对几个矩阵不等式的探讨及应用
任德耀 指导老师:李建华
(河西学院数学与应用数学专业2011届3班28号, 甘肃张掖 734000)
摘要 本文主要对几个矩阵不等式给出证明, 并给出具体例子说明这几个矩阵不等式在证明题中的的应用.
关键词 矩阵不等式 正定矩阵 对称矩阵 中图分类号 O 151.21.
1 引言
矩阵是数学研究及其应用的一个重要工具, 在数学学科和许多科学领域都有广泛的应用. 而矩阵不等式在近些年来引起了许多学者的兴趣, 一些经典不等式在矩阵中的推广及应用更是成为研究的热门问题. 本文对几个矩阵不等式进行了深入研究, 主要目的是给出了几个不等式的证明，并将其运用到证明题中. 今后还将更深入的对矩阵不等式进行研究.
2 预备知识
引理1[1] 设r (A )n ⨯k =r , 则存在矩阵M n ⨯r 与N r ⨯k , r (M )=r (N )=r (即M 列无关, N 行无关), 使A =MN .
引理2[2] 设λi , μi 均为正数，则
[∏(λi +μi )]≥(∏λi ) +(∏μi )
i =1
i =1
i =1
n
1n
n
1n
n
1n
当且仅当λi =p ⋅μi (i =1, 2, , n ) 时，等号成立.
引理3[3] 设A 正定，为B 对称矩阵，则存在可逆矩阵T ，且|T |，使得 T ' AT =diag (λ1, λ2, , λn ) T ' BT =diag (μ1, μ2, , μn ) 其中λi >0, μi ∈R (i =1, 2, , n ) .
引理4[2] 设A , B 是n ⨯n 阶正定实对称矩阵, 则对任意的正数λ，μ有
|λA +μB |≥λ|A |+μ|B | 等号成立当且仅当A =kB ,(k >0).
1n 1n 1n
3 对几个矩阵不等式的证明
定理1(Frobenius 不等式) [4] 设A , B , C 依次为m ⨯n , m ⨯s , s ⨯t 矩阵，则
r (A B C ) ≥r (A B +)
(r B -C )
(r . ) B
证明 由分块矩阵的初等变换知
⎡AB ⎢0⎣
B ⎤第一行又乘-C 加到第二行，再第二行乘-1⎡AB B ⎤第二行左乘-A 加到第一行⎡0
−−−−−−−−−−−−→⎢→⎢⎥−−−−−−−−BC ⎥ABC C ⎦⎣⎦⎣ABC
0⎤⎡AB
≤r (⎢0BC ⎥⎦⎣
B ⎤⎡0
) r (⎢BC ⎥⎦⎣ABC
B ⎤
) =r (ABC ) +r (B ) 0⎥⎦
B ⎤
0⎥⎦
又初等变换不改变分块矩阵的秩及引理1，知：
⎡AB
r (AB ) +r (BC ) =⎢
⎣0
从而 r (ABC ) ≥r (AB ) +r (BC ) -r (B ) .
定理2 设A , B 正定，A >I a , B >I b ，则
(A +B -I a +I b ) ≥(A -I a ) +(B -I b ) （1） 当且仅当a -1A =b -1B 时等号成立.
证明 因A , B 正定，有引理3知，存在可逆矩阵T ，且T =1，使得 T ' AT =diag (λ1, λ2, , λn )
T ' BT =diag (μ1, μ2, , μn ) （2）
(i =1,2, , n ) , 因此 其中λi >0, μi >0，
1
n
1n
1n
A =∏λi B =∏μi
i =1
i =1
n n
A +B =T '(A +B ) T =T ' AT +T ' BT =∏(λi +μi ) （3）
i =1
n
又因 I a =a n I b =a n I a +I b =(a +b ) n 于是不等式（1）等价于
[∏(λi +μi ) -(a +b ) ]≥(∏λi -a ) +(∏μi -b )
i =1
i =1
i =1
n
1n n
n
1n n
n
1n n
由已知条件及引理2知（3）式成立，从而定理得证，等号成立的条件是：当且仅当（3）式等号成立，即有 λi a =μi b ，代入（2），得
a -1T ' AT =diag (λi a , , λn a ) =diag (μ1b , , μn b ) =b -1T ' BT 即 a -1A =b -1B 在（1）中令a →0+, b →0+，即得（1）.
推论1 设A i 正定，则
∑A
i =1
k
1
n
i
≥∑A i
i =1
k
1n
当且仅当c 1A 1=c 2A 2= =c k A k (c i >0) 时，等号成立.
定理3 设A 、B 为n ⨯n 阶正定实对称矩阵, r ≥n (r 为实数) 则对任意正数
λ，μ有 (λ+μ)
A =kB ,(k >0).
r -n r
|λA +μB |≥λ|A |+μ|B |
1r 1r 1r
当r >n 时, 等式成立当且仅当A =B , 当r =n 时, 等式成立当且仅当
证明 当r =n 时, 由引理4得证 当r >n 时, 设r =
q p (-n ) p q q -np q
q
>n , p , q 为正数且(p , q ) =1则 p
(λ+μ) |λA +λB |
1p q
p q
=(λ+μ) =(λ+μ)
(|λA +λB |)
λA +λB
00
q -np q
|λA +λB |E
1q
1q
=(λ+μ)
q -np q
λA +λB
1q
=(λ+μ)
q -np q
⎛A 0⎫⎛B 0⎫
⎪ ⎪
λ 0+μ0 ⎪ ⎪ 0A ⎪ 0B ⎪⎝⎭⎝⎭
上式中的E 为p ⨯p 阶单位矩阵, 因为A , B 是n ⨯n 阶正定实对称矩阵, 所以
⎛A 0⎫⎛B 0⎫ ⎪ ⎪
0⎪与 0⎪
0A ⎪ 0B ⎪⎝⎭⎝⎭
实质为(np ) ⨯(np ) 阶正定实对称矩阵, 而q ≥np , 所以
⎛A 0⎫⎛B 0⎫
⎪ ⎪
λ 0+μ0 ⎪ ⎪ 0A ⎪ 0B ⎪⎝⎭⎝⎭
1
q
(λ+μ)
q -np q
A 0
1q
B 0+μ
00B
p q
1q
≥λ00A
p q
=λ|A |+μ|B | 即, (λ+μ)
r -n r
|λA +μB |≥λ|A |+μ|B | ,证毕.
