阵.

T

2.对称矩阵的对角化

任意一个n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案. 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明

定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.

证 设A是n阶实对称阵，是的特征值，Xx1,x2,

,xn是属于的特

T

1________2征向量，于是有AXX.令，其中i是xi的共轭复数，则AXX，n

考察等式X(AX)XAX()X(AX)X，其左边为XX，右边为

____T____T

TT

____

T

____T

XX.故XX=XX，又因X是非零量，XX1x12x2

故，即是一个实数.

____T

____T

____T

____T

xnxn0

注意，由于实对称矩阵A的特征值i为实数，所以齐次线性方程组

AiEx0为实系数方程组，由

AiE0知必有实的基础解系，从而对应

的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.

124

例如，A003，1,21，30均为实数，而A不是对称的.

001

x1

x2

定理2 设A是实对称矩，定义线性变换,

xnx1x

A2......(1)，则对任意xn

向量,Rn，有,,或TT.

证 只证明后一等式即可.TTATT . 定理3 设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交. 证 设1,2是A的两个不同的特征值，X1,X2分别是属于1,2的特征向量：AX11X1,AX22X2.定义线性变换如定理2中的（1），于是X11X1，有1XX22X2.由X1,X2X1,X2，1,X2以X1,X20.即X1,X2正交.

定理4 对任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵P，使

PTAPP1AP成为对角形且对角线上的元素为A的特征值.

T

所,X.因为12，21X2

证 设A的互不相等的特征值为1,2,

,s(sn)，它们的重数依次为

r1,r2,

,rsr1r2rsn.则对应特征值i(i1,2,

恰有ri个线性无关的,s)，

实特征向量，把它们正交化并单位化，即得ri个单位正交的特征向量，由

r1r2这样的特征向量共可得n个.由定理3知对应于不同特征值的rsn知，

特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵

P，则PTAPP1AP，其对角矩阵中的对角元素含r1个1，…,rs个s，

恰是A的n个特征值.

2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例

定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形.定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A对角化找出正交阵P的方法，具体步骤如下：

1.求出实对称矩阵的A全部特征值1,2,2.对每个i(i1,2,

,s.

,s)，由iEAX0求出的特征向量.

3.用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组.

4.以这组向量为列，作一个正交矩阵P，它就是所要求的正交阵. 根据上述讨论，下面举例说明.

400



例1 求一正交矩阵P，将实对称矩阵A031化为对角阵.

013

4

解 由于AE

31(2)(4)2，A的特征值为 13

12，234.

0



对12，由A2Ex0得基础解系11，

1

10

对234，由A4Ex0得基础解系20，31，2与3恰好

01

正交，所以1，2，3两两正交.

01



再将1，2，3单位化，令iii

1,2,3，得1，20，

i

01000

3，于是得正交阵P

1,2,30，

0200



则P1AP040.

004

21n

例2 设A，求A.

12

解 （1）先将A对角化求出正交阵P.

AE

21

(1)(3)0，11,23.

12

11

由AEx0，A3Ex0分别得基础解系1，2.则

11111011111

，，则P1,2PPAP.

2111103

（2）利用nP1AnP求An.

1111011113n13n

. APPnnn211031121313

n

n

1

3.对称矩阵的正定性

二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价.以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法. 3.1正定矩阵的定义

定义1 实二次型fx1,x2,全为零的实数c1,c2,

,xnXTAX称为正定的，如果对于任意一组不

,cn0.

,cn都有fc1,c2,

定义2 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XTAX正定. 由定义可知： 1. 二次型fx1,x2,

2

,xnx12x2

2

是正定的，因为只有在xn

c1c2cn0时，c12c22

2

,xnd1x12d2x2

cn2才为零.一般地，不难验证，实二次型

,n.非退

fx1,x2,

2

是正定的当且仅当di0,i1,2,dnxn

化的线性替换保持正定性不变.

2. 任意n阶实对称矩阵A正定就是指，对于任意n维非零列向量X，都有

XTAX0.

3. 复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可. 4. 正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵的和仍是正定矩阵.事实上，设A、B都是n阶正定矩阵，则对于任意非零列向量

Xx1,x2,

,xn，有XTAX0，XTBX0，那么，

T

XTABXXTAXXTBX0，所以AB仍是正定矩阵. 3.2对称矩阵正定性的判别

定理1 n元实二次型fx1,x2,正惯性指数等于n.

证 设二次型fx1,x2,

2

d1y2dy122

,xnXTAX是正定的充分必要条件是它的

,xn经过非退化实线性替换变成标准形

,xn正定当且仅当（1）

,n，即正

（1）.上面的讨论表明，fx1,x2,dnyn2

是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当di0,i1,2,惯性指数为n.

由定理1可以得到下列推论：

d1

1. 实对角阵



d2



正定的充要条件是d0,i1,2,

i

dn

,n.

2. 实对称矩阵A正定的充要条件是fx1,x2,数都等于n.

,xnXTAX的秩与正惯性指

3. 实对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全为正.事实上，由第二部分

1

2

对称矩阵对角化的讨论可知，A可对角化为A的特征值，A正定即二次型fx1,x2,

2

标准形为1x122x2





，,i1,2,

i

n

,n是

,xnXTAX正定，而fx1,x2,,xn的

2

，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有nxn

i0,i1,2,,n，A的特征值全为正.

定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. 证 由定理1可知，正定二次型fx1,x2,

2

,xn的规范形为y12y2

2

，yn

而规范型的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵E合同.

由此得：

1. 正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵A与单位矩阵E合同，所以有可逆矩阵C使ACTECCTC，两边取行列式，就有ACTCC0.

2. 正定矩阵A的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵A的逆仍是对称矩阵，又A与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P使APEP，两边取逆AP

T

2

11

EP

1T

，

令QP1，则A1QTEQ，所以A1也与单位矩阵合同.

T

有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：

a11a12a22ai2

a1ia2iaii

定义3 子式Pi

a21ai1

i1,2,

,n称为矩阵Aaij

nn

的顺序

主子式.

定理3 实二次型fx1,x2,矩阵A的顺序主子式全大于零.

证 必要性：设二次型fx1,x2,

1kn，令fkx1,x2,

k

k

,xnXTAX或矩阵A是正定的充分必要条件为

,xnaijxixj是正定的.对于每个k，

i1j1

nn

,xkaijxixj.我们来证fk是一个k元的正定二次型.

i1j1

对于任意一组不全为零的实数c1,,ck，有 ,ck,0,

a11

fkc1,

,ckaijcicjfc1,

i1j1

kk

,00.因此fkx1,x2,

a1k

0，k1,

,xn是正定的.

由上面的推论，fk的矩阵的行列式

ak1

A的顺序主子式全大于零.

,n.这就证明了矩阵

akk

充分性：对作数学归纳法，当n1时，fx1a11x12，由条件a110显然有

fx1是正定的.

假设充分性的论断对于n1元二次型已经成立，现在来证n元的情形.令

a11A1

an1,1

a1na1,n1

A1

AAT，，于是矩阵可以分块写成

aan1,n1n1,n

.ann



既然A的顺序主子式全大于零，当然A1的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，

A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的n1级矩阵G使GTAGEn1，这里En1代 1G0

表n1级单位矩阵.令C1，于是

01

GT

CAC1

0

T10AT1G0En1GT

T. ann01Gann

E

再令C2n1

0GT

，有 1

T

0E0EGEn1GTEn1n1TTn1

C2C1AC1C2T. TTT

0aGGG1Ga01nnnn

1



令CC1C2，annTGGTa，就有CTAC



C

2



.两边取行列式，1a

Aa.由条件，A0，因此a0.显然

1

11

a

1

1

1

1

1

1



. 这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之，A是正定矩阵，或者说，二次型

fx1,x2,,xn是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.

应用定理3完成下题.

22

例3 若二次型fx1,x2,x32x12x24x32x1x22tx2x3正定，则t的取值范

围是什么？

210



解 设f对应的矩阵为A，则A11t，它的三个顺序主子式为

0t4

12，2

21

1，3A42t2. 11

所以当42t2

0时，即tf为正定二次型.

4.应用举例

例4 设A,B均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P使PTAPB的充要条件是的A,B特征多项式的根全部相同.

证 必要性：由条件可知A,B相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证. 充分性：设A,B的特征多项式的根全部相同，记它们为1,2,

1T

PAP交阵P使,P1112



1T

PBP，22n

,n，则存正



TT，那么PAPPBP2，112n

11T1

PAPB. 所以P2P为正交阵，则有1APP12B，取PPP12

例5 欧式空间V中的线性变换:VV称为反对称变换，若

,V,,,.证明：反对称当且仅当在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵.

证 充分性：设A(aij)nn是线性变换在标准正交基1,2,且A反对称，即ATA，任给,V，记1,则有1,

,n下的矩阵，



,nX,1,



,nY，





,nAX,1,

T



,nAY，那么



,AXYXTATYXTAY,，所以为反对称变换.

必要性：设是反对称变换，且1,2,



,n1,2,



,nA，其中矩阵



A(aij)nn，1,2,

,n为V的标准正交基，那么，

i1,



,n



a1i



，j1,ani



,n



a1j. anj

因此i,jaji,i,

A为反对称矩阵.

j

a

ij

，所以aiji,ji,jaji.即知

例6 设A:n阶正定阵，B:n阶实对称阵.证明：AB的特征值为实数. 证 设AB，其中0，由于A正定，则A1存在且正定，则

BA1,TBTA1，那么

TBTA1,TBTA1.

因此TA1TA1，则TA10.又A1也正定，且0，则

TA10，则0，即为实数.

总结

本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵

可对角化的理论证明以及对角化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等.其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的相关问题.

参考文献：

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