1r 1r 1r
推论2 设r ≥n , λi >0, A i (i =1,2, , m ) 为n ⨯n 阶正定实对称矩阵，则 (∑λi )
i =1m
r -n r
∑λA
i i =1
m
1r
i
≥∑λi A i
i =1
m
1r
当r >n 时, 等式成立当且仅当A i =A 1. 当r =n 时, 等式成立当且仅当
A i =kA i ,(k >0).
证明 用归纳法，当m =1或2时显然成立. 假设当k =m -1时已成立，则当时有
(λ1+λ2+ +λm )
=[λ1+ +(λm -1+λm )]
r -n
r
r -n r
|λ1A 1+λ2A 2+ +λm A m |
1r
1r
λ1A 1+ +(λm -1+λm )
⎛
⎫λm -1λm
A m -1+A m ⎪
λm -1+λm ⎭⎝λm -1+λm
1
r
≥∑λi |A i |+(λm -1+λm )
i =1
m -2
1r
λm -1λm
A m -1+A
λm -1+λm λm -1+λm m
⎛λm -1⎫⎛λm -1λm λm ⎫
≥∑λi A i +(λm -1+λm ) |A m -1|+|A m |⎪⨯ +⎪
λ+λλ+λλ+λλ+λi =1m -1m m -1m m -1m m -1m ⎭⎝⎭⎝
m =2
1
r
1r 1r
r r -n
=∑λi A i
i =1
m
1r
即当k =m 时成立，得证.
4 几个矩阵不等式的应用
例1 设A , B 都是n ⨯n 矩阵，证明：若AB =0，那么r (A ) +r (B ) ≤n . 证明 由AB =0，于是r (A ) +r (B ) ≤n 以r (AB ) =0，由定理1得 0=r (AB ) ≥r (A ) +r (B ) -n .
例2 设A , B , C 是三个n 阶方阵，证明：若r (B ) =r (AB ) ，则rB (C ) rA =B (C 证明 由r (B ) =r (AB ) 和定理1知 r (ABC ) ≥r (AB ) +r (BC ) -r (B ) =r (BC ) 另一方面 r (ABC ) ≤r (BC ) 故 r (BC ) =r (ABC ) .
X 1Y 1-Z 12>0，X 2Y 2-Z 22>0的所有实例3 求证：对满足条件X 1>0, X 2>0，
) .
数X 1, X 2, Y 1, Y 2及Z 1，Z 2有不等式
811
≤+
(X 1+X 2)(Y 1+Y 2) -(Z 1+Z 2) 2X 1Y 1-Z 12X 2Y 2-Z 22
成立，并求出等号成立的条件.
证明 由题设知，2阶实矩阵
⎛X 1
A = 1
⎝Z 1
Z 1⎫⎛X 2
A =⎪ 2
Y 1⎭⎝Z 2
Z 2⎫
⎪ Y 2⎭
是正定的，且原不等式等价于
811
≤+
A 1+A 2A 1A 2
由推论1有
A 1+A 2≥2≥4⋅≥
811
≤+
A 1+A 2A 1A 2
8A 1
-1
+A 2
-1
即
故原不等式成立，当且仅当A 1=A 2，即X 1=X 2, Y 1=Y 2, Z 1=Z 2时，等号成立.
例4 证明不等式
(∑p k )(∑p k a k ) ≥(∑p k a k t ) 2
2t
k =1
k =1
k =1
n
n
n
证明 取r =2, A k =(a k 2t ) 为一阶矩阵，则|A k |=a k 2t ,(k =1,2, , n ) ，由推论2 得到
(∑p k )
k =1n
2-12
(∑p k a k ) ≥∑p k (a k ) =∑p k a k t
k =1
k =1
k =1
n
12t 2
n
12t 2
n
两边平方得
(∑p k )(∑p k a k ) ≥(∑p k a k t ) 2
2t
k =1
k =1
k =1
n
n
n
得证.
5 小结
本文对三个矩阵不等式进行了研究，证明了三个矩阵不等式在一定条件下成立，并得出其推论. 然后又将三个矩阵不等式或其推论运用到证明题中，充分说明了该矩阵不等式的存在和成立. 本文只是对三个矩阵不等式进行了研究，不具备代表性，未来还将对更多的矩阵不等式进行更深入的研究.
参 考 文 献
[1]王莲花, 梁保松. Frobenius 不等式的一个证明及其应用. 安阳师范学院学报[J]，2004(5).
[2]方献亚. 正定实对称矩阵的几个不等式. 数学通报[J],1985(3).
[3]郑维英. 一个矩阵不等式的改进及应用. 鞍山钢铁学院学报[J],2000(5). [4]胡海清. 线性代数解题分析[M].长沙：湖南科学技术出版社,1985.
[5]王松桂，吴密霞，贾忠贞. 矩阵不等式（第二版）[M].北京：科学出版社,2006.